热学教程习题参考解(第六章).doc

《热学教程》习题参考答案
第六章 习 题
6-1. 有人声称设计出一热机工作于两个温度恒定的热源之间，高温和低温热源分别为400K和250K；当此热机从高温热源吸热2.5×10cal时，对外作功20 kW﹒h，而向低温热源放出的热量恰为两者之差，这可能吗？
解：此热机的效率应为 ，故当热机从高温热源吸热cal 时，能提供的功为cal，同时向低温热源放出热量为cal。这样，倘若本题所设计的热机能够实现，它对外的作功值 kw·h cal 显然超过了此卡诺热机可能的最大输出功 cal，所以设计这样的热机是不可能的。
习题6-2图
6-2．设有1mol的某种单原子理想气体，完成如图所示的一个准静态循环过程，试求：(1)经过一个循环气体所作的净功；(2)在态C和态A之间的内能差；(3) 从A经B到C过程中气体吸收的热量。(答:(1)314 J;(2)600 J;(3)1157 J)
解：如图所示，1mol单原子气体完成的是圆形准静态循环过程。在图上，描述此圆的方程为 , 其中的。
（1）经过一个循环过程，气体所做的功等于描述此循环过程的圆面积，即 J；
（2）与A 和C点的温度为 和，故两点之间的内能差为 J，其中的定容热容；
（3）依据热力学第一定律，气体在ABC 过程中吸收的热量 ，其中的内能增量已由（2）求得；而过程中所做的功可由过程曲线下所包含的面积求得：J，故J；
（4）循环最高和最低温度分别发生在，
和，
所以相应的最高温度值为：K，
最低温度值为 K；
（5）此循环效率为 ，式中的循环功已由（1）求得 J，而循环吸热将发生在气体从最低温度升至最高温度之间，故 。
6-3．一定量理想气体作卡诺循环,热源温度= 400 K,冷却器温度为K.若已知:=10atm,=0.01 m,=0.02 m,=1.4, 试求:(l)及;(2)一个循环中气体作的功;(3)从热源吸收的热量;(4)循环的效率. (答:(1)，，，(2)2.1×10 J; (3)7.0×10J; (4)30 %)
解：(1) 先由等温过程方程，可得 atm ；再应用绝热过程方程，并考虑到绝热指数 可得 m3, 和 atm。而 atm,。再由，可计算得m3；
（2）卡诺循环功为 J；（3）从高温热源吸收的热量为 J；
（4）循环效率 。
6-4．一卡诺机,高温热源的温度为400 K,在每一循环中在此温度下吸入418 J的热量，并向低温热源放出334.4 J的热量.试求:(l)低温热源的温度是多少? (2)此循环的效率是多少? (答:(1)320 K;(2)20 %)
习题6-5图 习题6-7图
解：（1）低温热源的温度 K ；
（2）循环效率为
6-5．如图所示，有1mol理想气体完成的循环过程，其中CA为绝热过程。A点的状态参量为、B点的状态参量为和绝热指数均为已知。(l)气体在A→B，B→C两过程中和外界交换热量吗？是放热还是吸热？(2)求C点的状态参量；(3)此循环是否为卡诺循环？求循环效率。
(答:(1)AB吸热，BC放热；(2)，；；(3)不是。)。
解：（1）AB吸热过程，BC放热过程；
（2），，；
（3）此循环不是卡诺循环。在此循环的等温过程中，气体吸热，1mol气体吸收的热量为 ，对外作功为 ，故可得循环效率为
。
6-6.若可逆卡诺循环中的工作物质不是理想气体,而服从状态方程.试证明此卡诺循环的效率仍为.
解：由气体的状态方程 可见，这种气体的分子有体积，但没有引力，是一种刚性球，所以这种气体的内能仍应只与温度有关，而与气体的体积无关。事实上，由内能公式得到的结果：
，
也说明了这一点。故由热力学第一定律可知，等温过程中系统吸收（或放出）的热量应等于系统对外（或外界对系统）所做的功：
。
由气体内能只与温度有关这一性质，还可以证明：对于这种气体，理想气体的摩尔热容公式 仍然成立。所以，将热力学第一定律应用于绝热过程，可得：
，
积分后，得绝热过程方程为 ，式中的是绝热指数。现在我们可以写出，在温度为和的等温过程中，气体所吸收和放出的热量分别为： 和 。
故得此卡诺循环效率为 。
其中用到公式，这是因为依据绝热过程方程，可以写出： 和 。
6-7.设燃气涡轮机内工质进行如图所示的循环过程,其中1-2,3-4为绝热过程;2-3，4-1为等压过程.若,试证此循环的效率为:
.
解：此燃气涡轮机的循环效率为 。
考虑到在绝热过程中 ，
因此有 。
故可得
其中是绝热指数；。
习题6-8图 习题6-9图
6-8．设有一以理想气体为工作物质的热机循环,如图所示.由等压过程CA、等容过程AB和绝热过程BC所组成。若已知和绝热指数.证明此热机的循环效率为:
.
解：由于热机循环效率为 ，
其中 为气体在等体过程AB中所吸收的热量；是气体在等压过程中放出的热量，
所以可得 。
因为对于理想气体我们有 ；
再应用绝热过程方程，可得。
故可得到需证的结果 ， 其中是绝热指数。
6-9.如图所示的理想气体为工质的热机循环,其中AB和CD是等压过程,BC和DA是绝热过程.已知B点和C点的温度分别为和.证明:此热机循环的效率为 .
解：与题6-6类似，可以证明此热机循环效率为
。
在证明过程中用到绝热过程方程 。考虑到在等压过程中，因此可以得到 ，故可得上列等式。
习题6-11图
6-10.一圆筒装有压强和温度分别为2 atm和300 K的氧气,容积为3L.使氧气经历下列过程：等压加热到500K；等容冷却到250K；等压冷却到150K；等容加热到300K。(1)在图上画出四个过程,并计算每个过程终态的和值；(2)计算氧气在一个循环中所作的净功；(3)计算此循环效率。(答：(1)，=3L，；(2)202.7 J;(3)9.2 %)
6-11．以理想气体为工质的制冷机进行如图所示的循环过程,其中AB，CD分别是温度为的等温过程;BC,DA为等压过程.证明此制冷机的制冷系数为:.
解：由于和分别表示低温热源和高温热源的温度，所以可以判断，系统从温度为的低温热源处吸收的热量，即此制冷机的制冷量。故可写出此制冷机的制冷系数为 ，其中表示外界对系统所做的循环功。根据热力学第一定律，可知：

。
所以，此制冷机的制冷系数为 。
6-12．设有卡诺热机,它的低温热源的温度为280 K,效率为40％.现若使此热机效率提高到50 %,试问:(l)如低温热源的温度保持不变,高温热源的温度必须增加多少? (2)如高温热源的温度保持不变,低温热源的温度必须降低多少? (答:(1)93.3 K;(2)46.6 K.)
解：（1）依据卡诺热机效率的公式 ，可得：当，K时，K ；当，K时，K ；这就是说,在保持低温热源温度不变的情况下，为使热机效率提高，高温热源的温度必须增高K ；（2）同样，应用卡诺热机效率公式，可得：当，K，K，这就是说，低温热源的温度必须降低K。
6-13．一个平均输出功率为50 MW的发电厂,热机循环的高温热源温度为=1000 K和低温热源温度为=300 K，试求:(l)理论上热机的最高效率为多少? (2)这个厂只能达到这效率的70 %,为了产生50 MW的电功率,每秒钟需要提供多少焦耳的热量? (3)如果低温热源是一条河流,其流量为10 m/s,试求由于电厂释放的热量而引起的河水温升是多少?(答:(1)70%;(2)1.02×10J;(3)1.25 K.)
解：（1）理论上可构筑热机的最高效率应等于工作于最高温度K 和最低温度K之间的卡诺热机的温效率，即；
（2）由于此厂热机效率只能达到最高效率的，故工厂热机的实际效率为。由此可见，为产生MW的电功率，工厂需通过燃烧能源，为此热机提供热量：
MW；
（3）热机向低温热源放出热量为 MW。这部分热量为河流的流水所吸收。已知河流的流量为 m3/scm3/sg /s ，故若设水的比热 ，则河水的温升为
K。
6-14．设有一制冷机,低温部分温度为-10℃,散热部分温度为35℃,所耗功率为1500W.设制冷机实际制冷系数为理想制冷系数的l／3.若用此制冷机,将25℃的水制成 -10℃的冰,已知冰的融解热和比热分别为334.4 J/g和2.09 J/g﹒K,问此制冷机每小时能制冰多少千克? (答:22.7 Kg)
解：要把1g的25℃的水制成 -10℃的冰，需放出的热量为，其中的和分别为水的比热、冰的比热和水的凝结热；而和分别等于℃和℃，故可得 cal/g 。另一方面，此致冷机的制冷系数为

则一小时吸收热量为

制冰量为
kg/h。
6-15．彼此不发生化学作用的两种气体,体积分别为=5.0 L 和 =3.0 L,温度都是300 K,压强都是=1.0 atm.现把它们混合在一起,求熵的改变.(答:1.79 J/K.)
解：
习题6-16图
6-16．2 mol理想气体在4.0 atm下的体积为10 L(见图上所示的A点).若已知此气体的=20.9J/mol﹒K,试用证明:自A到C,沿ABC路径和ADC路径进行时,两条路径所得到的熵改变是相等的.
证明：
6-17．把2.0g的空气分别(l)等容(2)等压从40℃冷却到0℃,求过程中的熵变.(答:(1)-0.2 J/K;(2)-0.28 J/K.)
6-18．在一个大气压下，30g温度为-40℃的冰变为温度为100℃的水蒸汽，设冰和水的热容量为常数，求上述过程的熵变化值.设冰的比热为2.09J/g﹒K,冰的熔解热为334.4J/g,水的汽化热为2253J/g.(答：=267 J/K.)
解：将整个过程分为-40℃冰变为0℃的冰，0℃的冰变为0℃的水，0℃的水变为100℃的水和，100℃的水变为100℃的水蒸汽四个过程，则总的熵变为

6-19. 若已知24℃时水蒸气的饱和蒸气压为0.029824 bar，此时水蒸气的焓是2545.0 kJ/kg，水的焓是100.59 kJ/kg。(1)试求1kg水蒸气凝结为水时的熵变；(2)若初态为1mol过冷水蒸气，其温度和压强分别24℃和1bar，当它转化为24℃的饱和水蒸气和饱和水时熵变化多少? 水蒸气可处理为理想气体。(答:(1)-8.23 kJ/kg﹒K;(2)29.3,-118.8 J/mol﹒K )
6-20. 应用习题5-11的数据,计算1mol铜在1atm下,温度从300K升到1200K时熵的改变.(答:3.72×10J/mol﹒K)
解：熵变为

6-21．证明质量为,比热为常数的物质,当温度从变化到时,它的熵变化为:
.
试问:在冷却时此物质的熵是否减少?如果减少的话,与熵增加原理有没有矛盾?为什么?
解：熵变为

习题6-22用图
冷却时，此物质的熵是减少的，但是由于此物质向外传热，外界吸收热量，外界温度必然比该物质低，则系统和外界总的熵变仍然是正的，熵仍然是增加的。
6-22．以理想气体为例，证明下列两种情况的熵变为零:(l)如图(a)所示,由两条等容线和两条绝热线组成的循环过程;(2)如图(b)所示,由等温线,等压线和等容线所组成的循环过程.
证明：由于熵是态函数，当系统经历一个循环过程的时候，系统的熵变必为零。
6-23. 均匀杆的一端温度为,另一端的温度为,试证明达到均匀温度后的熵变为.
(提示:应用局域平衡假设,把杆分割为质量为的体元,在温度从变到后的熵变为,总的熵变应等于对整根杆和整个温区的积分.)
6-24. 证明:(1)理想气体发生向真空的绝热自由膨胀,体积由变为,熵变为;(2)理想气体经历节流膨胀,压强由降为,熵变为;(3)温度的kg的水与温度的kg的水混合,熵变为：,当==时, 简化为.
证明：略。
6-25.设有一定量的理想气体经历如下奥托(Otto)循环:①绝热压缩从到;②等容吸热从到;③绝热膨胀从到;④等容放热,由回到.这是一种四冲程汽油机的定容加热循环.试在图上画出此循环;并证明循环效率,其中和分别是气体的绝热压缩比和绝热指数.
证明：上课讲过，略。
6-26.若将奥托循环中的第②步改为等压吸热，其它各步保持不变。这是一种定压加热的四冲程循环,称为狄塞尔(Diesel)循环。试在图上画出此循环；并证明循环效率为

其中，和分别是气体的绝热压缩比，定压膨胀比和绝热指数.
证明：上课讲过，略。
6-27.个气体分子占有容积,它们都可能处在中的任何一点上.在某一时刻,个气体分子全都处于中的某一部分的概率为.试证明:理想气体的体积由等温地膨胀至过程中熵的改变为: ,其中是玻耳兹曼常数.
习题6-28图 (a) 习题6-28图 (b)
6-28. 从艾特金司(B.W.Atkins)棋盘游戏看玻耳兹曼熵的物理意义.设有由1600个小格组成的棋盘,分为如图a所示的两个区域:100个小格组成的中心区A和1500个小格组成的外围区B。开始时完全相同的100个棋子填满A区,B区是空域.若棋手从A区任意取出个棋子放到B区的任意小格中去,在A和B区内形成如图b所示的分布.虽说棋子本身是不可分辨的,但格子在平面上的位置是可分辨的,故棋子可因它所在位置不同而加以区别.(1)试证明,棋手在A区里从中心区的100个棋子中有种取出个棋子的不同方法;在B区他有种摆布个棋子的不同方法.(2)分别计算时的A和B两区的玻耳兹曼熵的数值(作为一级近似,可应用§3.2.3中的斯特林公式算的数值.有条件的学员可用计算机计算,并将计算结果与用斯特林公式算得的结果比较).(3)能否应用有关概率分布的知识说明(和相应的)在处有单一的极大值,而(和相应的)在范围内随是单调增加的.从而得出系统的总熵在处有极大值.(4)试说明为什么这个应等于93.75? (5)试阐述由上述计算你得到的启示和对玻耳兹曼熵的理解.(6)现在设想把棋子换成二维气体分子,每个分子只能占据一个小格.开始时气体分子被方框围困在中心区,随后撤除方框,试讨论分子将如何运动? 达到稳定后分子密度将如何分布?