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第二十九讲 用“份数法”巧解应用题
有些应用题含有几上量，并且几个量之间成倍数关系，在解题时先确定一倍的量，将一倍的量看做“一份”，将几倍的量看做“几份”。然后再根据其他条件列式解答，求出最后的部题。我们就把这种解应用题的方法叫做份数法。
用份数法解题的关键是先要确定出几个量之间的倍数关系，确定出一倍的量及几倍的量，将一倍的量看做一份，将几倍的量看做几份。有些复杂的数学应用题，从份数入手可以巧妙地求解，不但可以简化思路，而且独辟蹊径，令人耳目一新。
一、 用“份数法”解答工程问题
有些工程应用题，可以根据题中的已知条件，将工作总量、几个工队的工作量或每个工队单个时间的工作量看做“份数”，利用份数关系解答，数量关系会更加简明清楚。
难题点拨
甲管注水速度是乙管的一半，同时开放甲管向池中注水，16小时可以注满。现在先开甲管向池中注水若干小时，剩下的由乙管注10小时将水池注满。问：甲管先注水多少小时？
点拨 设甲管1小时的注水量为1份，则乙管1小时的注水量是2份，全池水为（1+2）×16=48（份），所以甲管先注水48-20=28（份）。甲管注水时间是28÷1=28（小时）。
答：甲管先注水28小时。
难题点拨‚
甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用8小时，乙用10小时，丙用12小时。第二天三人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同，甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了20小时后同时搬运完毕。问：丙在A仓库做了多少小时？
点拨 由三名搬运工分别搬完条件和工作量完全相同的三个仓库的货物，甲需8小时，乙需10小时，丙需12小时，可以分别求出三人的工作效率，甲是，乙是，丙是。三人工作效率的比是：：=15：12：10，即在相同的时间里，甲做15份，乙做12份，丙做10份工作，三人一共做15+12+10=37（份）工作。三人在相同的时间里（20小时）搬完了两个仓库的货物，每个仓库的货物量是37÷2=18.5(份）。甲搬了15份货物，因此，丙帮甲搬了18.5-15=3.5（份）货物。
三人的工作效率比为：：：=15：12：10
每个仓库的货物量是：（15+12+10）÷2=18.5（份）
丙帮甲搬了：18.5-15=3.5(份）
丙帮甲搬的时间是20÷10×3.5=7（小时）
答：丙在A仓库做了7小时。
二、 用“份数法”解答比的应用题
在行程问题中，两个数的比往往表现为两个动动的物体速度的比或运动路程的比：在工程问题中，两个数的比往往表现为两队工作效率的比或两队工作量的比------如果知道两个数的比，可以将两个数分别看做“份数”，将两个数比的关系转化为份数关系。
难题点拨ƒ
一种铜和铝的合金重150千克，而铜和铝的质量比是2：3。问：这种合金中铜比铝少多少千克？
点拨 铜和铝的质量比是2：3，即铜是2份，铝是3份，铜各铝共2+3=5（份），铜比铝少3-2=1（份），因此，1份的量是铜比铝少的质量数。
150÷（2+3）=30（千克）
答：这种合金中铜比铝少30千克。
难题点拨④
甲、乙两车分别从A, B两地同时出发，相向而行。出发时，甲、乙两车的速度比是5：4，相遇后甲车的速度减少20％，乙车的速度增加20％，这样当甲车到达B地时，乙车离A地还有10千米。A , B两地相距多少千米？
点拨 根据题意，可以把A , B两地的路程平均分成9份，则相遇时甲车行了5份，乙车行了4份，相遇后甲、乙两车的速度比[5×（1-20％）] ：[4×（1+20％）]=4：4.8。所以当甲车用新的速度行完4份路程时，乙车行了4.8份，这样离A地还有5-4.8=0.2（份），这0.2份正好是10千米，所以A, B两地相距10÷0.2×9=450（千米）。
答：A ,B两地相距450千米。
难题点拨⑤
甲、乙两车分别从A ,B两地同时出发相向而行。出发时，两车的速度比是3：2，两车相遇后甲车的速度提高了20％，乙车的速度提高了30％.这样当甲车到达B地时，乙车离A地还有56千米。A, B 两地相距多少千米？
点拨 这道题如果依照常规直接分析，寻找56千米的对应分率，难度很大，解法也很繁琐，但是如果用“份数法”解答，就容易得多。
由于两车的速度比为3：2，如果假设A ,B两地的距离是5份，那么两车相遇时，甲车生了总路程的3份，乙车行了总路程的2份。
两车相遇后，由于甲车的速度提高了20％，乙车的速度提高了30％，那么乙车的速度是甲车速度的=
两车相遇后，当甲车再行2份路程到达B地时，乙车的行程为2×=1（份）。
这样56千米的对应分率是3-1=1
所以A ,B两地间的距离是：
56÷[3-2％]×（3+2）
=56÷[3-1]×5
=56÷1×5
=180（千米）
答：A ,B两地相距180千米。
三、 用“份数法”解答分数、百分数应用题
分数、百分数应用题往往可以转化成“份数”进行解答，而且解答方法更加巧妙、简便。
难题点拨
小林买了一支圆珠笔和一支钢笔共用去12元，圆珠笔的单价是钢笔的。圆珠笔和钢笔的单价各是多少元？
点拨 用“份数法”解答。因为“圆珠笔的单价是钢笔的”，如果将一支圆珠笔的价钱看做1份，那么一支钢笔的价钱就是5份，两种笔的总价钱就是5+1=6（份），即12元。可以分别求出一支圆珠笔和一支钢笔的价钱。
一支圆珠笔多少元？12÷（5+1）=2(元)
一支钢笔多少元？2×5=10（元）
答：圆珠笔的单价是2元，钢笔的单价是10元。
难题点拨⑦
甲、乙两箱苹果，每箱装2004个，现在从乙箱拿出若干苹果放入甲箱后，甲箱的苹果数恰好比乙箱多40％.从乙箱放到甲箱的苹果有多少个？
点拨 两箱苹果数变动后，甲箱苹果数是乙箱苹果数的140％，即，因此，把变动后乙箱的苹果数看做5份，甲箱的苹果数就是7份，两箱苹果的总数为5+7=12（份），原来每箱有12÷2=6（份）。从乙箱拿到甲箱的苹果恰好占6-5=1（份），即2004÷6=344（个）。
答：从乙箱放到甲箱的苹果有334个。
难题点拨⑧
一个数增加它的后是4.9，这个数是多少？
点拨 根据题意画图如下：
将“一个数”看做5份。增加，就是增加了2份，则这个数现在是（5+2）份为4.9，所以1份是4.9÷（5+2）=0.7.因此，这个数就是0.7×5=3.5.
答：这个数是3.5
难题点拨⑨
某汽车厂去年计划生产汽车12600辆，结果上半年完成全年计划的，下半年完成全年计划的。去年超产汽车多少辆？
点拨 因为“上半年完成计划的，下半年完成全年计划的”，所以全年就完成了计划的+=.将全年计划看做单位“1”，平均分成45份，完成了52份，超产了（52-45）份。
如果求出1份的量，就可以求出超产汽车的数量。
1份是：12600÷45=280（辆）
超产了（52-45）份，所以超产了：280×（52-45）=1960（辆）
答：去年超产汽车1960辆。
难题点拨⑩
水果店昨天卖出水果36千克，比前天多卖出。水果店前天卖出水果多少千克？
点拨 由题中条件可知，如果将前天卖出的水果看做单位“1”，昨天卖出的水果就是前天的1+=。这样前天卖出的水果就是8份，昨天卖出的水果就是9份。
9份是36千克，所以1份就是36÷9=4(千克）。
前天卖出了8份，前天卖出的水果4×8=32（千克）。
答：水果店前天卖出水果32千克。
四、 用“份数法”解答他应用题
难题点拨（11）
远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一。问：每层各有几盏灯？
点拨 因为相邻两层灯的数量成倍数关系，所以此题可用份数法解答。显然，这塔上的灯是上少下多。现在将从上到下的第一层（最上层）灯的数目看做1份，则以下各层灯的数目分别是2，4，6，8，16，32，64份，整座塔上灯的总份数就是1+2+4+8+16+32+64=127（份）。可以算出1份的数是381÷127=3（盏）。
从上到下各层灯的盏数分别是：第一层3盏，第二层3×2=6（盏），第三层6×2=12（盏），第四层12×2=24（盏），第五层24×2=48(盏），第六层48×2=96（盏），第七层96×2=192（盏——。
答：从上到下第一层有3盏灯，第二层有6盏灯，第三层有12盏，第四层有24盏灯，第五层有48盏灯，第六层有96盏灯，第七层有192盏灯。
难题点拨（12)
一个农妇要到37.8千米远的地方去，开始时走得快，走多了脚疼难走，每相邻两天中，后一天走的路程是前一天的一半，走了6天才到达目的地。求这个农妇每天各走多少千米？
点拨 由条件“每相邻两天中，后一天走的路程是前一天的一半”可得，如果将第六天走的路程看做1份数，则第五天走的路程是2份数，第四天走的路程是4份数，第三天走的路程是8份数，第二天走的路程是16份数，第一天走的路程是32份数。
6天走的路程是：1+2+4+8+16+32=63（份）
第六天走的路程是：37.8÷63=0.6（千米）
第五天走的路程是：0.6×2=1.2（千米）
第四天走的路程是：0.6×4=2.4（千米）
第三天走的路程是：0.6×8=4.8（千米）
第二天走的路程是：0.6×16=9.6（千米）
第一天走的路程是：0.6×32=19.2（千米）
答：这个农妇第一天走了19.2千米，第二天走了9.6千米，第三天走了4.8千米，第四天走了2.4千米，第五天走了1.2千米，第六天走了0.6千米。
难题点拨（13）
欧几里得是古希腊著名的数学家，他著的《几何原本》是世界上最早公理化的著作。欧几里得曾经编写过这样一道数学题：
骡子和驴驮着谷物一起在路上走着，途中，骡子对驴说：“如果把你驮的谷物给我一包，我驮的包数就是你的二倍；如果把我驮的包数给你一包，我们俩驮的包数就相等。”你能求出骡子和驴各驴了多少包谷物吗?
点拨 由“骡子对驴说：‘------如果把我驮的包数给你一包，我们俩驮的包数就相等。’”可知，骡子比驴多驮了2包；又由“如果把你驮的谷物给我一包，我驮的包数就是你的二倍。”可知，在骡子比驴多驮2包的情况下，驴又给了骡子1包，这时候骡子比驴多驮（2+2）包，即4包。这4包对应的正好是一倍的量。
所以驴驮的谷物是：4+1=5（包）
骡子驮的谷物是：5+2=7(包）
答：驴驮了5包谷物，骡子驮了7包谷物。
难题点拨（14）
我国北魏数学家张丘建撰写的《张丘建算经》一书中有这样一道题：甲、乙二人各有钱若干枚，如果乙给甲10枚钱，则甲比乙多的钱数是乙剩下钱的5倍;如果甲给乙10枚钱，则，甲、乙二人的钱数正好相等。问：甲、乙二人原来各有多少枚钱？
点拨 由“如果甲给乙10枚钱，则甲、乙二人的钱数正好相等”（如下图）可知，甲比乙多20枚钱。
可知这时候，甲比乙多（20+10×2）枚钱，即5倍的量是40枚钱，可以求出1倍的量（乙给甲10枚钱后乙的钱数）是40÷5=8（枚)钱。
因此，乙原来有钱：8+10=18（枚）
甲原来有钱：8×6-10=38（枚）
答：甲原来有38枚钱，乙原来有18枚钱。
难题点拨（15）
4个工人有相同数量的香烟，他们每个人抽掉6支以后，剩下的全部香烟正好等于每个人原有和香烟数。问：4个人原来共有多少支香烟？
点拨 可以用份数法解答这道题。将每个人原有的香烟数看做1份，那么4个人原来共有香烟数就是4份。每个人抽了6支香烟，4个人一共抽了6×4=24（支）香烟。这时他们剩下的全部香烟正好等于每个人原有的香烟数（即剩下的全部香烟数正好是1份），即24支香烟正好是3份的量，由此可以求出1份的量。
1份的量（原来每个人各有的香烟支数）：24÷3=8（支）
4个人原来有的香烟支数：8×4=32（支）
答：4个人原来共有32支香烟。
难题点拨（16）
小明和小强都是集邮爱好者，小明的票数是小强的5倍，如果小明给小强60枚邮票，那么小明的邮票数就正好是小强的一半。小明和小强原来有邮票多少枚？
点拨 画线段图帮助理解题意
比较第一和第三个图，可以清楚地看出，小明原有邮票5份，给了小强60枚邮标后，剩下了2份：小强原有邮票1份，从小明处得到60枚邮票后，现在有邮票4份，给前和给后的总份数都是6份。
因此，小明给了小强3份的邮票，是60枚，所以1份的邮票数是60÷3=20（枚）
小明原有邮票：20×5=100（枚）
小强原有邮票：20×1=20（枚）
答：小明原有邮票100枚，小强原来有邮票20枚。
难题点拨（17）
有两卷铁丝，一卷铁丝长度正好是另一卷的3倍，从短卷铁丝上截下20米，从长卷铁丝上截下80米，两卷铁丝剩下的长度正好相等。两卷铁丝截之前各有多长？
点拨 如下图，如果将短卷铁丝的长度看做1份，则长卷铁丝的长度就是3份。由”从长卷铁丝上截下20米，从长卷铁丝上截下80米，两卷铁丝剩下手长度正好相等”可以求出2份是（80-20）米，那么1份的长度（短卷铁丝的长度）就是（80-20）米，那么1份的长度（短卷铁丝的长度）就是（80-20）÷2，相应地就可以求出3份的长度（即长卷铁丝的长度）。
短卷铁丝长：（80-20）÷2=30（米）
长卷铁丝长：30×3=90（米）
答：短郑铁丝截之前长30米，长卷铁丝截之前长90米。
难题点拨（18）
甲、乙两个书柜里放着一样多的书，甲柜的书借出去了120本，把买来的40本新书放进乙柜，这时乙柜里的书是甲柜剩下书的3倍。求原来每个书柜各放了多少本书。
点拨 将变化后的甲柜里的书看做1份，则变化后乙柜里的书就是3份，书柜里书的前后变化情况可以用下图表示。从图中可以清楚地看出，变化后乙柜的书比甲柜多3-1=2（份），是（120+40）本，据此可以求出甲柜和乙柜原来各有书的本数。
（120+40）÷2+120=200（本）或（120+40）÷2×3-40=200（本）
答：甲柜和乙柜原来各放了200本书。
难题点拨（19）
今年父亲比儿子大24岁，6年后父亲的年龄为儿子的1倍。今年父亲和儿子各多少岁？
点拨 已知今年父亲比儿子大24岁，6年后父亲仍然比儿子大24岁，即两人的年龄差始终是24岁（定值）。6年后父亲的年龄为儿子的1（化成假分数为），若将父亲的年龄看做5份，则儿子的年龄就是3份。由题中的条件可以画出下图。
今年父亲的年龄：24÷（5-3)×5-6=54(岁）
今年儿子的年龄：54-24=30（岁）.
答：今年父亲54岁，儿子30岁。
难题点拨（20）
有两条纸带，一条长21厘米，另一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下长度的。问：剪下的一段有多长？
点拨 两条纸带的长度是（21-13）厘米，若两条纸带都剪下同样长的一段，则剩下纸带的长度差仍然是（21-13）厘米；两条纸带剪下了同样长的一段后，“发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下长度的”，若将短纸带剩下的长度看做8份，则长纸带剩下的长度就是13份ta纸带剩下的长度比短纸带剩下的长度多（13-8）份，是（21-13）厘米，可以求出1份是多少厘米，进而求出剪去同样长的一段后，长纸带（或短纸带）剩下的长度。再用原来的长度减去剩下的长度，就是剪去的长度。
剩下的长纸带是多少厘米？
（21-13）÷（13-8)×13=20.8 (厘米）
剪去了多少厘米？
21-20.8=0.2（厘米）
答：剪下的一段长0.2厘米。
习题选做
1、一个水池有三个水管，其中两个进水管，一个放水管。单开甲管，6小时可注满空地；单开乙管，3小时可注满空地，单开丙管，8小时可把满池水放完。三管齐开，多少小时可以注满水池的？ 2、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时两个仓库的粮食相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
3、已知货车速度是客车速度的，两车同时分别由甲、乙两站相对开出，在离中点6千米处相遇。求两站相距多少千米。
4、某农场有水田102公顷，旱田54公顷，现在计划把部分旱田改为水田，使旱田与水田面积的比是1：5.问：要把多少公顷的旱田改为水田？
5、A , 两地间的铁路长372千米，甲、乙两列火车从两地同时相向开出，2.4小时相遇，相遇时两车所行路程的比是16：15.甲、乙两列火车每小时各行多少千米？
6、小明读一本书，第一天读了总页数的，第二天读的页数与第一天读的页数的比是6：5，还剩下64页没有读。全书共有多少页？
7、甲 、乙两个仓库共存粮食4200吨，甲仓库运入750吨，乙仓库运出450吨后，甲 、乙两仓库存粮的质量比是8：7.甲 、乙两仓库原来各存粮多少吨?
8、两筐苹果共130千克，如果将甲筐苹果的装入乙筐，则甲 、乙两筐苹果的质量比是7：6.甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？
9、甲、乙两人同时从A, B两地出发，相向而行，甲行完全程需要6小时，两人相遇时所行路程的比是3：2，这时甲比乙多行了18千米。求乙每小时行多少千米。
10、修一条水渠，已修的和未修的长度比是2：5，再修150米，正好修完全长的一半。水渠全长多少米？
11、一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经12小时相遇。相遇后快车又行了8小时到达乙站。相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站？
12、有甲、乙两袋大米共重440千克，甲袋大米吃了，乙袋大米吃了，这时甲、乙两袋的质量比是8：5.这两袋大米原来各重多少千克？
13、甲仓库存粮比乙仓库少，如果从乙仓库运出5吨放入甲仓库则两仓库存粮相等。问：甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？
14、一个粮店新运进了一批面粉，现在一共有面粉360袋。已知新运进的面粉是原来的。新运进了多少袋面粉?
15、有两个圆，它们的面积差为209平方厘米。已知大圆周长与小圆周长的比为10：9.问：小圆的面积是多少平方厘米？
16、甲、乙、丙三个人共存款7000元，甲、乙两人存款数的比是2：3，乙、丙两人存款数的比是4：5，乙、丙两人存款数的比是4：5.甲比丙少存款多少元？
17、甲、乙两堆贷物的质量比是5：3，现在从甲堆贷物中取出30吨放入乙堆，这时甲、乙两堆贷物的质量是3：2.甲、乙两堆贷物原来各有多少吨？