《1.4生活中的优化问题举例》同步练习5.doc

1.4同步练习基础巩固强化一、选择题1要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()AcmBcmCcm Dcm答案D解析设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为Vx(400x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x.当0x时，V0；当x20时，V0，所以当x时，V取最大值2将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A2和6B4和4C3和5 D以上都不对答案B解析设一个数为x，则另一个数为8x，则yx3(8x)3，0x8，y3x23(8x)2，令y0，即3x23(8x)20，解得x4.当0x4时，y0，函数单调递减；当40，函数单调递增，所以x4时，y最小3用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为()A0.5m B1mC0.8m D1.5m答案A解析设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为(m)，容积V3x4x18x284x3，V36x252x2，由V0得x或x0(舍去)x时，V0，x时，V0，所以在x处，V有最大值，此时高为0.5m.4内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()ARB2R CRDR答案C解析设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(Rh)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0得hR.当0h0；当h2R时，V0.因此当hR时，圆锥体积最大故应选C.5设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为()A BC D2答案D解析设底面圆半径为r，高为h，则Vr2h，h.S表2S底S侧2r22rh2r22r2r2.S表4r，令S表0得，r，又当x(0，)时，S表0，当r时，表面积最小6福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B C1 D8答案C解析瞬时变化率即为f (x)x22x为二次函数，且f (x)(x1)21，又x0，5，故x1时，f (x)min1.二、填空题7面积为S的矩形中，其周长最小的矩形边长是_答案解析设矩形的一边边长为x，则另一边边长为，其周长为l2x，x0，l2，令l0，解得x，易知，当x时，其周长最小8做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最小，则圆柱的底面半径为_答案3解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，L，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，S表R22RLR22，S(R)2R0，令S0得R3，当R3时，S表最小9.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为_答案11解析设窗户面积为S，周长为L，则Sx22hx，hx，窗户周长Lx2x2hx2x，L2.由L0，得x，x时，L0，当x时，L取最小值，此时1.三、解答题10(2014福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足：yf(x)ax2xbln，a，b为常数当x10万元时，y19.2万元；当x30万元时，y50.5万元(参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值(利润旅游增加值投入)解析(1)由条件可得解得a，b1，则f(x)xln(x10)(2)T(x)f(x)xxln(x10)，则T(x)，令T(x)0，则x1(舍)或x50，当x(10，50)时，T(x)0，因此T(x)在(10，50)上是增函数；当x(50，)时，T(x)0，yx24(2x)(2x)，令y0，解得x2，所以x(0，2)时，y0，x(2，)时，y0)，yx2，由y0，得x25，x(0，25)时，y0，x(25，)时，y0，所以x25时，y取最大值15某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200x)件，要使利润最大每件定价为_元答案85解析设每件商品定价x元，依题意可得利润为Lx(200x)30xx2170x(0x200)L2x170，令2x1700，解得x85.因为在(0，200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大三、解答题16(2014三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y4(x6)2，其中2x6，m为常数已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)解析(1)因为x4时，y21，代入关系式y4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y4(x6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)(x2)4(x6)2104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2x6)，从而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2x0，函数f(x)单调递增；在(，6)上，f (x)0，函数f(x)单调递减，所以x是函数f(x)在(2，6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x3.3时，函数f(x)取得最大值故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大17(2014山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为yx3x8(0x120)(1)当x64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？解析(1)当x64千米/小时时，要行驶100千米需要小时，要耗油(643648)11.95(升)(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，(x3x8)22.5，a，设h(x)x2，则当h (x)最小时，a取最大值，h(x)x，令h(x)0x80，当x(0，80)时，h(x)0，故当x(0，80)时，函数h(x)为减函数，当x(80，120)时，函数h(x)为增函数，当x80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为a200.答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米