江西省红色六校2012届高三数学第二次联考试题-理.doc

江西省红色六校2012届高三第二次联考数学（理）试题
（分宜中学、南城一中、遂川中学、瑞金一中、莲花中学、任弼时中学）
命题、审题人：任弼时中学 陈 明
莲花中学 谢忠明
考生注意：试卷满分150分，考试时间120分钟

（第Ⅰ卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知复数是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知集合，集合，则集合（ ）
A、 B、
C、 D、
3、下列判断错误的是（ ）
A、“”是“a<b”的充分不必要条件
B、命题“对任意，”的否定是“存在”
C、若X～B（4，0.25）则DX=0.75
D、若或为假命题 ，则、均为假命题
4、设的奇函数，则使的X的取值范围是（ ）
A、（一1，0） B、（0，1） C、（-∞，0） D、
5、数列满足，则的大小关系为（ ）
A、 B、 C、 D、大小关系不确定
6、已知函数有两个零点，则有（ ）
A、 B、 C、 D、
7、已知一个棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形（如图所示），腰长为1，则该四棱锥的体积为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、已知函数在上满足则曲线处的切线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的发出提前录取通知单，若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、设O为坐标原点，是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点P，使得，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
（第Ⅱ卷）
二、填空填（本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）
11、已知向量，如果∥，则k= 。
12、已知点A，过点A的直线若可行域的外接圆直径为20，则实数的值是
13、的展开式中除项外的其他项系数之和为 。
14、已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，，若则 。
三、选做题（本小题5分）
考生注意，请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按照做的第一题评分。
15.（1）（坐标系与参数方程选做题）
已知两曲线参数方程分别为它们的交点坐标为 。
15.（2）（不等式选讲选做题）
不等式的解集是全体实数，则实数的取值范围是
四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）
16、（本小题12分）
已知向量，，函数，．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，R为外接圆的半径，且，，，且，求的值．

17、（本小题12分）
某市某房地产公司售楼部，对最近100位采用分期付款的购房者进行统计，统计结果如下表所示：
付款方式
分1期
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
40
20
a
10
b
已知分3期付款的频率为0.2，售楼部销售一套某户型的住房，顾客分1期付款，其利润为10万元；分2期、3期付款其利润都为15万元；分4期、5期付款其利润都为20万元，用表示销售一套该户型住房的利润。
（1）求上表中a,b的值；
（2）若以频率分为概率，求事件A：“购买该户型住房的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P（A）；
（3）若以频率作为概率，求的分布列及数学期望E.

18、（本小题12分）
在数列中，已知，且.
（1）若数列为等差数列，求p的值；
（2）求数列的通项公式；

19、（本小题12分）
如图示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，AD=2，是线段EF的中点．
（1）求证：；
（2）设二面角A—FD—B的大小为，求的值；
（3）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥P—BFD的体积的最小值．

20、（本小题13分）
已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且，，
∈R．
（1）求θ的值；
（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

21、（本小题14分）
已知抛物线和直线没有公共点（其中、为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线恒过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点为原点，连结交抛物线于、两点，证明：.

江西省红色六校2012届高三第二次联考数学（理）参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
A
C
B
A
D
D
D
二、填空题：
11． 12． 13． -745 14． 10 。
三、选做题：
15．第一小题： 第二小题：
四、解答题：
16．解：（Ⅰ） …………3分
∴函数的最小周期 …………………………………………5分
（Ⅱ） www.k@s@5@ 高#考#资#源#网

………………………………………………7分

是三角形内角， ∴， ∴
即：…………………………………………………………………………9分
∴
即： ……………………………………………10分
由可得：
得： 解之得：，
∴ 所以当时，；
当，， www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
∴，……………………………………………12分
17．（1）由得
错误！链接无效。
…………………………………………………………2分
（2）“购买该户型住房的3位顾客中至多有1位采用了3期付款”的概率：
………………………………………………………6分

（3）记分期付款的期数为，则=1，2，3，4，5。且有
………………………………………9分
的可能取值为：10，15，20
且

10
15
20

0.4
0.4
0.2
故的分布列为

（万元）…………………………………………12分
18．解：（1）设数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd．
由题意得，[a1＋(n－1)d](a1＋nd)＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立．
即d2n2＋(2a1d－d2)n＋(a12－a1d)＝n2＋3n＋2．
所以即或
因为a1＝p＞0，故p的值为2．………………………………………6分
（2）因为an＋1×an＝n2＋3n＋2＝(n＋1)(n＋2)，所以an＋2×an＋1＝(n＋2)(n＋3)．
所以＝．
①当n为奇数，且n≥3时，＝，＝，…，＝．
相乘得＝，所以an＝p．当n＝1时也符合．
②当n为偶数，且n≥4时，＝，＝，…，＝．
相乘得＝，所以an＝a2．
因为a1×a2＝6，所以a2＝．所以an＝，当n＝2时也符合．
所以数列{an}的通项公式为an＝ ………………………12分

19. 略解：（1）易求得，从而，又，所以平面ABF，所以 ………… 4分
（2）易求得，由勾股的逆定理知设点A在平面BFD内的射影为O，过A作，连结GO，则为二面角A—FD—B的平面角。即，在中，由等面积法易求得，由等体积法求得点A到平面BFD的距离是，所以，即 ………… 8分
（3）设AC与BD相交于O，则OF//CM，所以CM//平面BFD。当点P在M或C时，三棱锥P—BFD的体积最小，
………… 12分
注：采用建系方法解本题酌情给分。
20. 解：（1）由题意，≥0在上恒成立，即．
………………………………………………1分
∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，
只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得．……4分
（2）由（1），得．．
∵在其定义域内为单调函数，
∴或者在[1，＋∞）恒成立．………………………6分
等价于，即，
而 ，（）max=1，∴． …………………………………7分
等价于，即在[1，＋∞）恒成立，
而∈（0，1]，．
综上，m的取值范围是．………………………………………9分
（3）构造，．
当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个使得成立． ………………………………………………………11分
当时，．
因为，所以，，所以在恒成立．
故在上单调递增，，只要，
解得
故的取值范围是．…………………………13分

21.

解：（1）如图，设，
由，得 ∴的斜率为
的方程为 同理得
设代入上式得，
即，满足方程
故的方程为 即： ………………4分
上式可化为，过交点
∵过交点， ∴，
∴的方程为 ………………6分
（2）要证，即证………………7分
设，
则 ……（Ⅰ）

∵，
∴直线方程为，
与联立化简
∴ ……① ……② ………11分
把①②代入（Ⅰ）式中，则分子

…………（Ⅱ）
又点在直线上，∴代入（Ⅱ）中得：
∴
得证 ………………………………14分

9
用心 爱心 专心