文心杯第一届数学奥林匹克公开赛试题2.doc

“文心杯”第一届数学奥林匹克公开赛试题

高二年级

一、选择题（每小题6分，共36分）
1. 已知复数的辐角为，的辐角为，则复数的辐角在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知定义在上的奇函数对任意都有成立，又在处取到最大值1，则下列三个结果：
（1）；（2）；（3）中正确的有（ ）
A． 0个 B． 1 个 C． 2 个 D．3个
3.使得和均为完全平方数的自然数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
4. 若正四棱锥两相邻侧面所成角是底面与侧面所成角的两倍，则侧棱与底面所成角为（ ）
A． B． C． D．
5.CBA篮球总决赛采用7场4胜制，先取胜4场的球队夺冠.若甲、乙两队每场比赛获胜的几率相等，则他们打完5场以后仍不能结束比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.在的展开式中项的系数比的展开式中项的系数大15，则等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
二、填空题（每小题9分，共54分）
7. 已知等差数列、满足，记它们的前项和分别为和，则 ．
8.若正实数满足条件，则的取值范围是 ．
9.已知如图、是椭圆的长轴上两定点，分别为椭圆的短轴和长轴的端点，是上的动点，若的最大值与最小值分别为3、，则椭圆方程为 ．
10.已知球为单位正方体的外接球，、分别为棱和的中点，直线和球的两个交点为、，则的长为 ．
11.已知二次曲线与两坐标轴恒无公共点，则的取值范围是 ．
12. 已知,这里表示不超过的最大整数,则=________________．
三、解答题（本大题共4小题，每题20分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13.已知双曲线上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围.

14.已知且，求证：
.

15.已知中，，是的中点，经过点，且与有相同的内心，
求证：.

16.给定两个正整数，若正整数使得、和构成一个三角形，我们便称为一个“好数”，现知恰存在100个好数，试求的最大可能值.

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