区组长为4和6的3-设计.pdf

问题概述t-设计记为 t-（v，K，姿），是一个关联结构（V，B），满足条件：（1）V 是 v 元点集；（2）B 是 V 的子集族（B 中的元素称为设计的区组），且每个区组b沂B 有b沂K；（3）V 中的任意一个 t-元子集恰好出现在 姿 个区组中。当 K=k时，t-（v，k，姿）设计也表示为 t-（v，k，姿）。2-（v，K，姿）设计称为成对平衡设计，简称为 PBD 设计，也记作 B（K，姿，v）。3-（v，4，姿）设计称为四元系，记作 QS（v，姿）。t-（v，K，姿）设计的存在性及构造是组合设计理论的基本问题。2-（v，K，姿）设计的存在性与构造已被广泛研究，相关结论可参见文献1。当 t逸3时，t-（v，K，姿）设计的研究成果还不是很多。以下列出 姿=1 时 3-（v，K，姿）设计的一些主要结论，其中定理 13 参见 Hanani 的文献 2-3，定理45参见 Ji 的文献 4-5。定理 1QS（v，姿）存在的充分必要条件是：（1）姿v以0（mod 2）；（2）姿（v-1）（v-2）以0（mod 3）；（3）姿v（v-1）（v-2）以0（mod 8）；（4）v逸4。定理 23-（v，4，6，1）存在的充分必要条件是 v以0（mod 2）且 v逸4。定理 33-（v，k：4臆k臆34，1）存在的充分必要条件是 v逸4。收稿日期院2023-04-26基金项目院 国家自然科学基金资助项目渊11571251冤作者简介院王建（1966），男，江苏南通人，教授，主要研究方向为组合数学。区组长为 4 和 6 的 3-设计王建渊南通职业大学 公共教学部袁 江苏 南通 226007冤摘要院 t-（v，K，姿）设计是一个关联结构（V，B），满足条件：（1）V 是 v 元点集；（2）B 是 V 的子集族（B中的元素称为设计的区组），且每一个区组b沂B 有 b 沂K；（3）V 中的任意一个 t-元子集恰好出现在 姿 个区组中。Hanani 给出了 姿=1 时 3-（v，4，6，1）存在的充分必要条件。文章证明 3-（v，4，6，姿）存在的充分必要条件是 姿v以0（mod 2），姿v（v-1）（v-2）以0（mod 8）且 v逸4。关键词院 t-设计；3-设计；区组长为 4 和 6中图分类号院 韵157文献标志码院 A文章编号院 1008-5327渊2023冤02-0064-033-wise Design for Block Sizes of Four and SixWANG Jian(Department of General Basic Courses,Nantong Vocational University,Nantong 226007,China)Abstract：A t-（v，K，姿）design is a pair（V，B）where V is a set of cardinality v,B is a collection ofsubsets of V(the element in B is called a block)with the property that each b沂B hasb沂K,and every t-element subset of V happens to be contained in exactly 姿 of these blocks.When 姿=1，Hanani gives anecessary and sufficient condition for 3-（v，4，6，1）.It is proved that a 3-（v，4，6，姿）exists if and only if姿v以0（mod 2）,姿v（v-1）（v-2）以0（mod 8）and v逸4.Keywords:t-wise design;3-wise design;block sizes of four and six64第 2 期定理 43-（v，4，5，1）存在的充分必要条件是 v以1，2，4，5，8，10（mod 12），v逸4 且 v屹13。定理 53-（v，4，5，6，1）存在的充分必要条件是 v以0，1，2（mod 4）且 v逸4，v屹9，13。本文拟将定理 2 的结论从 姿=1 推广到 姿 为任意正整数，即证明 3-（v，4，6，姿）存在的充分必要条件。定理 63-（v，4，6，姿）存在的充分必要条件是：（1）姿v以0（mod 2）；（2）姿v（v-1）（v-2）以0（mod 8）且v逸4。2定理 6 的证明通过简单的计算可得 3-（v，4，6，姿）设计存在的必要条件。引理 1如果存在 3-（v，4，6，姿）设计，有：（1）姿v以0（mod 2）；（2）姿v（v-1）（v-2）以0（mod 8），且 v逸4。将 姿 划分为 姿以1（mod 2），姿以2（mod 4）和姿以0（mod 4），则引理 1 中的条件可以分为下列三种情形：（1）当 姿以1（mod 2）时，v以0（mod 2）（2）当 姿以2（mod 4）时，v以0，1，2（mod 4）（3）当 姿以0（mod 4）时，v逸4为证明 3-（v，4，6，姿）设计的充分条件，还需以下两个引理，其证明是显然的。引理 2如 果 存 在 3-（v，K，姿1）设 计 和3-（v，K，姿2）设计，则存在 3-（v，K，姿1+姿2）设计。引理 3如果存在 3-（v，K1，姿1）设计且对于每一个 k沂K1存在 3-（k，K2，姿2）设计，则存在3-（v，K2，姿1姿2）设计。由引理 2，证明 3-（v，4，6，姿）设计存在的充分性只需考虑以下三种情形：（1）姿=1，v以0（mod 2）（2）姿=2，v以0，1，2（mod 4）（3）姿=4，v逸4情形 1 已有定理 2 完全解决，本文只需考虑情形 2 和情形 3。引理 4当 v以0，1，2（mod 4）且 v逸4 时，3-（v，4，6，2）存在。证明根据引理 3 和定理 5，只需证明当 v沂4，5，6，9，13时，3-（v，4，6，2）存在。对于 v=4和 6，由定理 2，存在 3-（v，4，6，1）。对于 v=5 和13，由定理1，存在 QS（v，2）。对于 v=9，3-（9，4，6，2）直接构造如下：点集：Z3伊 Z3区组：（i，0）（i+1，0）（i，1）（i+1，1）（i，2）（i+1，2），（0臆i臆2）；（i，a）（i，a+1）（i+1，b）（i+2，c），a+b+c以i（mod 3），（0臆i臆2）引理 5对于每一个 v逸4 的正整数，3-（v，4，6，4）存在。证明根据引理 3 和定理 3，需证明当 v沂v：4臆v臆34时，3-（v，4，6，4）存在。由引理 2 和引理 4，当 v以0，1，2（mod 4）且 v逸4 时，3-（v，4，6，4）存在。对于 v=7，11，19，23 和 31，由定理 1，QS（v，4）存在。对于 v=15 和 27，3-（v，4，6，4）直接构造如下：3-（15，4，6，4）点集：Z5伊 Z3区组：（0，0）（1，0）（0，1）（1，1）（0，2）（1，2）；（0，0）（1，0）（0，1）（1，1）（0，2）（1，2）；（0，0）（1，0）（0，1）（1，1）（0，2）（1，2）；（0，0）（1，0）（0，1）（1，1）（0，2）（1，2）；（2，0）（3，0）（2，1）（3，1）（2，2）（3，2）；（2，0）（3，0）（2，1）（3，1）（2，2）（3，2）；（3，0）（4，0）（3，1）（4，1）（3，2）（4，2）；（3，0）（4，0）（3，1）（4，1）（3，2）（4，2）；（2，0）（4，0）（2，1）（4，1）（2，2）（4，2）；（2，0）（4，0）（2，1）（4，1）（2，2）（4，2）；（i，a）（i，a+1）（j，b）（j，b+1），（0臆i臆1，2臆j臆4，0臆a，b臆2）；（i，a）（i，a+1）（j，b）（j，b+1），（0臆i臆1，2臆j臆4，0臆a，b臆2）；（i，a）（i，a+1）（j，b）（j，b+1），（2臆i，j臆4，0臆a，b臆2）；（i，a）（i+1，b）（i+2，c）（i+3，d），a+b+c+d以0（mod 3）（0臆i臆4）；（i，a）（i+1，b）（i+2，c）（i+3，d），a+b+c+d以0（mod 3）（0臆i臆4）；3-（27，4，6，4）点集：Z3伊 Z9区组：（i，0）（i，1）（i，2）（i，3）（i，4）（i，5），（0臆i臆2）；王建：区组长为 4 和 6 的 3-设计65南 通 职 业 大 学 学 报圆园23 年（i，3）（i，4）（i，5）（i，6）（i，7）（i，8），（0臆i臆2）；（i，0）（i，1）（i，2）（i，6）（i，7）（i，8），（0臆i臆2）；（i，0）（i，2）（i，3）（i，6），（0臆i臆2）；（i，0）（i，2）（i，4）（i，8），（0臆i臆2）；（i，0）（i，2）（i，5）（i，7），（0臆i臆2）；（i，3）（i，5）（i，0）（i，6），（0臆i臆2）；（i，3）（i，5）（i，2）（i，7），（0臆i臆2）；（i，3）（i，5）（i，1）（i，8），（0臆i臆2）；（i，6）（i，8）（i，1）（i，5），（0臆i臆2）；（i，6）（i，8）（i，0）（i，3），（0臆i臆2）；（i，6）（i，8）（i，2）（i，4），（0臆i臆2）；（i，a）（i，a+1）（i，3）（i，6），（0臆i臆2，0臆a臆1）；（i，a）（i，a+1）（i，4）（i，8），（0臆i臆2，0臆a臆1）；（i，a）（i，a+1）（i，5）（i，7），（0臆i臆2，0臆a臆1）；（i，a）（i，a+1）（i，0）（i，6），（0臆i臆2，3臆a臆4）；（i，a）（i，a+1）（i，2）（i，7），（0臆i臆2，3臆a臆4）；（i，a）（i，a+1）（i，1）（i，8），（0臆i臆2，3臆a臆4）；（i，a）（i，a+1）（i，1）（i，5），（0臆i臆2，6臆a臆7）；（i，a）（i，a+1）（i，2）（i，4），（0臆i臆2，6臆a臆7）；（i，a）（i，a+1）（i，0）（i，3），（0臆i臆2，6臆a臆7）；（i，0）（i，1）（i，2）（i，3）（i，4）（i，5），（0臆i臆2）；（i，3）（i，4）（i，5）（i，6）（i，7）（i，8），（0臆i臆2）；（i，0）（i，1）（i，2）（i，6）（i，7）（i，8），（0臆i臆2）；（i，0）（i，2）（i，3）（i，6），（0臆i臆2）；（i，0）（i，2）（i，4）（i，8），（0臆i臆2）；（i，0）（i，2）（i，5）（i，7），（0臆i臆2）；（i，3）（i，5）（i，0）（i，6），（0臆i臆2）；（i，3）（i，5）（i，2）（i，7），（0臆i臆2）；（i，3）（i，5）（i，1）（i，8），（0臆i臆2）；（i，6）（i，8）（i，1）（i，5），（0臆i臆2）；（i，6）（i，8）（i，0）（i，3），（0臆i臆2）；（i，6）（i，8）（i，2）（i，4），（0臆i臆2）；（i，a）（i，a+1）（i，3）（i，6），（0臆i臆2，0臆a臆1）；（i，a）（i，a+1）（i，4）（i，8），（0臆i臆2，0臆a臆1）；（i，a）（i，a+1）（i，5）（i，7），（0臆i臆2，0臆a臆1）；（i，a）（i，a+1）（i，0）（i，6），（0臆i臆2，3臆a臆4）；（i，a）（i，a+1）（i，2）（i，7），（0臆i臆2，3臆a臆4）；（i，a）（i，a+1）（i，1）（i，8），（0臆i臆2，3臆a臆4）；（i，a）（i，a+1）（i，1）（i，5），（0臆i臆2，6臆a臆7）；（i，a）（i，a+1）（i，2）（i，4），（0臆i臆2，6臆a臆7）；（i，a）（i，a+1）（i，0）（i，3），（0臆i臆2，6臆a臆7）；（i，a）（i，a+1）（i+1，b）（i+1，b+1），（0臆i臆2，0臆a，b臆8）；（i，a）（i，a+3）（i+1，b）（i+1，b+3），（0臆i臆2，0臆a，b臆8）；（i，a）（i，a+4）（i+1，b）（i+1，b+4），（0臆i臆2，0臆a，b臆8）；（i，a）（i，a+2）（i+1，b）（i+1，b+2），（0臆i臆2，0臆a，b臆8）；（i，a）（i，a+2）（i+1，b）（i+1，b+2），（0臆i臆2，0臆a，b臆8）；（i，a）（i，a+4）（i+1，b）（i+2，c），a+b+c以i，i+3（mod 9）（0臆i臆2）；（i，a）（i，a+1）（i+1，b）（i+2，c），a+b+c以2i，i+6（mod 9）（0臆i臆2）；（i，a）（i，a+3）（i+1，b）（i+2，c），a+b+c以i+1，i+7（mod 9）（0臆i臆2）；定理 6 的证明：结合引理 2，引理 4 及引理 5，定理 6 得证。参考文献院1 COLBOURN C J，DINITZ J H.Handbook of CombinatorialDesignsM.Raton：Chapman and Hall/CRC，2006.2 HANANI H.On some tactical configurationsJ.Canadian Journalof Mathematics，1963，15：702-722.3 HANANI H.On quadruple systemsJ.Canadian Journal ofMathematics，1960，12：145-157.4 JI L.On the 3BD-closed set B3(4，5)J.Discrete Mathematics，2004，287（1/2/3）：55-67.5 JI L.On the 3BD-closed set B3(4，5，6)J.Journal of Combi原natorial Designs，2004，12（2）：92-102.责任编辑谭华66