高三立体几何一轮复习教案.doc

立体几何
1空间几何体表面积与体积运算
一、空间几何体的分类
空间几何体
对于空间几何体不用耗费时间归纳概括结构特征，只需从字面意思直接感知，再借助几何直观加深印象即可
二、柱锥台的结构特征
1、棱柱：有两个平行的面，这两个平行的面叫做棱柱的底面，其它面叫做棱柱的侧面，侧面是平行四边形，相邻侧面的公共边是棱柱的侧棱，棱柱的侧棱平行且相等
棱柱的特征简记为：底面平行，侧面是平行四边形，侧棱平行且相等
2、棱锥：有一个面是多边形（底面），其它各面（侧面）都是有公共顶点的三角形，相邻两侧面的公共边叫侧棱。
注意：棱锥的侧棱相交于一点
3、棱台：用平行于棱锥底面的截面取截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台
注：棱台是用棱锥截出来的，所以棱台侧棱延长线相交于一点
多面体用顶点字母命名如棱柱ABC—，棱锥V-ABC，棱台ABC—
对于棱柱和棱台也可用对角线顶点字母命名如棱柱
注：在同一条棱上的字母对应着写
4、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征：

圆柱
圆锥
圆台
球
旋转示意图

轴

轴

轴

轴

直观图

O

圆柱，圆锥，圆台用轴线字母命名如圆柱，圆锥圆台。球用球心字母表示如球O
注：圆柱，圆锥，圆台的母线与轴共面
例给出下列命题，①在圆柱上下底面圆上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线，
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
③在圆台上下底面圆上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
④圆柱任意两条母线所在的直线是相互平行的
其中正确的有
三、棱柱分类及直棱柱与正棱柱的结构特征
1、棱柱的分类及直棱柱与正棱柱的结构特征
棱柱
特别地：底面是正多边形的直棱柱是正棱柱
四棱柱
底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，显然正四棱柱是特殊的长方体，棱长都相等的长方体是正方体

注：重点掌握直棱柱与正棱柱的结构特征
直棱柱的结构特征 正棱柱的结构特征
想一想：能不能说出直三棱柱与正三棱柱与正四棱柱的的结构特征？
直四棱柱结构特征 正四棱柱结构特征
设计说明：从实用的角度讲要牢牢掌握下面两项内容
多面体：直以及正三、四、六棱柱；正三、四、六棱锥、台的结构特征，截面图及画法。
旋转体：圆柱、锥台和球截面图和画法
判断：①有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱（×）
师生活动：讲课时最好不要让学生凭空想象，教师
课前做好模型如右图
②有两个相邻侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱（∨）
③有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱（∨）
③各侧面都是正方形的棱柱是正棱柱（×）
反例：底面是菱形的直棱柱
④对角面是全等矩形的六面体是长方体（×）

反例：底面是等腰梯形的直棱柱
⑤棱长都相等的直棱柱是正方体（×）
反例底面是菱形的直棱柱
⑥四个侧面两两全等的棱柱是直棱柱（×）
反例平行六面体
⑦若有两个过相对侧棱的截面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱（V）
⑧若四棱柱的四条对角线两两全等，该四棱柱四直四棱柱（v）
四、正棱锥与正棱台的结构特征
1、正棱锥结构特征
以三角形为例解释“中心”的含义
外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，反之到三角形各顶点距离相等的点一定是三角形的外心
内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三内角角分线的交点。三角形的内心到三角形各边的距离相等，反之到三角形各边距离相等的点不一定是三角形的内心，也可能是旁心
旁心：旁切圆的圆心，如图
重心：三角形三边中线的交点,三角形的重心把三角形中线分成1:2两部分
垂心：三角形三条高线的交点
正三角形外心，内心，中心，垂心重合于一点，
该点叫做三角形的中心
想一想：能不能说出正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的结构特征？

C
B
A

2、正棱锥的判定：底面是正三角形，侧棱长都相等的棱锥是正棱锥
棱长都相等的正三棱锥是正四面体，正四面体一定是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四面体
正棱台的结构特征：上下底面为正多边形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱延长后相交于一点，
六、几何体的表面积
表面积=侧面积（所有侧面面积）+底面积（所有底面面积）
1、柱体（直棱柱，圆柱）的侧面积
底面周长为c,高为h

直棱柱的高=侧棱=斜高
圆柱的高=母线
2、锥体的侧面积
正棱锥的底面正多边形边数为n,边长为a,周长为c,斜高为

注：对于一般的锥体侧面积=所有侧面的面积和
圆锥的侧面积
设圆锥的底面圆半径为r,周长为c，母线为l
3、台体的侧面积
正棱台的边数为n,斜高为，上下底面正多边形边长，周长，分别为，a;,c

圆台的上下底面半径,周长分别为，r, ，c,母线为l
圆台的侧面积
4、球的表面积
七、几何体的体积
1、柱体（直棱柱，圆柱）柱体的底面积为S，高为h,V=Sh
特别的底面半径为r,高为h的圆柱体积
2、锥体（棱锥，圆锥）
设锥体底面面积为S，高为h则体积
特别的底面半径为r,高为h的圆锥体积
3、台体（棱台，圆台）的体积
，S分别是台体上下底面面积，
h为台体的高
特别的上下底面半径分别为，r，高为h的圆台体积

4、球的体积设球的半径为R，球的体积
典型题：
一、截面问题（降维问题：把空间图形化成平面图形）
正棱柱，正棱锥，正棱台截面图

正棱柱
正棱锥
正棱台
截面图
l侧棱长,h高
斜高
h
r
R
l

R，r为底面正多边形半径与边心距
l
r
R

h

R，r为底面正多边形半径与边心距

h

l

为上下底面正多边形半径
为上下底面正多边形半径
旋转体的截面图

圆柱
圆锥
圆台
球
直观图

轴截面
h高l母线
r上底面圆半径
R下底面圆半径
R
l

h

矩形
R
l
h

等腰三角形
R
r
l

等腰梯形

圆

在解决柱，锥，台的计算问题时，除了要掌握它们截面图特征还要熟练掌握正三角形，正方形，正六边形的相关量的计算方法

正三角形
正方形
正六边形
平面图形
a,R，r，h,S分别为正多边形外接圆半径，内切圆半径,高及面积

a
R
r
h

a
r
R

a
r
R

练习⑴正四棱台的高是17cm，两底面边长分别是4cm和16cm,求这个棱台的侧棱长和斜高
答案：侧棱长19cm,斜高cm
⑵正四棱锥底面正方形的边长是4cm，高与斜高的夹角是，求正四棱锥的侧面积和表面积
答案：侧面积32，表面积48
⑶正四棱台两底面边长分别是a,b（a<b）,若侧棱所在直线与上下两底面正方形中心的连线所成角为，求棱台的侧面积
答案：
⑷已知一个圆台轴截面的面积为a,母线与高的夹角是，求圆台的侧面积
答案：
⑸若正三棱锥的斜高是高的倍，则棱锥的侧面积是底面积的
A、倍 B、2倍 C、倍 D、3倍
答案：B
⑹（08湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积
答案：
二、空间几何体的侧面展开与平面图形的旋转问题

1、几何体的侧面展开

C

r

C

66页1母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为
A、 B、 C、 D、
三、空间几何体外接与内切问题
解题思路：利用组合体的轴截面和横截面解决问题
如图在直三棱柱内挖去一个与三棱柱相内切的圆柱，
AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,柱高6cm
求剩余几何体的体积？
b
c
a
r
A
C
B

以下略

练习：⑴已知三棱锥S—ABC的各顶点都在半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，
,则球的体积与三棱锥的体积比
A、 B、 C、 D、
C
O
B
A
S

答案：D
⑵已知圆锥的高为H，底面半径为R，它的内接圆柱的高为x,则这个内接圆柱的侧面积为-----当x为多少时，内接圆柱的侧面积最大
提示：用组合体的轴截面分析，
答案：侧面积，当时，内接圆柱面积最大
⑶一个长方体的各个顶点都在同一个球的球面上，且一个顶点上三条棱长分别为1,2,3则此球的表面积为
答案：14
⑷有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为R的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求容器中水的深度
倒完水后该组合体相当于一个半径为r的球内切于大圆锥（水面看成圆锥的上底面），球和大圆锥同轴，作出该组合体的轴截面

r

H

R为大圆锥底面圆的半径，为大圆锥的母线，H为大圆锥的锥高，r为球半径
则，
大圆锥的体积，球的体积
水的体积
把球拿出后剩余的水体为小圆锥，求此时容器中水深等价于求求小圆锥锥高h
问题变成截锥问题

如果一个正方体内接于球，长方体的体对角线相当于球的直径
四、空间几何体的截割与补形
1、截锥（正棱锥，圆锥）问题

O
V

对于正棱锥：把小锥与大锥的棱长比定义为相似比，小锥与大锥的长度比（高；斜高；底面正多边形边长，半径，边心距，周长）等于相似比；面积比（底面积，侧面积）等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方
对于圆锥：把小锥与大锥的母线比定义为相似比，小锥与大锥的长度比（高，周长）等于相似比；面积比（底面积，侧面积）等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方
该性质要和合分比定理一起用
合分比定理是研究比例式运算问题的
合分比定理：对于比例式，等式 两边运算方式一致结果相等（仅限于对比例式的项进行加减运算及对等式两边的分式整体取倒数运算）
合分比定理应用
65页8把一个圆锥截成圆台，已知圆台上下底面半径比为1:4，母线长是10cm,则圆锥的母线长是多少？
设大锥的母线长为lcm，小锥母线为l-10

合分比定理

cm
65页10题用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，解得圆台上下底面面积之比是1:16，截去圆锥母线长为3cm,求圆台的母线长
设圆台的母线长为lcm,小锥的母线长为3cm,大锥的母线长为l+3cm

由合分比定理

以下略
15过正三棱锥高的中点，做平行于底面的截面，截得正三棱台的上底边长为2，高恰为上，下底面边长的等差中项，则棱台的体积是
答案：
2、截补法求体积
例68页跟3
如图，在多面体ABC-DEF中，已知ABCD是边长为1的正方形且，均为正三角形，EF||AB，EF=2，则该多面体的体积为
A、 B、 C、 D、
F
H
G
E

C
D

B
A

过AD，BC做与EF垂直的截面ADG，截面BCH，将原几何体截割成两个三棱锥和一个直三棱柱

M
D
A
G

G
1
B
A
1
1
E
F

，
两个小三棱锥的体积
直三棱柱AGD-BHC的体积，原几何体的体积为
已知正方体的棱长为a,E，F分别是棱与的中点，求四棱锥
A-的体积
O
F
E
D
C
B
A

把四棱锥沿着面切成两个小三棱锥
正方体的体对角线与对角面是垂直的，所以BO与分别是新截得的两个小三棱锥，三棱锥，三棱锥的锥高，
这两个小锥具有相同的底面，它们的高也相同都等于体对角线的一半
以下略
法二：在面中，正方体对角面垂直，由面面垂直的性质定理
则就是所求四棱锥的锥高，利用射影定理求之
3、补形问题
如果一个正方体内接于球，长方体的体对角线相当于球的直径
已知球面上的四点P，A，B，C。PA，PB，PC的长分别是3,4,5且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积
P，A，B，C构成一个空间四面体，该四面体可以看成是从长方体上截出来的如图所示，相当于长方体沿对角线切去一个角
B
P
A
C

长方体的体对角线相当于外接球的直径
五、经纬度问题
注：关于经纬度问题以及所有与线面关系证明有关的计算题全放在几何定理后面讲,否则，前面讲不透，后面不讲了，这部分知识就漏掉了
练习 ：在三棱锥A-BCD中侧棱AB，AC，AD两两垂直 ，，的面积分别为，则三棱锥A—BCD的外接球体积为
提示化锥为长方体
2三视图与斜二侧
一、平行投影
已知直线与平面相交，在平面外任取一点M，过M作||,设M交于。这里的叫做投射线， 叫做投射面，叫做M关于在平面上的平行投影

M

注意：作图形的平行投影一定要先指定投射面及投射线
二、正投影:投射面与投射线垂直的平行投影叫做正投影，
三、正投影的性质
现在把黑板作为投射面，视线作为投射线。
实验一：把粉笔头想象成点，它的正投影是什么？
如果把线段，三角形，等腰梯形，矩形平行于投射面放置，它们的正投影分别是什么？从大小形状上和原图形比较一下有什么关系？通过上面实验可以看出：
结论一：平行于投射面放置的平面图形，它们的正投影是与原图形全等的平面图形
实验二：换种放法让它们垂直于投射面考虑一下它们正投影的形状？先看线段
现在我们让三角形，等腰梯形，矩形的底边平行于地面，猜测一下它们的正投影是什么？
结论二：垂直于投射面的线段，它的正投影是点
把黑板看成投射面垂直于投射面且底边平行与地面的三角形，等腰梯形，矩形它们的正投影是图形的高
四、三视图：三视图的原理是正投影
㈠三视图的含义
主视图从几何体的正前方看几何体的轮廓线的正投影围成的平面图形
左视图从几何体的正左方看几何体的轮廓线的正投影围成的平面图形
俯视图从几何体的正上方看几何体的轮廓线的正投影围成的平面图形
注：多面体的轮廓线是指多面体的底面和侧棱，
旋转体的轮廓线指的是旋转体的底面和母线
我们在初中的时候画过一些简单几何体的三视图，画出如图所示几何体的三视图，并回忆三视图的画法规则是什么？

㈡三视图的画法规则
1、 摆放顺序
主 左
俯
2、 长对正，高平齐，宽相等

长
宽
高
主
左
宽
俯

注意：可视轮廓线画实线，不可视轮廓线画虚线
㈢画几何体的三视图
画三视图时几何体（正三棱柱除外）通常底面平行与地面，侧棱朝前或侧面朝前。
正三棱柱有两种放法底面平行于地面；侧面平行于地面，
练习：按照上面的摆放方法画出下列几何体的三视图
侧棱与底面垂直的三棱锥，四棱锥
正三棱柱，长方体，正四棱柱，正三棱台，正四棱台，圆柱，圆锥，圆台，球，
观察棱锥，正棱柱，正棱台，圆柱，圆锥，圆台的三视图，它们的边界线是什么图形？
结论：
底面平行于地面的几何体（正三棱柱底面平行于地面或侧面平行于地面），若只看边界线，
①棱锥有两个视图是三角形，另外视图是多边形。若三个视图都是三角形，该几何体是三棱锥
②正棱锥：有一个视图是正多边形，另外两个视图是三角形
③长方体：三个视图都是矩形
④正棱柱：有两个视图是矩形，另外视图是正多边形方形
⑤正棱台：有一个视图是正方形，另外两个视图是梯形
⑥圆柱：有两个视图是矩形，另外视图是圆
⑦圆锥：有一个视图是圆，另外两个视图是全等的等腰三角形
⑧圆台：有一个视图是圆，另外两个视图是全等的等腰梯形
注：在三视图的环境下求原几何体的体积与表面积或证明原几何体的线面关系是我们今后要研究的一个重要问题
1、几何体的底面平行于地面（正三棱柱除外），把俯视图看成几何体的底面，主视图或左视图的高即为几何体的高，求出底面积和高后就可计算原几何体的体积
2、对于棱锥有时要求利用三视图还原几何体计算表面积：
利用三视图还原几何体的方法：
找：把俯视图看成底面找到原几何体的顶点在底面上的射影（俯视图多边形内部轮廓线与多边形的边或顶点的交点），
提：把该点垂直于地面提起来做为原几何体的顶点，
连：最后把侧棱连出来就可以了
练习：⑴下面给出几个几何体的三视图，说出与之对应的原几何体的名称

典型题
一、已知几何体的三视图，求原几何体的体积与表面积
09年辽宁高考
设某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
1
3
2
3
2
2

答案：4
09宁夏
一个棱锥的三视图如图所示，求它的全面积
4
3
6
6

A、 B、 C、 D、
答案：A
09天津
如图，下面给出一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=
2
3
a
1
1

答案：
09山东
下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
① 正方体②圆锥③正三棱台④正四棱锥
A、①② B、①③ C、①④ D、②④
答案：D
如图是一个几何体的主视图和俯视图
① 判断该几何体是什么几何体画出左视图并求其面积
② 求几何体的体积
2a
a
主
左

08年山东如图是一个几何体的三视图，求该几何体的体积
2
2
2
3

A、 B、 C、 D、
答案：D
若几何体的三视图（单位：cm）所示，则此几何体体积是（）
1
1
3
1
3
1

答案：18
已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球体积
1
1
1
1

09山东一空间几何体的三视图，如图所示则该几何体体积为
2
2
2
2

练习 ：一个空间几何体由上下两部分组成，其三视图如右图所示，记该组合体表面积为S,则S=
A、 B、
C、-2 D、+2
2
2
2
2

用若干块相同的小正方体撘成一个几何体，从两个角度所观察的图形如图所示，则搭成该几何体最少需要小正方体的块数是多少？
主
俯

最底层按俯视图摆7个，中层最少放两个（在左侧2排6个正方形上放），顶层最少放一个（在中层左边正方体上放）
五、斜二测与直观图
㈠平面图形的直观图
1、建系①在原图形上以特殊点为原点，以特殊线段所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，让坐标系通过原图形的最多点
②建立直观图坐标系：

2、画图：先画在在轴上的线段，再画平行于轴的线段，原图形中在x轴上或平行于x轴的线段，画在直观图上平行于轴，线段的长度不变；原图形中在y轴或平行于y轴上的线段，画直观图时平行于轴，长度变为原来的一半
例：已知正三角形的边长为a，求它的直观图面积
答案：
㈡画与直观图对应的原来的平面图形
1、建系在直观图上以特殊点为原点，以特殊线段所在直线为坐标轴建立直观图坐标系，让坐标系通过直观图最多点
②建立平面直角坐标系坐标系：
2、画图：先画在在轴上的线段，再画平行于轴的线段，直观图中在轴上或平行于轴的线段，画在直观图上平行于x轴，线段的长度不变；原图形中在轴或平行于轴上的线段，画直观图时平行于y轴，长度变为原来的2倍
例：如图所示为某个平面图形的直观图，求原几何图形的面积
CD=4，AB=6，AD=2
D
A
x
y
O
C
B

答案：
练习：一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原平面图形的面积
答案：
3平面基本性质与空间两直线的位置关系
一、空间点与线，点与面，线与线，线与面，面与面位置关系
1、点与线
注：在空间中直线a与b垂直
2、点与面
3、线与线
4、线与面

5、面与面
注：立体几何中除了用平面基本性质定理证明线面关系外不研究重合，但是在平面几何中（包括解析几何）研究重合
二、平面基本性质定理及推论
性质一：若直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
符号表示：
性质二：经过不在同一直线上的三点有唯一一个平面
推论1：直线和直线外一点确定唯一平面
推论2：平行直线确定唯一平面
推论3：相交直线确定唯一平面
性质三：两个不重合的平面有一个公共点，那么有唯一一条通过公共点的公共交线
该性质
符号表示:
n
m

O

先说明O是与的公共点
∵
∴
再说明的公共交线
又∵
由此得到公共点在公共交线上
∴
三、异面直线所成的角
1、求异面直线a与b所成角的方法
a

O
b
在空间中任取一点O，过O作a与b的平行线，则

2、线线角的范围
在空间几何中
线线角的范围
异面直线所成角的范围
四、平行公理：
空间中平行于同一条直线的两条直线平行
典例
一、 三线共点问题
解题思路：先证明其中两条直线共点，再证明该点在第三条直线上
例空间四边形ABCD中，E，F,G分别在AB，BC，CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2:1，
CG：GD=AH：HD=3:1，过E，F,G的平面交AD于H
求证：EH，FG，BD三线共点
C
F
G
H
D
B
E
A

由已知E，F，G，H四点共面
∴四边形EFGH为平面图形
∵AE：EB=CF：FB=2:1∴且
∵CG：GD=AH：HD=3:1∴且
∴EF与GH平行但不相等，
∴四边形EFGH为梯形
∴EH与GF必相交，设交点为O
∵且
∴
∵
∴
EH，FG，BD三线共点
思考：本题还可以怎么证
设计说明：本题不要把线面关系定理引进来。
练习：⑴三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条直线也经过这一点
⑵在长方体中，点E，F分别是棱的中点，
求证：D，E，F，B共面
分析：利用平行公理：找线线平行，利用线线平行证点共面
⑶在正方体中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG
求证：直线且直线
二、三点共线
解题思路：证明这三个点是两个平面的公共点
例如图，在在四面体ABCD中作截面PQR，PQ，CB的延长线交于M。RQ，DB的延长线交于N.RP,DC的延长线交于K。求证：M，N，K三点共线
A
R
P
Q
M
N
B
D
C
K

练习：正方体中，对角线与平面交于O，AC，BD交于M
求证：点，O，M共线
三、三线共面问题
证空间中三条平行线共面
同一法：先用三条平行线确定两个平面，再证这两个平面重合
例如图，已知不在平面内，，

求证：共面
∵
∴
设，
∵，且∴
同理
由于过两条相交直线有且只有唯一平面，所以
∴共面
四、求异面直线所成角问题
注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角
㈠平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角
正方体中，E，F分别是中点，则直线AE和BF所成角的余弦值
㈡补形法
例：在直三棱柱中，，点分别是中点，BC=CA=，则所成角的余弦值
A、 B、 C、 D、
补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体
答案：C
练习：⑴在四面体ABCD中，E,F分别是AC，BD的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则EF与CD所成的角等于
A、 B、 C、 D、
答案：D
⑵正方体中，E，F分别是正方形和ABCD的中心，G是的中点，设GF，与AB所成的角分别为
答案：D
五、作空间两个已知平面的交线
如图所示，在棱长为a的正方体中，M，N分别是上中点，过D，M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l,
⑴画出直线l
⑵设，求线段的长

D
A
B
C
N
E
P
M

连，连EN，则EN就是面DMN与底面的交线l
下证E，N为面DMN与底面的公共点
由已知N为面D，M，N与底面的公共点
只需证E为面D，M，N与底面的公共点

∴E为面D，M，N与底面的公共点
∴EN就是面DMN与底面的交线l
综合练习：
1、 在空间中，下列命题正确的是
A、对边相等的四边形一定是平面图形
B、四边相等的四边形一定是平面图形
C、有一组对边平行的四边形一定是平面图形
D、有一组对角相等的四边形一定是平面图形
分析：把正四面体一条侧棱去掉
2、下列说法一定正确的是
①三角形一定是平面图形
②若四边形的两条对角线相交于一点，则四边形一定是平面图形
③圆心和圆上两点可以确定一个平面
④三条平行线最多可以确定三个平面
答案：①②④
3、下列命题正确的有
①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R则P，Q，R共线
②若三条直线a,b,c互相平行，且分别交直线l于A，B，C三点，则这四直线共面
③空间中不共线的五个点最多可以确定10个平面
答案：全对
平面相交，在内各取两点，所取的四个点都不在交线上，这四个点能确定多少个平面
分析：本题实质是讨论空间直线位置关系问题

4空间平行关系
一、 空间平行关系转化图及相关定理

线线平行线线平行线面平行面面平行

面面平行判定定理推论

面面平行性质定理

㈠平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线平行
㈡线面平行的判定定理：
1、文字语言：平面外直线与平面内直线平行则线面平行
2、图形语言：
m
l

3、符号语言：
㈢先面平行的性质定理
1、 文字语言：线面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则线面平行
2、 图形语言

l

3、 符号语言：
㈣面面平行性质定理
1、 文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行
2、 图形语言

m
l

3、符号语言：
㈤面面平行的性质定理:
1、 文字语言：面面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行
2、 图形语言：
m

3、 符号语言：
㈥面面平行判定定理的推论
1、文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行
2、图形语言

m
l

3、符号语言：
㈦面面平行性质定理
1、 文字语言：如果两个平行平面和第三个平面相交，则交线平行
2、 图形语言：
m

l

3、符号语言

注：应用该定理时一定要保证和两个平行平面相交的四边形是平面图形
判断一个四边形是平面图形的方法
补充结论：
1、平行于同一平面的两个平面平行
2、垂直于同一平面的两条直线平行
3、垂直于同一直线的两个平面平行
典例：
一、线面平行的判定与性质
㈠线面平行判定
线面平行，面面平行的判定与性质是我们今后研究的主要问题，
线面平行的判定方法
①平行关系转画图
②向量法（后面讲）
③线面平行定义:直线与平面没有公共点
其中线线平行关系的判定是解决线面平行判定问题的关键，
常见的线线平行的判断方法有
①平行关系转画图
②三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质
在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分的性质
③利用平行线分线段成比例定理推论找平行线
平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例
A
B
C
D
E
DE∥BC
⑴
⑵
注：反之任取一组比例式可推得DE∥BC

A
B
C
D
E
DE∥BC

注：反之任取一组比例式可推知
DE∥BC

注该定理常和合分比定理结合
④向量法（后面讲）
⑤垂直于同一平面的两条直线平行
例如图所示：已知E，F，G，M分别是四面体的棱AD，CD，BD，BC的中点，求证：
AM||面EFG
N
G
E
N
A
C
M
B

设计说明：可以通过面面平行证线面平行
例已知正方体ABCD-，棱长为a,E,F分别在，BD上，且
求证：EF||平面
法一：
A

E
C
D
B
M
F
本题证明从线线平行到线面平行。在找线线平行时应用平行线分线段成比例定理推论

法二：
H
E
F
G
C
D
B

A
法二也是从线线平行到线面平行，做平行线构造平行四边形证线线平行

练习：已知有公共边的两个全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP=DQ
求证：PQ||平面CBE
㈡线面平行的性质
例1、如图四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC中点，在DM上取一点G，过G和AM做平面交平面BDM于GH，
求证:AP||GH
C
D
M
H
G
B
P
A
利用线线平行证明线面平行，再利用线面平行证线线平行
利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分的性质找中点，连中位线 ，创造线线平行条件

例2、直三棱柱中，M为AC中点
求证：
2
2
2
C
B
A

设计说明：牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。
直棱柱的结构特征 正棱柱的结构特征
正棱锥结构特征
正棱锥的判定：底面是正三角形，侧棱长都相等的棱锥是正棱锥
练习：如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点
⑴求证：MN||面CDEF
⑵求多面体A—CDEF的体积
M
N
C
B
F
A
E
D
2
2
2

答案：
例3、如图在三棱锥A—BCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时截面面积最大？
C
A
H
G
F
E
B
D

分析：由已知可证EF||CD，EG||AB
设FG=x,FE=y,AB=a,CD=b，
显然为定值
FG||AB

EF||CD

由合分比定理

∴
截面EFGH的面积

∴时截面面积最大
二、 面面平行的判定与性质
㈠面面平行关系的判定
面面平行判定方法
①平行关系转画图
②向量法（后面讲）
③垂直于同一直线的两个平面平行
④面面平行的定义：两个平面没有公共点
例三棱柱ABC-，D是BC上一点，且||平面，是中点，
求证：平面||平面
练习：B为所在平面外一点，M，N，G分别是，，的重心
求证:平面MNG||平面ABC
㈡面面平行的性质
例1如图所示正方体ABCD-的棱长都是a,M,N分别是下底面棱
的中点，P是上底面棱AD上一点，AP=，过P，M，N的平面交上底面于P，Q，Q在CD上，则PQ=
D
C
B
A

P
N
M
Q

答案：
例2如图直线AC，DF被三个平行平面所截
⑴是否一定有AD||BE|||CF
⑵若，试判断的大小
解⑴当AC与DF共面时由面面平行性质定理结论成立，但当AC与DF不共面时结论不成立
⑵当AC与DF共面时
现在讨论AC与DF不共面时的情况

F
C

E

B
D
A

法一:如图，过A作||DF，交于，交于
以下略
也可以从B或C处引平行线
法二:连AF
练习：已知AB，CD是夹在两个平行平面间的线段，M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN||平面
综合练习：
1、下列说法正确的是
A、 直线l平行于平面内无数条直线，则l||
B、 若直线a在外，则a||
C、 若直线，则a||
D、 若直线a||b, ,那么直线a平行于面内无数条直线
2、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线位置关系
A、异面 B、相交 C、平行 D、不能确定
答案:C
3、a,b,c为三条不重合直线，为三个不重合平面，现给出六个命题
① ② ③
④ ⑤ ⑥
其中正确的是
A、①②③ B、①④⑤ C、①④ D、①④⑤⑥
答案:B
4、若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是
A、面内所有直线与a异面
B、面内不存在与a平行的直线
C、面内直线与a都相交
D、直线a与有公共点
答案：D
5、平面的一个充要条件是
A、 存在一条直线a,
B、 存在一条直线a,
C、 存在两条平行线a,b,
D、 存在两条异面直线a,b,
答案：D
6、若平面，直线，点，则在平面内，与过B点的所有直线中
A、 不一定存在与a平行的直线
B、 只有两条与a平行的直线
C、 存在无数条与a平行的直线
D、 存在唯一一条与a平行的直线
答案：A
7、对于平面和共面的直线m,n下列命题中是真命题的是
A、 若
B、 若
C、 若
D、 若m,n与所成的角相等，则m||n
答案：C
8、a,b是两条不重合的直线，给出以下四个命题
1) 若a||b,
2)
3) 若
4) 若
其中真命题的个数是
A、0 B、1 C、2 D、3
答案：A
9、考查下列三个命题，在（）内补全条件
① ② ③
答案：都是
5空间垂直关系
一、 空间垂直关系转化图及相关定理

线线垂直线面垂直面面垂直

㈠线面垂直的判定定理
1、 文字语言：如果一条直线和一个平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
2、 图形语言：

n
m
O
l

3、 符号语言：
㈡线面垂直定义
1、 文字语言：线面垂直，直线与平面内所有直线垂直
2、 图形语言：
n
m

3、 符号语言：
㈢面面垂直的判定定理
1、 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直
2、 图形语言：

l

3、 符号语言：
㈣面面垂直性质定理：
1、 文字语言：面面垂直，在一个平面內作交线的垂线垂直于另一个平面
2、 图形语言：
m
l

3、符号语言：
补充性质：
1、 线面垂直性质定理：两条平行线中有一条平行线与一个平面垂直，则另一条直线与这个平面也垂直
2、 两个平行平面中有一个平面与一条直线垂直，则另一个平面与这条直线也垂直
3、三垂线定理与逆定理

m
B
O
A
如图所示AO为面的垂线，O为垂足；AB为面的
斜线，B为斜足；BO为斜线AB在面内的射影
⑴线面垂直，在一个平面内与斜线垂直的直线与这条
直线在这个平面上的射影垂直

⑵