单调性的定义、单调区间.doc

《函数的单调性》（必修一）学导案
——函数的单调性（1）
【课程学习目标】：
理解函数单调性的概念，能正确地判定和讨论函数的单调性，会求函数的单调区间。
【学习重点】：增函数和减函数的定义.
【学习难点】：用增减函数定义证明函数的单调性（通过初中学过的一次函数和反比例函数突破）
读记教材交流：（自主预习）不看不讲

1．增函数：设函数的定义域为A，区间，若对于区间内的 ，当 时，
都有 ，则称函数在 是单调增函数，为
图象示例：
2．减函数：设函数的定义域为A，区间，若对于区间内的 ，当 时，
都有 ，则称函数在 是单调减函数，为
图象示例：
3．单调性：函数在 上是 ，则称在 具有单调性
4. 单调区间：
说明：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．
（4）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
a.设x1．x2∈给定区间，且x1＜x2 （取值）；
b.计算f（x1）－f（x2）至最简（作差）；
b.判断上述差的符号（断号）；
d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数) ．
基础训练：
1．画出的图象，观察（1）x∈;（2）x∈;（3）x∈（-∞，+∞）
当x的值增大时，y值的变化情况。
2．若（a,b）是函数的单调区间，x1．x2∈（a,b）且x1＜x2，则有（ ）
A． f(x1)< f(x2) B f(x1)>f(x2). C f(x1)=f(x2). D 以上都可能
3．函数，x∈上的单调性为（ ）
A减函数 B 增函数 C 先减后增 D 先增后减
4．函数的单调区间为
A．x∈;B x∈; C x∈（-∞，+∞） D x∈（0，+∞）
5．若函数是实数集R上的增函数，a是实数，则下面不等式中正确的是_________.
(1) (2) (3) (4)

能力交流训练：（新知学习）不议不讲
例1．说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性。

变题：（1）判断函数在（０，１）的单调性

例2．证明：（1）函数在上是增函数．
（2）函数在上是减函数．

变题：（2）若函数在区间（，1）上是增函数，试求的取值范围。

例3．（1）如图，已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数。

（2）函数的单调递增区间 ；单调递减区间 。

变题1：作出函数的图象，并写出函数的单调区间。

变题2：函数在上是增函数，求实数的取值范围.

变题3：函数在上是增函数，在上是减函数，求函数的解析表达式。

例3．（1）函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数,比较f（a2－a＋1）与f（）的大小关系。

（2）已知在上是减函数，且则的取值范围是________ _____ 。

变题：已知在定义域上是减函数，且则的取值范围是________ _____ 。

课后训练：
1．在区间上是减函数的是________________.
(1) (2) (3) (4)
2．若函数是实数集R上的增函数，a是实数，则下面不等式中正确的是_________.
(1) (2) (3) (4)
3．已知函数f (x)= x2－2x＋2，那么f (1)，f (－1)，f ()之间的大小关系为 .
4、函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则______
5．已知函数f（x）＝x2－2ax＋a2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，则a的取值范围是 。

【反思小结】：(1)增函数 ， 减函数 ， 单调性 ， 单调区间 四个概念
(2)判断函数单调性的两种方法 （图象法，定义证明法）

作业：1．求证：（1）函数f(x)=x2+1在上是减函数.

（2）函数f(x)=1-在上是增函数.

（3）函数在是减函数.

拓展延伸：
1．函数在上是增函数，求实数a的取值范围.

2．已知函数在区间上是增函数，试求的取值范围。

《函数的单调性》（必修一）学导案
——函数的单调性（2）
【课程学习目标】：1．使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；
2．掌握增(减)函数在比较大小、解不等式、求函数最值方面的应用．

【学习重点】：1、会叛断函数的单调性，求单调区间。
2、求函数的最值或求某变量的取值范围。
【学习难点】：函数单调性的简单运用

读记教材交流：（自主预习）不看不讲
1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1

y
x
1
-1
1
-1
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x
y
x
1
-1
1
-1
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（2）f(x) = -x+2
y
x
1
-1
1
-1
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，
（1）当x1<x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是 函数
（2）当x1<x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是 函数

基础训练：
1、函数的单调增区间为 （ ）
A. B. C. D.
2、函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于 （ ）
A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数
3、若函数在上是减函数，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
4、函数的减区间是____________________.
5、若函数在上是减函数，则的取值范围是______.

能力交流训练：（新知学习）不议不讲

例1 求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
【思路分析】先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值．
【变式】若区间为呢？

例2 已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-1)<f(x2-1),求x的取值范围．
解：由f(x-1)<f(x2-1)及f(x)的定义域．增减性，可得到不等式组：

例3 如果二次函数f(x)=x-(a-1)x+5 在区间上是单调增函数，求f(2)的取值范围．
解：f(x)是开口向上的抛物线且f(x) 在区间上是单调增函数，

f(2)=4-2(a-1)+5=11-2a
课后训练：
1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ）
A. B. C. D.

2、函数的单调减区间是 （ ）
A. B. C. D.
3、函数，上的单调性是_____________________.
4、已知函数在上递增，那么的取值范围是________.
5、设函数为R上的增函数，令
（1）、求证：在R上为增函数
（2）、若，求证