容斥原理B答案.doc

数 学 奥 林 匹 克 模 拟 试 卷(答案）

第[1]道题答案：
127
从图中可以看出:参加数学、作文竞赛的总人数为312+353-292=373(人)
从而可知这两科都没有参加的人数为500-373=127(人).
数学
312
作文
353
292
?

第[2]道题答案：
224
内科
150人
外科
92人
18
人
从图可以看出,来诊病人总数为150+92-18=224(人).

第[3]道题答案：
10.75
把两个正方形面积加起来得22+32=13,但其中多算了一块阴影部分的面积,这部分面积为1.52=2.25(平方厘米),故两个正方形盖住的总面积是22+32-1.52=13-2.25=10.75(cm2)

第[4]道题答案：
15
不超过30的3的倍数有(个),不超过30的4的倍数有(个);不超过30的3´4=12的倍数有(个),因此不超过30的正整数中是3的倍数,或是4的倍数的数共有10+7-2=15(个).

第[5]道题答案：
41
如图所示,易知总人数为(15+12-7)+21=41(人).
田赛
径赛
15
12
7
21

第[6]道题答案：
219
由容斥原理知,盖住桌面的总面积为100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米).

第[7]道题答案：
23;22
至少一科得100分的有17+13-7=23(人),两科都不得100分的有45-23=22(人).
数学
语文
7
17
13

第[8]道题答案：
333
在1~1000的自然数中,2的倍数有(个),3的倍数有(个),2´3=6的倍数共有(个),故是2或是3的倍数共有500+333-166=667(个),从而既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有1000-667=333(个).

第[9]道题答案：
28
小于1000的自然数中,是完全平方数的有12、22、…,312共31个.其中12=13,82=43,272=93.又是完全立方数,故符合条件的数有31-3=28(个)

第[10]道题答案：
121
由容斥原理知,或订“作文报”或订“数学报”或订“科学爱好者”的总人数为
510+330+120-270+58=748(人)
故三种报刊都没有订的人数为960-748=212(人).

第[11]道题答案：
(1)如图,用矩形表示参赛的70个学生,而用三个圆表示分别在跑、
跳、投中得奖的人.
跑
跳
投
15
7
5
z
x
y
u

设x为只得短跑奖的人数,y为只在短跑和弹跳两项得奖的人数,z为只在弹跑与投掷两项得奖的人数,u为只在投掷和短跑两项得奖的人数.则有u=12-5=7(人),z=36-15-12=9(人),y=29-5-7=8(人),x=31-12-8=11(人).即只得短跑奖的有11人.
(2)得二次奖的人数为y+z+u=8+9+7=24(人).
(3)因至少得一次奖的人数为x+y+z+u+5+7+15=62(人),故一项奖均未得的人数为70-62=8(人).

第[12]道题答案：
设三种杂志均订的人数为x,则有28+41+20-10-12-12+x=64,解得x=9,即三种杂志都订的有9人.
A
B
C
x

第[13]道题答案：
在1~1994中,能被5整除的个数为;能被6整除的个数为;能被7整除的个数为;能被5´6=30整除的个数为;能被5´7=35整除的数为;能被6´7=42整除的个数为;能被5´6´7=210整除的个数为.
根据容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的数的个数为:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,从而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数为1994-854=1140(个).

第[14]道题答案：
要了冷饮的总人数为6+5+5-3-2-3+1=9(人),但总人数为10人,故一定有一个人什么冷饮也没有要.