北京市丰台区2013届九年级数学上学期期末考试试题-新人教版.doc

丰台区2012-2013学年度第一学期期末练习九年级数学
学校 姓名 考号
考生须知
1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共36分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA＝，则∠A的度数是
A．30°　 　 　B．45° 　 C．60°　 　D．90°
2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且 DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，
则AE∶AC等于
A．3∶2　 　 B．3∶1 　 C．2∶3　 　D．3∶5
3．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm，若O1O2=2cm，则⊙O1和⊙O2的位
置关系是
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
4．已知抛物线，下列说法正确的是
B
A
C
O
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，则∠BAC的度数是
A．120° B．80° C．60° D．30°
6．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于4的概率是
A． B． C． D．
A

C

B

7．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，堤高BC=5m，
则坡面AB的长度是（ ）
A．10m B．10m C．5m D．m
y

x

O

P

A

8．如图，点P在反比例函数的图象上， PA⊥x轴于点A ，
△PAO的面积为6．则下面各点也在这个反比例函数图象上的是（ ）
A．（3，2） B．（-2，6） C．（6，2） D．（3，-2）

9．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是（ ）
y

x

O

2
x

O

2
y

P

O

B

A

l

x

y

O

2
x

y

O

2

A B C D

二、填空题（本题共24分，每小题4分）
10．已知，则 __________．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，
则tanB的值是__________．
A

B

E

12．已知，相似比为2∶1，若△DEF的面积为4，则△ABC的面
积为__________．

13．如图，⊙O的弦AB＝8，OE⊥AB于点E，且OE＝3，
则⊙O的半径是__________ ．
14．一个袋子中装有2个红球和1个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下， 随机从袋子里同时摸出2个球，其中摸出2个球的颜色相同的概率是 __________．
15．如图，菱形ABCD中，AB=2 ，∠C=60°,我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为 ；
经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为 ．(结果都保留π)
O
A
B
C
l
D

三、解答题（本题共20分，每小题5分）

16．计算：2sin60°－tan 45°＋4cos30°．
17．已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（1，-4）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求这个函数图象与轴、y轴的交点坐标．

18．已知：如图，在中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB.
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.

19．已知反比例函数的图象经过点P(2，1)．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）若点P，Q是上述反比例函数图象上的点，
且x1<x2<0,试比较y1与y2的大小．

四、解答题（本题共24分，每小题6分）
20．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=45°，仪器高度CD=1.2米，CE=4米，求这棵树AB的高度．
A
B
E
C
D
F
G
(结果精确到0.1米，)

21．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点A作AD⊥AB交⊙O于点D，交BC于点E,点F在DA的延长线上，且∠ABF＝∠C ．
F

C

O

D

E

A

B

（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，cos∠ABF=，求BC的长．

22．小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y(千克)与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：y=-10x+500．
下面是他们的一次对话：
小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！”
爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元”
聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题：
（1）若每月获得利润w(元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的解析式．
（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为多少元？
23．如图①，P为△ABC内一点，联结PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，请证明E是△ABC的自相似点．
（2）如图③，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，
则∠A：∠B：∠C= ．
B
B
B
C
C
C
A
A
D
P
E
①
②
③

A

五、解答题（本题共16分，每小题8分）
24．已知抛物线上有不同的两点E和F．
（1）求此抛物线的解析式．
P
B
A
M
C
D
O
Q
x
y
（2）如图，抛物线与x轴的正半轴和y轴分别交于点A和点B，M为AB的中点，∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．∠PMQ在AB的左侧以M为中心旋转，设AD 的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

25．以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，联结AC、BC，并延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，联结OF．
（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；
（2）如图②，当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．

A

B

C

D

F

(E)

E

A

B

C

D

F

A

B

①
②
(备用图)

丰台区2012-2013学年度第一学期期末练习
九年级 数 学 参 考 答 案
一、选择题（本题共36分，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
D
C
A
C
B
D
B
D
二、填空题（本题共24分，每小题4分）
题号
10
11
12
13
14
15
答案

16
5

,
三、解答题（本题共20分，每小题5分）
16．解：原式= --------3分
= --------4分
= --------5分
17．解：（1）由题意得
解得 --------2分
--------3分
（2）令y=0, 则.解得
∴ 与x轴交点坐标为（-1,0），（3,0） -------- 4分
令x=0,则y=-3
∴与y轴交点坐标为（0,-3） -------- 5分
18. （1）证明： ∵∠A=∠A, ∠ABD=∠ACB -------- 1分
∴ΔABD∽ΔACB -------- 2分
（2）解： ∵ΔABD∽ΔACB ∴ -------- 4分
∵A D =5，AB=7∴ -------- 5分
19.解：（1）∵点P(2,1)在反比例函数图象上
∴ --------2分
∴反比例函数解析式为 --------3分
（2） ∵，∴在每个象限内，y随x的增大而减小 -------4分
∵，∴ --------5分

四、解答题（本题共24分，每小题6分）
20. ∵∠AGF=90°，∠AFG=45°，∴∠AFG=∠FAG=45°. ∴AG=FG -------- 1分
A
B
E
C
D
F
G
设AG=FG=x,则DG=4+x
∵∠ADG=30°，∴ --------3分
∴ --------4分
解得--------5分
∴AB=AG+BG ≈ 6.7(米).
答：这棵树AB的高度约是6.7米． -------- 6分
21．证明：（1）如图，联结BD
∵ AD⊥AB
F

C

G

O

D

E

A

B

1
2
∴ DB是⊙O的直径 ---1分

∵∠D=∠C，∠ABF=∠C
∴∠D=∠ABF ---2分
∴
即OB⊥BF
∴ BF是⊙O的切线 ---3分
（2）联结ＯA交BC于点G
∵AC=AB
∴弧AC=弧AB
∴∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC,BG=CG
∴
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，
∴， ∴ ------4分
在Rt△ABG中，∠AGB=90°
∴ ------5分
∴ ------ 6分
22.解： （1） ------2分
（2） ------3分
------4分
（3）当 w=2000时，=2000 ------5分
∴ 解得
答：每月销售单价应定为30元或40元 . ------6分

23. （1）证明：在Rt △ABC中，
A
B
B
C
D
E
∵∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，
∴
∴∠BCE＝∠ABC ------------2分
∵BE⊥CD
∴∠BEC＝90°
∴∠BEC＝∠ACB ------------3分
∴△BCE∽△ABC
∴E是△ABC的自相似点． ------------4分
（2）∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4 ------------6分
五、解答题（本题共16分，每题8分）
24.解：（1）点E和F关于抛物线对称轴对称
∴对称轴
又∵
∴
∴　抛物线的解析式为　　　　　　　 ------------2分
（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4）
∴　AB＝，AM＝BM＝,∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45° ------------3分　　　　　　　　　　　　
∵∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°， ∴∠BMC＋∠BCM＝135°
∵∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°， ∴∠BMC＋∠AMD＝135°
∴∠BCM＝∠AMD
∴△BCM∽△AMD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　------------4分
∴　，即　，
∴n与m之间的函数关系式为（m＞0）　　　　　　　 ------------5分
（3）∵　点F在上
　　 ∴　
∴F（－4，－8） ------------6分
MF过M（2，2）和F（－4，－8），
　　 ∴　直线MF的解析式为
　　∴直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）
　　若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝
　　若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝　　 ------------8分
　 ∴当　或时，∠PMQ的边过点F
25.解：（1）联结OC
∵C为DB中点 ∴OC=BC=OB
∴△OBC是等边三角形
∴∠B=60°
∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠BAC=30° ------------2分
（2）联结DA
∵AC垂直平分BD
∴AB=AD=10
∵DE=8，DE⊥AB
E

A

B

C

D

F

∴AE=6
∴BE=4
∵∠FAE+∠AFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°
∴∠CDF=∠EAF
∵∠AEF=∠DEB=90°
∴△AEF∽△DEB
∴
∴EF=3 ------------5分
（3）①当交点E在O、A之间时，
若∠EOF=∠BAC，则OE=
若∠EOF=∠ABC，则OE=
②当交点E在O、B之间时，OE=
综上所述，OE=或或 ------------8分

9