函数应用第5课时 几类不同增长的函数模型.doc

Xupeisen110 高中数学
函数应用第5课时 几类不同增长的函数模型
（一）教学目标
1．知识与技能
利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.
2．进程与方法
在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.
3．情感、态度与价值观
在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.
（二）教学重点与难点
重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升
难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
回顾复习
引入深题
①增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论.
师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.
生：回顾总结，口述回答.
以旧引新导入课题
实例分析
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？

例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y = log7x + 1，y = 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
师生合作探究解答过程
例1 解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y = 40 (x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y = 10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y = 0.4×2x–1(x∈N*)进行描述.
三种方案所得回报的增长情况
x/天
方案一
y/元
增加量/元
1
40

2
40
0
3
40
0
4
40
0
5
40
0
6
40
0
7
40
0
8
40
0
9
40
0
10
40
0
…
…
…
30
40
0
x/天
方案二
y/元
增加量/元
1
10

2
20
10
3
30
10
4
40
10
5
50
10
6
60
10
7
70
10
8
80
10
9
90
10
10
100
10
…
…
…
30
300
10
x/天
方案三
y/元
增加量/元
1
0.4

2
0.8
0.4
3
1.6
0.8
4
3.2
1.6
5
6.4
3.2
6
12.8
6.4
7
25.6
12.8
8
51.2
25.6
9
102.4
51.2
10
204.8
102.4
…
…
…
30
214748364.8
107374182.4
再作三个函数的图象

在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
例2 解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象.

观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.
对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有
成立.
令f(x)=log7x+1– 0.25x，x∈[10,1000]
将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.
巩固练习
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表
x
0
5
10
15
y1
5
130
505
1130
y2
5
94.478
1785.2
33733
y3
5
30
55
80
y4
5
2.3107
1.4295
1.1407
x
20
25
30

y1
2005
3130
4505

y2
6.37×105
1.2×107
2.28×108

y3
105
130
155

y4
1.0461
1.0151
1.005

关于x呈指数型函数变化的变量是 .
2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？
1．解：y2
2．解：设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮……依次有a2台，a3台……被感染，依题意有a5=10×204=160.
答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.
动手尝试提升解题能力
归纳总结
2．中学数学建模的主要步骤
（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.
（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.
（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.
（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.
（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.
（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.
师生合作 反思归纳总结完善
生：通过独立思考和必要的交流，分析归纳例1、例2的解题过程，简述建模的主要步骤.
师：点评、总理学生的回答，然后完善归纳步骤.
师生合作：结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会.
培养整理知识的学习品质.通过知识整合培养数学应用能力.
课后练习
3.2 第二课时 习案
学生独立完成
强化基础提高能力
备选例题
例1 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x台影碟机，
在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x，则总费用

在乙商场购买，费用y = 600x.
（1）当0＜x＜10时，(800x – 20x2)＞600x
∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买.
（2）当x = 10时，(800x – 20x2) = 600x
∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.
（3）当10＜x≤18时，(800x – 20x2)＜600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.
（4）当x≥18时，600x＞440x
∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.
答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.
【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.
例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = abx + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.
由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.
（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，解得
所以得y=0.1x+1.
因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.
（2）设y = ax2 + bx + c，将A、B、C三点代入，有，解得，
所以y= – 0.05x2+0.35x+0.7.
因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5），不合实际.
（3）设y=+b，将A，B两点的坐标代入，有，解得，
所以y=.
因此把x = 3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.
（4）设y = abx + c，将A，B，C三点的坐标代入，得，解得，
所以y= – 0.8×(0.5)x+1.4.
因此把x= 4代入得y= – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.
因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.
【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.

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