“陈氏框”解题.doc

盈亏问题（二）比较到哪里
    较复杂的盈亏问题往往会出现两次分配的份数不同，因此，到底是求哪次的份数呢？这就在于我们自己的选择了，而选择的不同，题目的总差也就会有所不同。
    例3  四（1）班中队的学生参加夏令营，如果5个人住一个帐篷，就有2个人没有住处；如果8个人住一个帐篷，就可以少搭2个帐篷。四（1）班中队有多少学生参加夏令营？
   （1）摆条件，作图： 我们把一个框代表一个帐篷，框里的数字表示帐篷内住的人数，因为两次安排的帐篷数量不同，所以在后面多画几个框，以便于比较。

   （2）第一种比较：如上图，我们把第二次安排的帐篷数为份数，如果第一次也住同样多的帐篷，人数就会多出5×2＋2=12（人），这就是总差。
    第二次住的帐篷个数：（5×2＋2）÷（8-5）= 4（个）
    学生人数： 8×4 = 32（人） ………… 按照第二次分配情况计算
   （3）第二种比较：如下图，我们把第一次安排的帐篷数为份数，如果第二次也住满这同样的帐篷，总人数就少了8×2 = 16（人），总差就是 2＋16 = 18（人）[盈＋亏]

    第一次住的帐篷个数：（8×2＋2）÷（8-5）= 6（个）
    学生人数： 5×6＋2 = 32（人） ………… 按照第一次分配情况计算
（三）转换条件
     在比较复杂的盈亏问题中，分配后的结果（盈与亏）不是直接告诉我们，如例题3中第一种比较，前一次分配结果实际是盈5×2＋2=12（人），而第二种比较，后一次分配结果是亏8×2 = 16（人）。这种隐藏的盈亏结果需要我们对条件进行整理转换才得到，对已知条件进行转换是解答复杂应用题的一条途径。
    例4  动物园为猴山的猴子买来，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问猴有多少只？共买来多少个桃？
   （1）作图：

   （2）看图分析，在本题中单差不一样，怎么办？我们可以转换条件，假释第二次分配前10只猴也分到8个桃，这样单差就一样了。不过，这样分的话，桃就少了（8－4）×10 = 40（个）。转换图如下：

    猴的只数：（8－4）×10 = 40（个）
          （40＋32）÷（8－5）= 18（只）
    桃的个数：5×18＋32 =122（个） ………… 按照第一次分配情况计算
           答：猴山共有18只猴，共买来122个桃。
    例5  阿姨给小朋友们分苹果，如果其中有3个小朋友分得4个，其他人每人分2个，还多4个；如果其中有2个小朋友每人分得6个，其他人每人分4个，则少12个苹果。一共有多少个小朋友？有多少个苹果？
    （1）提示：条件与转换图如下

流程图（1）：直线型思维
    多步应用题条件之间环环相扣，从基本条件到最终问题之间有好几个中间量，其解答过程就像现代化工业生产流水线。步骤多了，学生很容易思维混乱，理不出头绪，而逆推题更是让学生头痛不已。我的流程图构思与生产流水线何其相似——
    例1②  某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6。则这个数是       。
    常见的解题方法是：
   （1）逐步倒推，除的变乘，乘的变除，减的变加，加的变减。
        列式：（6×6＋6）÷6－6
   （2）列方程：[(x＋6)×6 －6] ÷6 = 6
    以上的两种方法的弊端是：前者解释难得大，学生难以学透；后者是多步方程，解答难度大。而且列式都涉及到括号，学生往往忘记或括号位置打错。
   “陈氏框”流程图如下：

    说明：①、②、③、④表示根据题意每步运算的结果，我们可以按照这个流程图，逐步倒推，最后得到结果。
    解：③  由 “□÷6 = 6”   得 □ = 6×6 = 36
        ②  由 “□－6 = 36”  得 □ = 36 + 6 = 42
        ①  由 “□×6 = 42”  得 □ = 42÷6 = 7
        原数：由“□＋6 = 7”  得 □ = 7－6 = 1
    把图中框格填好了，结果也就出来了，条理与思路很清晰。

    例2  某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还少10元。这时还剩125元。他原有存款多少元？
    分析：（1）第一次取去一半还多5元，则余下数为原有数的一半少5元；（2）第二次取去余下的一半还少10元，则最后剩余的为上次剩余的一半多10元。根据条件与分析画“陈氏框”流程图如下：

    图中红色字为题中条件，兰色字为推导出的新条件。
    “①余”表示第一次取款后的剩余款数，“②余”表示第二次取款后的剩余数，即最后剩余125元。
    逐步逆推分析：“②余”125元是“①余”的一半多10元，则125－10 正好是“①余”的一半，那么“①余”应该是：（125－10）×2 = 230（元）；同理，“①余”230元是原有的一半少5元，则230 +5 正好是“原有”的一半，那么“原有”应该是：（230 +5）×2 = 470（元）。完成填图如下：

     解：①余：（125－10）×2 = 230（元）；
         原有：（230 +5）×2 = 470（元）
    小结：上面的流程图把题目条件用一条线串联起来，而我们的小学生思维方式最接近的就是这样的直线型思维，所以很愿意也很容易接受。直线型思维是逻辑思维的基础，当我们把若干条思维线索交叉整合，就构成了立体型思维了，立体型思维是逻辑思维的最高形式。
          流程图（2）：立体型思维
    例3  甲、乙、丙三人各有连环画若干本。如果甲给乙5本，乙给丙10本，丙给甲15本。那么，三人现有的连环画都是25本。他们原来各有多少本？
    分析：因为有三个人，他们的本数都变化了，所以给甲、乙、丙三人各画一条流程图，他们之间操作了三次，就把三次情况表示出来，“＋”表示数量增加，“－”表示数量减少，“” 表示数量不变。如下图：

    填图如下：各流程图从后往前逆推即可求出数据。

    解：甲  35－15 = 20（本）   20＋5 = 25（本）
        乙  35＋10 = 45（本）   45－5 = 40（本）
        丙  35＋15 = 50（本）   50－10 = 40（本）
    答：原有25本，乙原有40本，丙原有40本。
    例4  A、B、C三个油桶各盛油若干千克。第一次把A桶的一部分倒入B、C桶，使B、C桶的油增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入A、C桶，使A、C两桶的油增加到第二次倒油之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B桶，使A、B两桶的油分别增加到第三次倒油之前桶内油的2倍。这样，各桶的油都为16千克。问：A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？（第四届《小数报》数学竞赛题）
    分析：本题可用“列表倒推法”，结合题意画表，然后分析题意，各步逆推计算出数据，填好表格。（如下表）

    我们再来看看“陈氏框”，通过对比，可以看出“陈氏框”图示把各次操作的情况表现出来了，思路更清楚更明了。（如下图）

    看图可以得出：A、B的“②余”都是16÷2 = 8（千克），说明A桶和B桶在第三次操作时都增加了16－8 = 8（千克），那么，C桶在第三次操作中倒出了8 + 8 = 16（千克）的油（因为第三次操作中A、B两桶增加的油是从C桶倒出了），所以，丙的“②余”是16＋16 = 32（千克）。
    其他各步思路一样，综合逆推既可完成填图，得到问题的答案。

    答：甲桶原有油26千克，乙桶原有油14千克，丙桶原有油8千克。
    总结：“陈氏框”就是方框，但她不是简单几个方框，她是具有生命的方框，她把题目中复杂的数量关系直观化表达出来了，从而让我们和学生们通过观察图示得到思路——让我们的思路看得见，是我创建“陈氏框”最初的也是最根本的目的。
    其实，“陈氏框”的绘制过程也是我们对题目条件的整理与再加工的过程，作图的方法并不难，读了一个条件就画出相应的框，读完了题目，图也就作出来了。当我们能够清晰地把握非常复杂的数量关系，像“庖丁解牛”一样把条件与条件、条件与问题之间的联系明白地展现出来了，解题的思路也就形成了。
“陈氏框”解题法（2）
    在流程图中，我们注重的是条件之间纵向联系，在更多的时候，我们应该注意对相关条件进行横向比较，从中找到解题方案。比较与分析，是“陈氏框”解题的最常用的思维方式。
          （1）比较与转换
    有些应用题中有两个或更多的未知量，如果列方程解答当然可以，只是列复杂方程本身就是小学生的知识难点，而解答复杂方程更超出了他们的知识基础。
    例1  体育老师去文具店买来了4个足球和5个篮球，我去问他足球和篮球的单价时，他说：我只记得1个篮球比1个足球多8元，这9个球一共328元，而这两种球的单价我都忘记了。聪明的同学，你能求出这两种球的单价吗？
    (一)作图，题目中有两个量：足球和篮球。我们把它们都用方框表示出来，一个框代表一个球，球的单价就写在框里面，不知道的就暂时空着。（如下图）

    (二)比较与分析：足球与篮球单价都不知道，它们相差8元（1个篮球比1个足球多8元）。一口不能吃下俩馒头，我们可以转换条件，假释买的全是篮球或者全是足球，先求出其中一个量来②。
   （三）解法一：把足球转换成篮球（说明：每个足球换成篮球要“+ 8”元，4个足球都换成篮球就要“+ 8×4”元，即总价需要“328 ＋ 8×4 ”元）
    篮球单价：（328 ＋ 8×4 ）÷ （4 ＋ 5）= 40（元）
    足球单价：40 － 8 = 32（元）
        解法二：把篮球转换成足球（说明：每个篮球换成足球要退回8元，5个篮球都换成足球就要退回8×5元，也就是说总价只需要“328 －8×5”元）
    足球单价：（328 － 8×5）÷ （4 ＋ 5）= 32（元）
    篮球单价：32 ＋ 8 = 40（元）
        答：每个篮球40元，每个足球32元。
   （四）小结：“陈氏框” 解题的基本步骤如下
    ①读题，摆条件，作图。
    ②比较分析
    ③确定解题思路（策略：转换或假释等）
    ④解答
           （二）计划与实际应用题
    计划与实际应用题由于数量较多，条件比较杂乱，往往使学生模糊不清，如把计划的单一量与实际的单一量混淆，或把计划的时间与实际的时间混淆。我们如果把题目中的条件画成“陈氏框”，所有条件与数量关系都一目了然了。
    例2  一堆煤原计划烧25天，实际每天烧煤8.5吨，比计划多烧5天，原计划每天烧多少吨？实际每天比计划节约多少吨？
    说明：本题是典型的计划实际应用题，而我们的学生最常见的错误解答是
   （1）原计划每天烧煤：8. 5 ×25÷（25＋5）≈7.08（吨）
   （2）实际每天比计划节约：8.5 － 7.08 = 1.42（吨）
    错在哪里呢？混淆了数量关系！我们利用“陈氏框”来展示条件，就可以避免这样的错误。
    ①  摆条件，作图：把计划情况与实际情况分两行作框，每个框代表一天的烧煤量，因为计划和实际都是烧同样的一堆煤，所以总量“一样多”。（如图）

    ②  比较分析：看图，把可以一眼看得出的新条件补充上去（图中实际天数“30天”为推导出的新条件），条件越多，越有利于得到思路。
    ③  确定解题思路：先根据实际情况求出这堆煤总量，再求出计划每天烧煤量，最后求实际每天比计划节约用煤量。
    ④  解答：
       （1）煤总量： 8. 5 ×（25＋5）= 255（吨）
       （2）计划每天烧煤：255÷25 = 10.2（吨）
       （3）实际每天比计划节约：10.2 － 8.5 = 1.7（吨）
                      答：略。
    例3  一个木器厂要生产一批桌子，原计划每天生产48张，实际每天比原计划多生产2张，结果提前一天完成生产任务。原计划要生产多少张桌子？
    ① 摆条件，作图：把计划情况与实际情况分两行作框，一个框代表每天生产的数量，实际每天比计划每天多生产的2张用“+2”表示，写在上下两个框之间；框的数量可以多画几个，因为天数不明，所以框之间用“……”号表示若干天；实际比计划提前一天。就在实际情况里少画一个框表示少用了1 天。（如图，图中50是推导出的新条件）

    ② 比较分析：看图，你发现计划和实际两种情况有什么相同的和不同的地方吗？既然工作总量一样多（完成生产任务），那么计划中最后一天的工作在实际中是怎样完成的？
    ③ 确定解题思路：由上面的问题及其看图，我们可以知道，计划最后一天的48张工作量在实际中被分散到实际每天“多生产”的2 张里完成了，即若干个“2张”累积等于“48张”，这若干个就是实际生产的天数。实际每天生产量（48+2）乘实际天数得到实际生产总量，也就是原计划生产的总张数。
    ④ 解答：
 实际天数：48÷2 = 24（天）
 生产总任务：（48 + 2）×24 = 120（张） ……这是按照实际情况计算得到的
              或48×（24＋1）= 120（张）……这是按照计划情况计算得到的
          答：略。
小结：若总量相同时，我们把上下对应的框之间的差称为“单差”（单一量之差），后面没有一一对应的多余数量称为总差③。如；例3中，“+2”是单差，“48”是总差。
    “陈氏框”解题法基本公式：单差×份数 = 总差 （份数就是上下相对应的单差个数）
    思考：例2中，“－？吨”是单差，“8.5×5”是总差，所以第2问“实际每天比计划节约多少吨？”也可以这样算8.5×5÷25 = 1.7（吨）…… 理由何在？（总差÷份数 = 单差）
            （三）同类延伸
    例4  制瓶厂每天烧1.2吨煤，比原计划每天少烧0.1吨，这样原计划烧60天的煤，现在可以多少多少天？
    ①、作图：

    ②、常规解答方法:
        煤总量:(1.2 + 0.1)×60 = 78(吨)
        实际天数:78÷1.2 = 65(天)
        多烧天数:65－60 = 5(天)
    ③、“陈氏框”巧解方法：
        总差：0.1×60 = 6（吨）…… 即实际前60天少烧的煤
        多烧天数：6÷1.2 = 5（天）…… 节约出的6吨煤实际还可以烧多少天
    例5  某班同学去划船，如果每条船少坐1人刚好坐满8条船；如果每条船多坐1人刚好坐满6条船。这个班共有多少人？（2002年重庆市沙坪区小学数学竞赛题）
   （1）提示图：

   （2）看图分析：“每条船少坐1人”与“每条船多坐1人”比较，两次中每条船相差2人，即单差为2，前一种坐法的最后两条船坐的人数为总差，我们可以先把第一次每条船的人数求出来，再求总人数。
   （3）解答：
        总差：（1 + 1）×6 = 12（人）
        第一次每船坐的人数：12 ÷（8－6）= 6（人）
        这个班总人数：6×8 = 48（人）……按第一次情况计算
                 或：（6 + 2）×6 =48（人）……按第二次情况计算
    总结：“陈氏框”解题的主要策略，（1）画图，整理条件，进一步弄清楚数量关系；（2）根据图进行比较，生成一些新的条件；（3）再进行转换与假释，从而得到解答方法，或根据单差与总差的关系求解。
     当你画出了“陈氏框”图，其实离正确解答已经不远了。