广东省历年中考数学压轴题.doc

(完整)广东省历年中考数学压轴题
广东省历年中考数学压轴题（1） 姓名:
1．（2010年）阅读下列材料：
，
,
,
由以上三个等式相加,可得
．
读完以上材料，请你计算下各题:
（1）（写出过程);
(2) ；
（3) ．

2．(2009年9分）小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格，
方 程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解

令
则

所以

3．(2010年9分）某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行礼170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共有10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李,乙车每辆最多能载30人和20件行李．
⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案;
⑵如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省?

广东省历年中考数学压轴题（2） 姓名:
4．(2007年9分)已知等边的边长为，以AB边上的高为边，按逆时针方向作等边，与相交于点．
(1）求线段的长；
(2)若再以为边按逆时针方向作等边，与相交于点，按此作法进行下去，得到,,…， （如图）.求的周长．
A2
A A1 B
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
A3
A4
A5
A6
A7
O

5．（2005年9分)如图，已知半圆O的直径AB=4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上，当三角板绕点O转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点，连接AD、BC交于点E.
（1）求证:∽;
（2)求证：BD=DE恒成立；
(3)设，求的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
C
D
A

O

B
E

广东省历年中考数学压轴题（3） 姓名：
6．（2006年9分）如图，在 ABCD中，,点E，F分别在CD，AB的延长线上,且AE=AD，CF=CB．
(1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉巳知条件的“",上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程;若不成立，请说明理由．
O
E D C
A B F

7．(2007年9分)如图，正方形ABCD的边长为，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与相对应的在运动过程中始終保持≌，对应边EG=BC，B、E、C、G在一直线上.
（1)若BE=，求DH的长;
F H
B E C G
A D
（2）当E点在BC边上的什么位置时，的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．

广东省历年中考数学压轴题（4） 姓名：
8．（2009年9分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1)证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y,求y与x之 间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积;
(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．
N
B M C
A D

9．（2010年)如图（1）,（2)所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4,点F在DC上，DF＝2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上)，当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动．连结FM、MN、FN，当F、N、M不在同一条直线时，可得，过三边的中点作PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为秒．试解答下列问题：
(1）说明∽QWP；
(2）设0≤≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问为何值时，PQW为直角三角形?当在何范围时,PQW不为直角三角形?
（3）问当为何值时，线段MN最短?求此时MN的值．
B
N
Q
Q
W
P
M
D F C
A N B
图1
W
P
M
D F C
A
图2

广东省历年中考数学压轴题（5） 姓名：
10．（2008年9分)（1)如图1，点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD，相交于点E，连结BC,求∠AEB的大小；
E
C
B
O
D
A
B
A
O
D
C
E
图1
图2
(2)如图2,固定不动，保持的形状和大小不变，将绕着点O旋转（和不能重叠)，求∠AEB的大小．

11．（2006年9分)如图所示，在平面直角坐标系中,四边形是等腰梯形，BC∥OA,，，,点为轴上的一个动点，点不与点、点重合。连结，过点作交于点.
（1)求点的坐标；
（2）当点运动什么位置时，为等腰三角形,求这时点的坐标;
D
C
A
B
P

(3）当点运动到什么位置时，使得且,求这时点的坐标．

广东省历年中考数学压轴题(6） 姓名：
12．(2005年9分）如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD、BC的中点，E，F分别是BM、CM的中点，
(1)求证：四边形MENF是菱形；
E F
B N C
A M D
（2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系,并证明你的结论．

13．(2007年9分)如图①、②，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题,如图②。已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm）,设铁环中心为O,铁环钩与铁环相切点为M,铁环与地面接触点为A,∠MOA＝α,且sinα＝.
(1)求点M离地面AC的高度BM(单位:厘米)；
（2)设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米)．
A
B
C
M
F
O
α
图②
图①

广东省历年中考数学压轴题(7） 姓名：
14．（2009年9分）
(1）如图1,圆内接△ABC中，AB=BC=CA,OD、OE为⊙O的半径,OD⊥BC于点F,OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的；
(2)如图2,若∠DOE保持角度不变,求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC面积的．
A
B F C B C
A
E
E
D
D
O
O
G
图2
图1

15、（2011•广东)如下数表是由从1开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答．

（1)表中第8行的最后一个数是　　，它是自然数　　的平方，第8行共有　　个数;
(2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是　　，最后一个数是　，第n行共有　　个数；
（3）求第n行各数之和．

广东省历年中考数学压轴题（8） 姓名：
16、（2011•广东）如图（1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点,如图（2）

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有　　及　　；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．

17、(2011•广东）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3)设在（2）的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

1．(1)解:，，
,……,，以上各式相加，可得;（2）；(3）
2．
方 程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解

令
则

(舍去）

所以

令
则

（舍去)

所以，

3．⑴设租甲型车x辆，则租乙型车（10-x）辆,依题意，得，解得，因车辆数为正整数，故x=4，5，6，7．租车方案为：甲型车4辆，乙型车6辆；甲型车5辆，乙型车5辆；甲型车6辆，乙型车4辆；甲型车7辆，乙型车3辆；⑵设租车费用y，则，∵200〉0，∴y随x的增大而增大，∴当x=4时,y的值最小，∴租甲型车4辆，乙型车6辆使租车费用最省．

4．（1）；
(2） ，，,以此类推，，所以的周长为：．

5．(1)证明：依题意，可得，即,又∵，∴∽；（2)∵AB为直径，∴，又∵,∴在中，有,∴；(3)在中，∵,∴，∴，∴，又∵，，∴在中，有，∴的面积为: ．
6．（1)证明略；(2)成立．因为

7．解：（1）连接，∵≌,∴BF=EH，,∴BF∥EH，∴四边形BEHF是平行四边形，∴FH= BE=,又∵E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，∴CF= BE=,∴DF=3,∴在中，；（2）设,则有
,所以当时，的面积取得最小值，最小值为．
F H
B E C G
A D

8．(1）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=，由AM⊥MN，得∠AMN=，∴∠CMN+∠AMB=，而在Rt△ABM中,∠MAB+∠AMB=，∴∠CMN=∠MAB，∴Rt△ABM∽Rt△MCN。 ．
（2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即,得， ∴,∴当时，有最大值，最大值是10．
(3）∵∠B=∠AMN=，∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN,必须有，由（1）知， ∴， ∴当M点运动到BC的中点时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x=2．
9．解：(1)如图(1），∵P、Q、W分别是三边的中点，∴，∴∽QWP；
（2)由（1）知∽QWP，故只讨论的情况，过点N作NE⊥CD交CD于E，由图(1）知,，DF=2，，，,EN=4．
Q
W
P
M
D F E C
A N B

情况①：当时，有，解得;
②情况：当时，有，化简得:，∵∴方程无解；
③情况:当时，有，解得；
综上所述，当，时，为直角三角形，即PQW为直角三角形；当x≠4、时,不为直角三角形,即PQW不为直角三角形．
(3）当0≤≤4时，显然MN逐渐缩短,故只考虑4≤≤6，即图(2）的情形，∵，，∴，∴当时，最小,即最小MN，∴，．

10．(1） (略解)如图1，由,可得，所以．
（2) 如图2，∵，∴,又∵，,
,∴，
∵,∴
4
6
5
3
2
1
6
5
4
3
1
2
E
C
B
O
D
A
B
A
O
D
C
E
图1
图2
7
8

11． (1)证明略；（2）．
12． （1)；(2）；（3）设，可证∽,得,即,解得或,所以或
13．(1)(略解)过M作AC的平行线，分别与OA、FC交于点H、N，则BM=OA—OH=1个单位=5；(2)由可证，个单位,即.

14．(1)连接OA、OC，因为O是等边△ABC的外心，所以，,又因为，所以
（2)(略解法一）连接OA、OB、OC ,设OD交BC于点F,OE交AC于点G，则,再证，所以。
(略解法二）设OD交BC于点F，OE交AC于点G，过O作OH⊥BC，OK⊥AC，证明，所以．

15.（1）每行数的个数为1,3，5，…的奇数列，由题意最后一个数是该行数的平方即得64，
其他也随之解得:8，15；
（2）由（1）知第n行最后一数为n2，则第一个数为：(n—1）2=n2-2n+2，
每行数由题意知每行数的个数为1，3，5,…的奇数列，
故个数为2n—1;

（3）第50行各数之和：=242649．
16、解：（1)∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，
∵∠HAG=∠B=45°，∠H+∠HAC=45°,∠HAC+∠CAG=90°，
∴∠H=∠CAG，
∴△HAB∽△HGA，
∴始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；
故答案为：△HAB和△HGA．

（2）∵△AGC∽△HAB，
∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，
∴y=81/x(0＜x＜92）,
答：y关于x的函数关系式为y=81/x(0＜x＜92）．

(3）∵∠GAH=45°，分两种情况讨论：
①当∠GAH=45°是等腰三角形的底角时，如图（1）：
∵AC=9，在等腰直角三角形ACG中，CG=AG，根据勾股定理得：AC2=CG2+AG2，
∴CG=AG=922；
当∠GAH=45°是等腰三角形的底角时，如下图:

此时点B，点G与点E重合，
∵AB=AC=9，在等腰直角三角形ACG中,CG=BC，根据勾股定理得:CG2=AB2+AC2,
∴CG=92；
②当∠GAH=45°是等腰三角形的顶角时如图(2)：由△HGA∽△HAB，
∵AG=AH，
∴∠AHG=∠AGH=12（180°—45°）=67。5°，
∴∠BAH=180°—∠B—∠AHB=67.5°=∠AHG,
∴HB=AB=9,
同理AC=CG，
∴BG=HC，
可得：CG=x=9．
答：当x为922、92或9时,△AGH是等腰三角形．

17、解：（1）∵当x=0时，y=1,
∴A（0，1），
当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，
∴B（3，2.5）,
设直线AB的解析式为y=kx+b,
则：,
解得:，
∴直线AB的解析式为y=x+1；
(2)根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；
(3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC,此时，有﹣t2+t=，
解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时,四边形BCMN为平行四边形．
①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中,MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，NP=,故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．

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