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数学运算重难错专题讲义
专题一 余数与同余
基础核心公式:余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数）
余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数
解题关键:1、掌握基础核心公式；2、熟练代入法、试值法、赋值法；
3、典型题目学会用口诀。
【例 1】（内蒙古 2009-15）a 除以 5 余 1，b 除以 5 余 4，若 3a>b，那么 3a-b 除以 5 余
几？A.1B.2C.3D.4
【例 2】（北京社招 2009-15）某生产车间有若干名工人，按每四个人一组分多一个人，
按每五个人一组分也多一个，按每六个人一组分还是多一个，该车间至少有多少名工人？
A.31B.41C.61D.122
【例 3】（江西 2009-43）学生在操场上列队做操，只知人数在 90～110 之间。如果排成
3 排则不多不少；排成 5 排则少 2 人；排成 7 排则少 4 人；则学生人数是多少？（）
A. 102B. 98C. 104D. 108
【例 4】（浙江二类 2007-21）小张在做一道除法题时，误将除数 45 看成 54，结果得到
的商是 3，余数是 7。问正确的商和余数之和是（）。
A. 11B.18C.26D.37
【例 5】（北京社招 2006-14）两个整数相除，商是 5，余数是 11，被除数、除数、商及
余数的和是 99，求被除数是多少？（）A.12B.41C.67D.71
【例 6】（山东 2006-8）有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过 400，并且 A 除
以 B 商是 5 余 5，A 除以 C 商是 6 余 6，A 除以 D 商是 7 余 7。那么，这四个自然数的和是
（）。A. 216B. 108C. 314D. 348
【例 7】（北京 2007 应届-11）一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是 8。
问被除数、除数、商以及余数之和是多少？A.98B.107C.114D.125
同余问题核心口诀:“余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期”
1.余同：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，则取 1，表示为 60n+1

2.和同：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，则取 7，表示为 60n+7
3.差同：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，则取-3，表示为 60n-3
选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的 60n）都满足条件。
注意：n 的取值范围为整数，即可以取负值，也可以取零值。
【例 8】（浙江 2005-13）自然数 P 满足下列条件：P 除以 10 的余数为 9，P 除以 9 的余
数为 8，P 除以 8 的余数为 7。如果：100＜P＜1000，则这样的 P 有几个?（）
A.不存在B.1 个C.2 个D.3 个
【例 9】有一群人，想平均分组，如果每组 21 个人，那么还差 1 个人，如果每组 35 个
人，那么还差 15 个人。请问：如果每组 15 个人的话，还差多少人？
A.1 个B.5 个C.10 个D.14 个
【例 10】（国 2006 一类-50、国 2006 二类-34）一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除
以 4 余 3，这样的三位数共有（）。
A. 5 个B. 6 个C.7 个D.8 个
【例 11】（浙江 2010-77）有一个自然数“x”，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 3，
问“x”除以 12 的余数是多少？
A.1
B.5
C.9
D.11
【例 12】一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，这样的数在 100-1000 之间有多
少个？
A. 5 个B. 6 个C.7 个D.4 个
【例 13】一个自然数，被 7 除余 2，被 8 除余 3，被 9 除余 1，1000 以内一共有多少个
这样的自然数？
A.1 个B. 2 个C.3 个D.4 个
专题二
浓度问题
基础知识
溶液＝溶质+溶剂；浓度＝溶质÷溶液；溶质＝溶液×浓度；溶液＝溶质÷浓度
【例 1】（山西 2009-97）在一杯清水中放入 10 克盐，然后再加入浓度为 5％的盐水 200
克，这时配成了浓度为 2.5％的盐水，问原来杯中有清水多少克？
A.460 克B.490 克C.570 克D.590 克
【例 2】（安徽 2009-11）当含盐 30％的 60 千克盐水蒸发为含盐 40%的盐水时，盐水重
量为多少千克？（）A45 B50 C55 D60

【例 3】（北京应届 2008-14）甲杯中有浓度为 17％的溶液 400 克，乙杯中有浓度为 23
％的溶液 600 克。现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，
把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。现在两杯溶液的浓度是（）
A.20％B.20.6％C.21.2％D.21.4％
【例 4】（江西 2009-41）在浓度为 40％的酒精中加入 4 千克水，浓度变为 30％，再加
入 m 千克纯酒精，浓度变为 50％，则 m 为多少千克？（）
A. 8B. 12C. 4.6D. 6.4
【例 5】（上海 2005-7）在 20℃时，100 克水中最多能溶解 36 克食盐。从中取出食盐水
50 克，取出的溶液的浓度是多少？
A.36.0%B.18.0%C.26.5%D.72.0%
【例 6】在某温度下，将 27 克某种溶质放入 98 克水中，恰好配成饱和溶液。从中取出
1/5 的溶液，加入 3 克溶质和 10 克水，请问此时浓度变为多少？
A.21.6%B.22.1%C.22.5%D. 23.4%
【例 7】（湖南 2009-113）有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水。
先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶。请
问此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多？（）
A. 无法判定B. 甲桶糖水多C. 乙桶牛奶多D. 一样多
多次混合问题核心公式：
设盐水瓶中盐水的质量为 M，每次操作中先倒出 M0 克盐水，再倒入 M0 克清水:
1.
cn = c0
2.
- M 0 ÷NçM
ç÷ （多次混合问题第 I 型， c0 为原浓度， c n 为新浓度）çM÷桫
M ÷Nç
÷ （多次混合问题第 II 型， c0 为原浓度， cn 为新浓度）ç
çM + M ÷÷0
设盐水瓶中盐水的质量为 M，每次操作中先倒入 M0 克清水，再倒出 M0 克盐水：
cn = c0
【例 8】(安徽 2008-10)从装满 1000 克浓度为 50%的酒精瓶中倒出 200 克酒精，再倒入
蒸馏水将瓶加满。这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是多少？（ ）
A.22.5%B.24.4%C.25.6%D.27.5%
【例 9】（江苏 2007A-14）杯中原有浓度为 18%的盐水溶液 100ml，重复以下操作 2 次，
加入 100ml 水，充分配合后，倒出 100ml 溶液，问杯中盐水溶液的浓度变成了多少？
A.9%B.7.5%C.4.5%D.3.6%
抽象比例型浓度问题
在“浓度问题”中，有一类题型不涉及具体溶液总量，只涉及溶质与溶剂的相对比例。
这类问题非常抽象，我们一般令其中那个“不变量”或者“相等量”为一特值，从而简化计
算。

【例 10】（山东 2008-43、广东 2005 上-13）两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子
中酒精与水的体积比是 3∶1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是 4∶1，若把两瓶酒精溶液
混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？（）
A.31∶9B.7∶2C.31∶40D.20∶11
【例 11】（四川，2008-13）木材原来的水分含量为 28%，由于挥发，现在的水分含量
为 10%，则现在这些木材的重量是原来的？（ ）
A．50%B. 60%C. 70%D. 80%
【例 12】（广东 2008-12）一杯溶液，每次加同样多的水，第一次加水后浓度为 15%，
第二次加水后浓度为 12%，请问第三次加水后浓度为多少？
A.8%B.9%C.10% D.11%
【例 13】一杯溶液浓度为 5%，蒸发 V 升的水之后浓度变为 6%，请问再蒸发 2V 升的
水之后浓度变为多少？
A.7.5%B.8%C.9.6%D. 10%
专题三
牛吃草问题
核心公式：y＝（N－x）×T
1. “y”代表原有存量（比如“原有草量”；）2. “N”代表促使原有存量减少的外生变量（比如“牛数”；）3. “x”代表存量的自然增长速度（比如“草长速度”；）4. “T”代表存量完全消失所耗用时间。
三种变形:1. 有牛有羊时，需要将牛全部转换为羊，或者将羊全部转化为牛，再代公式计算；
2. 如果算得 x 为负，说明存量不是自然增长而是自然消亡的；
3. 出现“M 头牛吃 W 亩草”时，N 用“M/W”代入，此时 N 代表单位面积上的牛数。
【例 1】有一块牧场，可供 9 头牛吃 3 天，或者 5 头牛吃 6 天。请问多少头牛能够 2 天
吃完？A.12B.13C.14D.15
【例 2】（江苏 2009-78）有一池泉水，泉底均匀不断涌出泉水。如果用 8 台抽水机 10
小时能把全池水抽干或用 12 台抽水机 6 小时能把全池水抽干。如果用 14 台抽水机把全池水
抽干，则需要的时间是（）A. 5 小时B. 4 小时C. 3 小时D. 5.5 小时
【例 3】（广东 2006 上-14）有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一
段时间后，用 2 台抽水机排水，则用 40 分钟能排完；如果用 4 台同样的抽水机排水，则用
16 分钟排完。问如果计划用 10 分钟将水排完，需要多少台抽水机？（）
A.5 台B.6 台C.7 台D.8 台

【例 4】有一口很深的水井，连续不断涌出泉水。使用 17 架抽水机来抽水，30 分钟可
以将水井抽干。若使用 19 架抽水机，则 24 分钟就可以将水井抽干。现在有若干架抽水机在
抽水， 分钟后，6撤走 4 架抽水机，再过 2 分钟后，水井被抽干。那么原来有抽水机多少架？
A、25B、30C、35D、40
【例 5】（国家 2009-118）一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市 12 万人 20
年的用水量。在该市新迁入 3 万人之后，该水库只够维持 15 年的用水量。市政府号召节约
用水，希望能将水库的使用寿命提高到 30 年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水
才能实现政府制定的目标？（）A. 2/5B. 2/7C. 1/3D. 1/4
【例 6】有一水池，在某次大雨后灌满了一池水，水在池底以均匀的速度渗走进入深层
地下水。如果想把水池的水抽干，8 台抽水机需要 3 小时，5 台抽水机需要 4 小时。如果想
在 6 小时之内抽干水，至少需要多少台抽水机？
A.4B.3C.2D.1
【例 7】有一个水池装满水，池底有一个打开的出水口。已知 5 台抽水机 20 小时能将
水抽干，8 台抽水机 15 小时能将水抽干。请问，如果只靠出水口排水，需要多少天才能排
干水？A.40B.45C.50D.60
【例 8】有一块草地，每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天，或
者供 80 只羊吃 12 天。如果一头牛一天的吃草量相当于 4 只羊一天的吃草量，那么这片草地
可供 10 头牛和 60 只羊一起吃多少天？A.6 天B.8 天C.12 天D.15 天
【例 9】有一块草地，每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供 4 头牛和 8 只羊吃 8
天，或者供 7 头牛和 6 只羊吃 6 天，或者 12 头牛和 4 只羊吃 4 天。那么这片草地可供 10
头牛和 16 只羊吃几天？A.4B.3C.2D.1
【例 10】有三块草地，面积分别为 5、6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长的一样
快。第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。问第三块草地可供
19 头牛吃多少天？ A.8B.9C.10D.12
【例 11】（江苏 2008C-19）在春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，
为保证售票大厅的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票，买好
票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开出 10 个售票窗口，5 小时可使大厅内所有
旅客买到票；如果开 12 个售票窗口，3 小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售
票速度相同。如果大厅入口处旅客速度增加到原速度的 1.5 倍，在 2 小时内使大厅中所有旅
客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为（）。A. 15B. 16C. 18D. 19

专题四
一、时间安排问题
统筹问题
【例 1】（山西 2009-105）妈妈给客人沏茶，洗开水壶需要 1 分钟，烧水需要 15 分钟，
洗茶壶需要 1 分钟，洗茶杯需要 1 分钟，拿茶叶需要 2 分钟，依照最合理的安排，要几分钟
就能沏好茶？A16 分钟B17 分钟C18 分钟D19 分钟
【例 2】（河北选调 2009 -59）星期天，小明的妈妈要做下列事情：擦玻璃要 20 分钟，
收拾厨房要 15 分钟，拖地要 15 分钟，洗脏衣服的领子、袖口要 10 分钟，打开全自动洗衣
机洗衣服要 40 分钟，晾衣服要 10 分钟，干完所有这些事情至少需要多少分？
A.110B.95C.70D.60
【例 3】（山西 2009-98）A、B、C、D 四人同时去某单位和总经理洽谈业务，A 谈完要
18 分钟，B 谈完要 12 分钟，C 谈完要 25 分钟，D 谈完要 6 分钟。如果使四人留住这个单
位的时间总和最少，那么这个时间是多少分钟？ A.91 分钟B.108 分钟C.111 分钟D.121 分钟
二、拆数求积问题
拆数求积问题核心法则
将一个正整数（≥2）拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能的大，那么
我们应该这样来拆数：全部拆成若干个 3 和少量 2（0 个 2、1 个 2 或者 2 个 2）之和即可。
【例 4】（山西 2009-104）将 14 拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，可以求出
的最大乘积是多少？A72 B96 C144 D162
【例 5】（河北选调 2009-55）将 19 拆成若干个自然数的和，这些自然数的积最大为多
少？ A252 B729 C972 D1563
【例 6】将 9 拆成若干自然数之和，再求这些数之乘积，可得最大乘积为多少？
A27B25C24D20
三、货物集中问题
【例 7】（国 2006 一类-48、国 2006 二类-37）在一条公路上每隔 100 公里有一个仓库，
共有 5 个仓库，一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货
物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输
1 公里需要 0.5 元运输费，则最少需要多少运费？（）

A.4500 元
B.5000 元
C.5500 元
D.6000 元
“非闭合”货物集中问题 核心法则
在非闭合的路径上（包括线形、树形等，不包括环形）有多个 “点”，每个点之
间通过“路”来连通，每个“点”上有一定的货物，需要用优化的方法把货物集中到
一个“点”上的时候，通过以下方式判断货物流通的方向：
判断每条“路”的两侧的货物总重量，在这条“路”上一定是从轻的一侧流向重
的一侧。
特别提示:1. 本法则必须适用于“非闭合”的路径问题中；2. 本法则的应用，与各条路径的长短没有关系；3. 实际操作中，我们应该从中间开始分析，这样可以更快得到答案。
【例 8】(安徽，2008-15)某企业有甲、乙、丙三个仓库，且都在一条直线上，之间分
别相距 1 千米、3 千米，三个仓库里面分别存放货物 5 吨、4 吨、2 吨。如果把所有的货物
集中到一个仓库，每吨货物每千米运费是 90 元，请问把货物放在哪个仓库最省钱？（ ）
A.甲B.乙C.丙D.甲或乙
【例 9】如图，姚乡长召集甲、乙、丙、丁、戊、己六个村的干部参加会议，这六个村
子每两个村子之间的间隔和每个村参加会议的人数如图所示。请问姚乡长应该在哪个村子召
集会议可以使所有参加会议的人所走路程和最小？（）A.乙B.丙C.丁D.戊
四、空瓶换酒问题
【例 10】（国 2006 二类-33）如果 4 个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有 15 个矿泉
水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水多少瓶？（）A.3 瓶B.4 瓶C.5 瓶D.6 瓶
【例 11】（陕西 2008-15）某商店规定每 4 个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，小明家买了 24
瓶啤酒，他家前后最多能喝多少瓶啤酒？（ ）A.30B.31C.32D.33

【例 12】（湖南 2009-112）超市规定每 3 个空汽水瓶可以换一瓶汽水,小李有 11 个空汽
水瓶,最多可以换几瓶汽水?（）A.5 瓶B.4 瓶C.3 瓶D.2 瓶
五、统筹工效问题
【例 13】（河北 2009-107）服装厂的工人每人每天可以生产 4 件上衣或 7 条裤子，一件
上衣和一条裤子为一套服装。现有 66 名工人生产，每天最多能生产多少套服装？()
A.168B.188C.218D.246
【例 14】甲一天可以生产 9 件上衣或 7 条裤子，乙一天可以生产 7 件上衣或 6 条裤子，
丙一天可以生产 5 件上衣或者 5 条裤子。一件上衣和一条裤子为一套服装，那么甲、乙、丙
13 天最多可以生产多少套服装？ A.121B.131C.141D.151
六、优化构造问题
【例 15】小华有糖 300 克，他有一架天平及重量分别为 30 克和 5 克的两个砝码。问：
小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重 100 克，另一分重 200 克？
A.1 次B.2 次C.3 次D.4 次
【例 16】（天津 2008-9）如果售货员将一袋袋的水饺摆成 10 堆，其中 9 堆是合格的，
每袋 500 克；一堆是份量不足的，每袋 450 克，从外形上看，分不出哪一堆是 450 克的，
执法人员最少称几次就可发现份量不足的那一堆？A．1 次B．2 次C．3 次D．4 次
【例 17】（浙江 2007 二类-15）8 个一元真币和 1 个一元假币混在一起，假币与真币外
观相同，但比真币略重。问用一台天平最少称几次就一定可以从这 9 个硬币中找出假币？
A.2 次B.3 次C.4 次D.5 次
专题五
时钟问题

“时钟问题”基本知识点
1.设时钟一圈分成了 12 格，则时针每小时转 1 格，分针每小时转 12 格。
2.时针一昼夜（24 小时）转 2 圈，分针一昼夜转 24 圈。
3.钟面上每两格之间为 30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。
4.时针与分针一昼夜重合 22 次，垂直 44 次，成 180°也是 22 次。
【例 1】（山西 2009-108）清晨 5 点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？
A.30 度B.60 度C.90 度D.150 度
【例 2】（江西 2008-38）小李开了一个多小时会议，会议开

始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约
开了 1 小时多少分？（ ）
A．51B．47C．45D．43

核心提示
钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式 T＝T0+
1
T0，其中：T 为追及时间，
11
即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0 为静态时间，即假设时针不动，分针
和时针“达到条件要求”的时间。
【例 3】（四川 2008-12）从钟表的 12 点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重
叠中间相隔的时间是（ ）
A．43 分钟 B. 45 分钟C. 49 分钟D. 61 分钟
【例 4】（国 2006 一类-45、国 2006 二类-45）从 12 时到 13 时，钟的时针与分针可成
直角的机会有多少次?（）
A.1 次B.2 次C.3 次D.4 次
【例 5】（广东 2008 年真题）时针与分针在 5 点多少分第一次垂直？
A.5 点 10 分
B.5 点 10
10
分
11
C.5 点 11 分
D.5 点 12 分
【例 6】（福建、辽宁、海南联考 2009-96）现在时间为 4 点 13
成什么角度？
A.30 度
7
分，此时时针与分针
11
D.120 度
B.45 度
C.90 度
核心提示:当时钟问题涉及到“坏表”时，其本质是“比例问题”。解题的关键是抓住“标准
比”，按比例计算。
【例 7】（国 2005 二类-46）有一只钟，每小时慢 3 分钟，早晨 4 点 30 分的时候，把钟
对准了标准时间，则钟走到当天上午 10 点 50 分的时候，标准时间是多少?（）
A.11 点整B.11 点 5 分C.11 点 10 分D.11 点 15 分
【例 8】（国 2005 一类-46）一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟，一个慢钟每小时比
标准时间慢 3 分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在 24 小时内，快钟显示 10 点整时，
慢钟恰好显示 9 点整。则此时的标准时间是多少？（）
A.9 点 15 分B.9 点 30 分C.9 点 35 分D.9 点 45 分
【例 9】（河北 2009-113）一个快钟每小时比标准时间快 3 分钟，一个慢钟每小时比标
准时间慢 2 分钟。如果将两个钟同时调到标准时间，结果在 24 小时内，快钟显示 11 点整时，
慢钟显示 9 点半。则此时的标准时间是
A. 10 点 35 分B. 10 点 30 分C. 10 点 15 分D. 10 点 06 分

【例 10】（浙江 2010-88）有一只怪钟，每昼夜设计成 10 小时，每小题 100 分钟。当这
只怪钟显示 5 点时，实际上是中午 12 点，当这只怪钟显示 8 点 50 分钟，实际上是什么时间？
A.17 点 50 分B.18 点 10 分C.20 点 04 分D.20 点 24 分
【例 11】8 月 28 日零点时，某钟表比标准时间慢 4.5 分钟，9 月 4 日上午 7 点时，该钟
表比标准时间快 3 分钟，那么这只钟表指时正确的时刻是多少？
A.8 月 30 日 22 点B.8 月 31 日 10 点C. 8 月 31 日 20 点D. 9 月 1 日 09 点
专题六
等差数列
等差数列核心公式
求和公式：和＝
(首项 + 末项) 项数
＝平均数×项数＝中位数×项数
2
末项 - 首项
+1
公差
项数公式：项数＝
【例 1】（四川 2009-9）有一堆钢管，最下面一层是 30 根，逐层往上，每一层比下一层
少一根钢管，则这堆钢管最多有（ ）根。
A. 450B. 455C. 460D. 465
【例 2】（浙江 2008-13）在自然数 1 至 50 中，将所有不能被 3 除尽的数相加，所得的
和是（）
A. 865B. 866C. 867D. 868
【例 3】（天津、湖北、陕西联考 2009-94）甲乙两人从相距 1350 米的地方，以相同的
速度相对行走，两人在出发点分别放下 1 个标志物，前进 10 米后放下 3 个标志物，前进 10
米放下 5 个标志物，前进 10 米放 7 个标志物，以此类推。当两人相遇时，一共放下几个标
志物？ （ ）
A.4489B.4624C.8978D.9248
【例 4】（浙江 2010-80）定义 4△5=4+5+6+7+8=30，7△4=7+8+9+10=34，按此规律，
（26△15）+（10△3）的值为
A.528
B.525
C.423
D.420
【例 5】（北京社招 2009-12）训练时，若干新兵站成一排，从一开始报数，除了甲以外

其他人报的数之和减去甲报的数恰好等于 50。请问共有多少名新兵？
A.10B.11C.12D.13
【例 6】（山西 2009-99）某志愿者小组外出进行志愿服务活动，小组成员排成一列进行
报数点名，除小李外，其他志愿者所报数字之和减去小李所报数字，恰好等于 100。问小李
是第几位，该志愿者小组共有多少人？
A10 位，16 人B10 位，15 人 C12 位，15 人 D12 位，16 人
【例 7】六个连续偶数的和为 54，则其中最大的偶数为多少？
A.10B.12C.14D. 16
【例 8】（江苏 2008A-23）某一天节秘书发现办公桌上的台历已经有 9 天没有翻了，就
一次翻了 9 张，这 9 天的日期加起来，得数恰好是 108，问这一天是几号？
A.14B. 13C. 17D. 19
【例 9】(安徽 2008-12)某日小李发现日历有好几天没有翻，就一次翻了 6 张，这 6 天的
日期加起来数字是 141，他翻的第一页是几号？（ ）
A.18B.21C.23D.24
【例 10】（山东 2003-10）四个连续自然数的积为 3024，它们的和为（
A.26B.52C.30D.28
）。
【例 11】
（国 2008-48） an 是一个等差数列， a3 a7 −a10 8 ， a11 −a4 4 则数列
前 13 项的和是（
A. 32
）
B. 36
C. 156
D. 182
【例 12】（四川 2009-13）一个等差数列共有 2n-1 项，所有奇数项的和为 36，所有偶数
项的和为 30，那么 n 的值为（）。A. 5B. 6C. 10D. 11
【例 13】（国家 2009-118）100 人参加 7 项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每
项活动参加的人数都不一样。那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加？（）
A. 22B. 21C. 24D. 23
【例 14】（国 2008-55）小华在练习自然数数数求和，从 1 开始，数着数着他发现自己
重复了一个数，在这种情况下他将所数的全部数求平均，结果为 7.4，请问他重复数的那个
数是（）A. 2B. 6C. 8D. 10
【例 15】（天津、湖北、陕西联考 2009-98）一本 100 多页的书，被人撕掉了 4 张，剩
下的页码总和为 8037，则该书最多有多少页？A.134 B.136 C.138 D.140

专题七
行程问题
行程问题核心技巧
设未知、套公式、找等量。
【例 1】甲、乙两车从 A.B 两地同时出发，相向而行。如果甲车提前一段时间出发，那
么两车将提前 30 分钟相遇。已知甲车速度是 60 千米/时，乙车速度是 40 千米/时。那么，
甲车提前了多少分钟出发？
A.30B.40 C.50 D.60
【例 2】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时 6 千米，顺水下行需要 4 小时，返
回上行需要 7 小时．则这两个港口之间的距离为（）
A.56 千米B.88 千米C.112 千米D.154 千米
【例 3】（2009 浙江-46）甲、乙两港相距 720 千米，轮船往返两港需要 35 小时，逆流
航行比顺流航行多花 5 小时；帆船在静水中每小时行驶 24 千米，问帆船往返两港需要多少
小时？
A. 58 小时B. 60 小时C. 64 小时D. 66 小时
【例 4】（国家 2010-53）某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试，
旅游船从甲到乙顺水匀速行驶需 3 小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需 4 小时。假设水流速度
恒定，甲乙之间的距离为 y 公里，旅游船在静水中匀速行驶 y 公里需要 x 小时，则 x 满足的
方程为：
A.
11111111111111
−−B. −C.−D.
3xx43x4xx3 4 x4−x x 3
【例 5】（福建、辽宁、海南联考 2009-98）河道赛道长 120 米，水流速度为 2 米/秒，
甲船静水速度为 6 米/秒，乙船静水速度为 4 米/秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点
出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇？（）
A.48B.50C.52D. 54
【例 6】（国 2005 一类-47）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走
得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走 2 个梯级，女孩每 2 秒钟向上走 3 个梯级。
结果男孩用 40 秒钟到达，女孩用 50 秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多
少级?（）A. 80 级B. 100 级C. 120 级D.140 级
【例 7】（国 2005 二类-47）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的
扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了 40 级到达楼上，男孩
走了 80 级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的 2 倍。则当该扶梯静止时，
可看到的扶梯梯级有多少级?（）A.40 级B.50 级C.60 级D.70 级

【例 8】（山东 2007-55）甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部行走，甲每分
钟走扶梯的级数是乙的 2 倍；当甲走了 36 级到达顶部，而乙则走了 24 级到顶部。那么，自
动扶梯有多少级露在外面？（）
A. 68B. 56C. 72D. 85
基本解题思路
当行程问题出现间隙休息运动、分段变速运动及可视判断问题等时，建议大家根据题目
的具体形态，综合选项进行代入。
【例 9】（江苏 2009C-15）甲、乙两人骑车在路上追逐，甲的速度为 27 千米/小时，每
骑 5 分钟休息 1 分钟，乙的速度是 300 米/分，现在已知乙先行 1650 米，甲开始追乙，追到
乙所需的时间是()。
A.10 分钟B.15 分钟C.16 分钟D. 17 分钟
【例 10】（北京社招 2006-21）如图所示：某单位围墙外面的小路
围成了一个边长 300 米的正方形，甲、乙两个人分别从两个对角处沿
逆时针方向同时出发，如果甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 70 米，那
么经过多少时间甲才能看到乙？（）A.16 分 40 秒B.16 分C.15 分D.14 分 40 秒
常见典型行程模型核心公式
等距离平均速度问题核心公式：
往返平均速度=
2.
1.
2v1v2
（其中 v1 和 v2 分别代表往、返的速度）
v1 v2
2t1t2t t
，车速：人速= 2 1
t1 t2t2 −t1
沿途数车问题核心公式：
发车时间间隔=
3.
“漂流瓶”问题核心公式：
漂流所需时间=
2t逆t顺
（其中 t 顺和 t 逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间）
t逆 −t顺
4.
两次相遇问题：
单岸型： S =
3S1 + S2
；两岸型： S = 3S1 - S 2 （其中 S 表示两岸的距离）
2
【例 11】（湖南 2009-120）小王登山，上山的速度是每小时 4 km，到达山顶后原路返
回，速度为每小时 6 km。设山路长为 9 km，小王的平均速度为（）km/h。
A.5B.4.8C.4.6D. 4.4
【例 12】一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 60 千米，返回时速度为每小时 90 千
米，则它的平均速度为多少千米/小时？（）
A. 64 千米／小时B.72 千米／小时 C. 75 千米／小时D. 84 千米/小时

【例 13】（江苏 2007B-78） 在村村通公路的社会主义新农村建设中，有两个山村之间
的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。农车上坡的速度保持 20 千米/小时，下坡的速度保持
30 千米/小时，已知农车在两个山村之间往返一次，需要行驶 4 小时，问两个山村之间的距
离是多少千米？（）
A.45B.48C.50D.24
【例 14】一人骑车从 M 地到 N 地速度为每小时 12 千米，到达 N 地后，立刻接到通知
返回 M 地。为了使其往返于两地之间的平均速度为每小时 8 千米，则其骑车返回 M 地的速
度应为
A. 4 千米／小时 B. 5 千米／小时 C. 6 千米／小时 D.7 千米/小时
【例 15】（云南 2009-8）小明去上学，有两条同样长的路，一条是平路，另一条一半是
上坡路，一半是下坡路，两条路所用的时间相同，已知小明走下坡路的速度是平路的 1.5 倍，
问他走上坡路的速度是平路的多少？（）
A.
3
5
B.
2
5
C.
3
4
D.
1
4
【例 16】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以
不变速度不停地运行。每隔 9 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔 4.5 分钟就遇到迎面
开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?（）
A.5B.6C.7D.8
【例 17】（广东 2009-7）地铁检修车沿地铁线路匀速前进，每 6 分钟有一列地铁从后面
追上，每 2 分钟有一列地铁迎面开来。假设两个方向的发车间隔和列车速度相同，则发车间
隔是()。
A.2 分钟B.3 分钟C.4 分钟D. 5 分钟
【例 18】小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速
度不停地运行。每隔 10 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔 6 分钟就遇到迎面开来的
一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍?
A.3B.4C.5D.6
【例 19】小丽沿某路公共汽车路线以不变速度走路去公园，该路公共汽车也以不变速
度不停地双向运行，出发时恰好迎面遇到一辆公共汽车，4 分钟后再次迎面遇到一辆公共汽
车。如果已知公共汽车的双向发车的时间间隔均为 6 分钟，请问每隔多少时间，会从背后有
一辆公共汽车超过小丽？
A.15B.12C.10D.8
【例 20】（浙江 2005-22）一艘游轮逆流而行，从 A 地到 B 地需 6 天；顺流而行，从 B
地到 A 地需 4 天。问若不考虑其他因素，一块塑料漂浮物从 B 地漂流到 A 地需要多少天?
（）
A.12 天B.16 天C.18 天D.24 天
【例 21】（江苏 2008A-18）一条船从甲地到乙地要航行 4 小时，从乙地到甲地要航行 5

小时（假定船自身的速度保持不变），今有一木筏从甲地漂流到乙地所需小时为（）
A.12B. 40C.32D. 30
【例 22】（北京社招 2006-23）AB 两城由