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容斥原理精品文档容斥原理教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积1先包含重叠部分计算了次，多加了次；2再排除把多加了次的重叠部分减去 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数用符号表示为：图示如下：图中小圆表示的元素的个数，中圆表示的元素的个数，大圆表示的元素的个数1先包含：重叠部分、重叠了次，多加了次2再排除：重叠部分重叠了次，但是在进行 计算时都被减掉了3再包含：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考例题精讲模块一、两量重叠问题【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？（2级）【巩固】 芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？（2级）【巩固】 四(二)班有名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有人，写完数学作业的有人，语文数学都没写完的有人 问语文数学都写完的有多少人？ 只写完语文作业的有多少人？ （2级）【例 2】 某班共有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，有人两个小组都参加了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？（2级）【巩固】 四年级一班有人，其中人参加了数学竞赛，人参加了作文比赛，人两项比赛都参加了一班有多少人两项比赛都没有参加？（2级）【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？（2级）【例 3】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有人做对，第二部分有人有错，问两部分都有错的有多少人？（4级）【例 4】 对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人两项都会的有人，两项都不会的有人这个班一共有多少人？（4级）【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？（4级）【例 5】 在人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有人，既采了樱桃又采了杏的有人，既没采樱桃又没采杏的有人，问：只采了杏的有多少人？（4级）【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了块玻璃那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？（4级）【例 7】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？（4级）【例 8】 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分分以上的人，数学得分分以上的人，两门都不在分以上的有人问：两门都在分以上的有多少人？（4级）【巩固】 (第二届小学迎春杯数学竞赛)有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有人懂英语，人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？ （4级）【例 9】 一个班人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有人；做完数学作业的有人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？（4级）【巩固】 四年级科技活动组共有人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有人，装配好一架飞机模型的同学有人每个同学都至少完成了一项活动问：同时完成这两项活动的同学有多少人？（4级）【巩固】 科技活动小组有人在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有人每个同学都至少完成了一项制作问两项制作都完成的同学有多少人？（4级）【例 10】 一次数学测验，甲答错题目总数的，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的求甲、乙都答对的题目数.（6级）【例 11】 小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这8名同学站成一排其中小孙和小周不能相邻，小钱和小吴也不能相邻，小李必须在小郑和小王之间(可相邻也可不相邻)则不同的排列方法共有_种（6级）模块二、三量重叠问题【例 12】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中有黄旗的共有人，手中有蓝旗的共有人其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人而手中只有红、黄两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，那么这个班共有多少人？（6级）【巩固】 某班有人，其中人爱打篮球，人爱打排球，人爱踢足球，人既爱打篮球又爱踢足球，人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？（6级）【例 13】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的35倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人求参加文艺小组的人数（6级）【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人求这个班的学生人数（6级）【解析】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有人，参加中国象棋比赛的有人，参加国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有人，其中三种棋赛都参加的有人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级）【例 14】 新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有_人（6级）【巩固】 五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数（6级）【巩固】 六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？（6级）【例 15】 在某个风和日丽的日子，个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中个人带了汉堡，个人带了鸡腿，个人带了芝士蛋糕，有个人既带了汉堡又带了鸡腿，个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问： 三种都带了的有几人？ 只带了一种的有几个？（8级）【巩固】 盛夏的一天，有个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有人；可乐、雪碧都要的有人；可乐、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三样都要的只有人，证明其中一定有人这三种饮料都没有要（8级）【例 16】 全班有个学生，其中人会骑自行车，人会游泳，人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有个人数学不及格，那么， 数学成绩优秀的有几个学生？ 有几个人既会游泳，又会滑冰？（8级）【巩固】 五年级一班共有人，每人参加一个兴趣小组，共有、五个小组，若参加组的有人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有人那么，参加组的有_人（8级）【例 17】 五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？（8级）【例 18】 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多人；个人没有摘草莓；个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是，你能回答下列问题吗？ 有 人摘了山莓； 有 人同时摘了三种水果； 有 人只摘了山莓； 有 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； 有 人只摘了草莓.（6级）【例 19】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？（8级）模块三、图形中的重叠问题【例 20】 把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？（2级）【巩固】 把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？（2级）【例 21】 两张长厘米，宽厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？（2级）【巩固】 如图，一张长厘米，宽厘米，另一个正方形边长为厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为厘米的正方形，求这个组合图形的面积（2级）【巩固】 一个长方形长厘米，宽厘米，另一个长方形长厘米，宽厘米，它们中间重叠的部分是一个边长厘米的正方形，求这个组合图形的面积（2级）【例 22】 三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是平方厘米三个纸片盖住桌面的总面积是厘米问：图中阴影部分面积之和是多少？（4级）【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73求阴影部分的面积（4级）【例 23】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？（6级）【巩固】 如图所示，、分别是面积为、的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为若与、与的公共部分的面积分别为、，、这三张纸片的公共部分为求与公共部分的面积是多少？（6级）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除