非等差等比数列的求和.doc

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数列求和
Ⅰ、『回忆』求和公式求和
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
Ⅱ、非等差、等比数列求和
（1）倒序相加法：将一个数列倒过来排列（反序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加的方法求和。
【例1】已知函数，是函数f（x）的图像上的两点，且线段，
（1）求证：点P的纵坐标是定值。
（2）若数列的通项公式是n=1，2，…，m），求数列的前m项的和。
【思路分析】（1）由中点坐标公式得：，再可证。
（2）利用倒序相加的方法求和。
解：（1），下面
把代入上式得：
，为定值。
（2）由（1）可知：对任意的非零自然数m，n，
由于：，故采用倒序相加的方法求和。 ①

①+②得：

即：
（2）错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要求数列（其中数列是等差数列，数列是等比数列）的前n项的和。
【例2】求和：
【思路分析】在上述求和的式子中，可知：数列的通项公式是显然，数列{Cn}是由等比数列和等差数列{n}组成的，故采用错位相减法。
解：（i）当a=1时。
（ii）当…………（1），在（1）的两边同乘以得：
（2）
（1）－（2）得：
【例3】求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积：设…②（设制错位）
①－②得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。∴
（3）裂项法：求数列的前n项和时，若能将拆分为：的形式
则，常见的裂项公式有：
（i）数列是公差为d的等差数列，
则
如
（ii）
【例4】（1）已知不等的正数成等比数列，且
求证：
（2）在平面直角坐标系中，有一点列
对于每一个任意的自然数n，点列都在曲线上，且点，若
。
【思路分析】（1）由已知数列成等比数列，则，故等式的左边数列中的通项，可用裂项法求左边的和即可得证
（2）由已知求出，然后利用裂项法求之。
解：（1）由是等比数列，故

=右边，即结论成立。
（2），又

化简得：

。
（4）并项法：已知数列的相邻两项的和是相等的，可以采用并项法。
【例5】求和：
【思路分析】观察数列中的项：故可用并项法求和。但要讨论数列中的项数n，项数n有奇数和偶数两种情形。
解：（i）当n=2k（k是正整数）时。
=n
（ii）当项数n=2k－1（k是正整数）时

故
（5）公式法（利用公式直接求和），如：
，
【例6】（1）已知数列
（2）求和：
【思路分析】（1）关键是表示出，然后利用公式求和。
（2）从和式中观察通项，然后转化为自然数的立方和、平方和等求和公式计算。
解：（1），

（2）
=
。
（6）分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝

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