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第四章 三角函数
三角函数的概念
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．角α的终边上有一点(a，－a)(a>0)，则使f(a)＝－的一个函数是
( )
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝tanx
C．f(x)＝cosx D．f(x)＝cotx
解析：由角的定义知sinα＝－＝－.
答案：A
2．若α是第三象限的角，则π－α是
( )
A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角
C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角
解析：在坐标系中，将各象限2等分，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，则由图可知，在Ⅲ内，π－在Ⅱ内，故π－在第一或第三象限，选B.
答案：B
3．若tanx>0，且sinx＋cosx>0，则角x的终边在
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由tanx>0知角x在第一或第三象限，又sinx＋cosx>0，故x不可能在第三象限．
答案：A
4. (2010·杭州质检)如图1，已知单位圆O与y轴相交于A、B两点．角θ的顶点为原点，始边在x轴的正半轴上，终边在射线OC上．过点A作直线AC垂直于y轴且与角θ的终边交于点C，则有向线段AC的函数值是
( )
图1
A．sinθ B．cosθ
C．tanθ D．cotθ
解析：根据单位圆中三角函数线的定义可知应选择D
答案：D
5．如果θ是第二象限角，且满足cos－sin＝，那么
( )
A．是第一象限角
B．是第二象限角
C．是第三象限角
D．可能是第一象限角，也可能是第三象限角
解析：∵θ是第二象限角，∴是第一或第三象限角前半区域的角，∵cos－sin＝≥0，∴cos≥sin，∴只能在第三象限．
答案：C
6．sin1，cos1，tan1的大小关系是
( )
A．tan1>sin1>cos1 B．tan1>cos1>sin1
C．cos1>sin1>tan1 D．sin1>cos1>tan1
解析：因为1rad≈57.30°，结合单位圆中的三角函数线知tan1>sin1>cos1，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．一个扇形的面积为4 cm2，周长为8 cm，则扇形的圆心角及相应的弦长分别是__________．
图2
解析：如图2所示，设扇形的半径为R，圆心角为α，则有
解得
取AB的中点C，连OC，则OC⊥AB，
且∠AOC＝＝1.∴AB＝2Rsin＝4sin1.
故所求的圆心角为2弧度，其弦长为4sin1.
答案：2,4sin1 cm
8．若θ角的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是________．
解析：由已知θ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴＝＋(k∈Z)，
由0≤＋≤2π，得－≤k≤，
∵k∈Z，∴k＝0,1,2,3，
∴依次为π，π，π，π.
答案：π，π，π，π
9．在(0,2π)内使sinx>cosx成立的x的取值范围是______．
答案：
10．已知角α的终边在直线y＝－x上，则2sinα＋cosα的值是__________．
解析：因为直线y＝－x经过原点，且过第二、第四象限，当角α的终边在第二象限时，取终边上任意一点P(－4,3)，得|OP|＝5，由三角函数的定义得sinα＝，cosα＝－，故2sinα＋cosα＝；当角α的终边在第四象限时，取终边上任意一点P(4，－3)，得|OP|＝5，由三角函数的定义得sinα＝－，cosα＝故2sinα＋cosα＝－.
答案：或－
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知角α终边上有一点P(24k,7k)(k≠0)，且180°<α<270°，求α的六个三角函数值．
解：∵180°<α<270°，且x＝24k，y＝7k，
∴k<0，r＝|OP|＝＝－25k，
∴sinα＝＝－，cosα＝＝－，
tanα＝＝，cotα＝＝，
secα＝＝－，cscα＝＝－.
12．(15分)如果sinα·cosα>0，且sinα·tanα>0.化简：cos·＋cos·.
解：由sinα·tanα>0，得>0，cosα>0.
又sinα·cosα>0，∴sinα>0，∴2kπ<α<2kπ＋(k∈Z)，即kπ<<kπ＋(k∈Z)．
当k为偶数时，位于第一象限；
当k为奇数时，位于第三象限；
∴原式＝cos·＋cos·
＝cos·＋cos·
＝＝
13．(20分)已知角α的终边经过点P(sin，cos)，且0≤α<2π，求角α.
解：解法1：tanα＝＝cot＝tan(－)
＝tan(－)＝tan＝tan.
∵点P在第四象限，0≤α<2π，
∴α＝.
解法2：点P(，－)在第四象限，tanα＝＝－，
又0≤α<2π，∴α＝.
解法3：点P(cos(－)，sin(－))，
即P(cos(－)，sin(－))，即P(cos，sin)．
∵0≤α<2π，∴α＝.
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