导数与微分在物理中的应用.doc

导数与微分在高三物理复习中的应用
湖北宜昌市田家炳中学 443001 齐克军
高中数学新教材已将“导数与微分”作为高三数学教学内容，这一改革对物理教师来说，是一件如鱼儿得水的快事！在高三物理复习中，恰当运用导数与微分这一数学工具，可以简化分析过程，提升思维层次，深化对物理问题的理解；同时，可以让学生深刻体念数学在物理中的价值，培养学生善于运用数学知识解决物理问题的能力．笔者结合近几年高三复习备考的尝试，谈谈导数与微分在高三物理复习中的应用．
一、理解物理概念．
瞬时速度是一个不好理解的概念，高一物理教材在“怎样理解瞬时速度”的阅读材料中举例：汽车经过A点时，从A点起取足够小的位移或足够短的时间，所得的平均速度就等于汽车经过A点的瞬时速度．高三复习时，可以将这种表述简化为数学式：，即质点经过某点的瞬时速度等于位移对时间在该点的导数．类似地，质点经过某点的加速度等于速度对时间在该点的导数．我们还可以用匀变速直线运动的公式、来验证．
I
图1
U
A
B
电阻虽然是一个简单的物理概念，但仍然存在理解上的误区．如有的同学在＂研究小灯泡伏安特性曲线＂实验中认为：I-U图线切线斜率的变化反映电阻的变化，甚至认为I-U图线切线斜率的倒数就等于电阻．结合小灯泡伏安特性曲线（图1）来看，从A到B，切线斜率减小，电阻增大，这种理解似乎没错，但换一种情形，这种理解的错误就会显露出来．如图2，从A到B，切线斜率减小，即B点切线斜率斜率的倒数较大，但B点对应的电阻较小．从导数的知识可知，I-U图线切线斜率k等于I对U的导数，即，，上述错误在于把电阻的定义式换成了，I
U
图2
B
A
而一般情况下，，只有对金属导体这类线性元件（伏安特性曲线是过原点的直线），才有．
再如，感应电动势的计算公式，高中物理中一般只涉及两种情况：当S不变时，；当B不变时，．但高三复习中，有学生问“当B和S都变时，怎样求E呢？”，如果我们回答“这种情况高考不考”，学生是不会满意的，如果将此公式写成，同时将代入得，然后分三种情况讨论，既开阔了学生的眼界，又培养了学生的兴趣．
二、认识物理规律．
LC回路电磁振荡规律中，电容器放电时，极板间电压减小，放电电流增大，到放电完毕瞬间，极板间电压为零，放电电流达到最大．学生总是受欧姆定律的干扰，产生疑问：电压为零时，电流怎么会最大呢？高二上新课时，我们除了强调学生不要用欧姆定律研究LC回路之外，只能从电能、磁能转化和守恒的角度作定性的分析说明．高三复习时，我们可以借助导数和微分的知识，轻松地突破这一难点：
放电时，电容器极板上电荷q的减少量等于导线中流过的电量，由电流的定义式可得
再结合电容的定义式得
LC回路中电容器周期性充放电，极板间电压可表示为
则
由此可知，时，i取最大值．
绳拉物体运动的分解也是一个教学难点．如图3，小车拉绳的速度v1和木块前进的速度v2，哪个当分速度，哪个当合速度，二者关系如何，学生不易弄清，借用导数知识很容易解决：
图3
h
x
l
v1+
v2+

由图可知，
两边对时间求导得：
由于、、
故．
三、求解物理问题．
高中物理中，经常遇到一些研究变化趋势、快慢和极值的问题，这类问题通常可以用数学变换（如化为繁分数、配成完全平方式）和数学重要不等式等方法解决，但有时用这些方法显得很麻烦，甚至解不出来，而用导数和微分的方法却很简洁．实际上，导数和微分是解决这类问题的一般方法．
例一：如图4所示，某人站在离河北岸20m的A处，看到河A
B
北岸
南岸
河
图4
下游70m离河南岸10m的B处发生险情，此人马上快速跑到河边，再以跑步的速度过河跑到出事点进行抢险．已知河宽为40m，且河水不流动，此人跑步的速度为8m/s，问此人到达出事点的最短时间是多少？
河
图5
E
D
A
B
北岸
南岸
F
为便于研究，先将河道向南平移10m，使陆地上的两段运动连在一起，这样将问题情景转化成人离北岸30m，出事点在南岸边上，如图5所示．
为了求出最短时间，我们先把人沿任意路线（图5中的A-E-B）运动的时间表示出来：设EF=x，则

即 ()
根据上述表达式，求最短时间，就是求上式中t的最小值．为此，令t对x的导数等于零，即
q3
q1
q2
图6

解得x=40m，代入t的表达式得t=14.6s．这就是最短时间．（注：本题借用光学中的费马定理也可以很简洁求解）
例二：如图6所示，三个点电荷位于等边三角形的三个顶点，和为正电荷，为负电荷，电量均为，现将和固定，由静止释放，试定性讨论的速度和加速度变化情况．（不考虑重力）
图7

E
q3受电场力的合力沿和连线的中垂线，由静止释放后沿中垂线做直线运动，为弄清加速度的变化情况，先要弄清中垂线上电场强度的变化情况．根据和连线中点O处和无限远处场强均为零可推知，中垂线上电场强度不是单调递增或递减，一定存在极值点，我们需要把极值点求出来．
如图7，设和连线长为2a，则中垂线上任意一点P处场强为：

求E对的导数得：

令得：（负值对应P在O点下方）．
由于，故电场强度最大值在初位置下方．
由此可知，由静止释放后沿中垂线先做加速度增大的加速运动，再做加速度减小的加速运动，到达和连线中点O时加速度为零，速度最大，然后做加速度增大的减速运动，再做加速度减小的减速运动，到达初位置的对称点时，速度减为零，开始向上返回，此后，按照类似的规律往复运动．
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