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自来水定价问题
摘要
水是维持生命的必备资源，自来水的价格的定制关系到千家万户，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。所以，国家和政府对水价调整必须权衡考虑各方面利益。
本文针对市的自来水调价问题进行了合理的分析和假设，考虑到实际生活中居民为满足基本生活需求有必需的用水量，我们假定居民的用水量由固定部分和可变部分两部分组成，建立了两种模型。模型一中，我们在未考虑居民收入的前提下，引入了居民用水量的分布，在不同区间上对阶梯价格进行了分析；模型二中，我们考虑了居民收入对用水量的影响，并假定居民收入和用水量服从二维正态分布，对调价方案的合理性进行了分析评价。
对问题一，首先，我们通过效用函数的阶梯式自来水水价模型来比较并进行选择水价级差，得出了实行阶梯式水价后的年人均自来水用水量比不实行阶梯式水价的用水量小。所以实行阶梯式水价具有合理性和科学性；‚实行水价级差为1：2：5的年人均自来水用量比实行水价级差为1：3：5时的用水量要大，所以，选择水价级差拟为1：3：5更有效，选择按四人制定量的方案二较好。其次，通过调整后水费支出占家庭收入的比例和居民水费支出比例对其心里的影响表的分析，得出价格还有提升的空间。最后对阶梯式水价方案的优缺点进行了总结分析。
对问题二，在阶梯式水价方案的基础上，综合考虑了自来水公司要有微利，各用水单位承受能力，价格的变动弹性和地区供水能力等方面因素，建立了优化模型，并对此模型用lingo软件进行了求解，得出了比较合理的水价方案，即七个行业的新水价：
用水类型
居民
工商业
宾馆、饭店、餐饮业等
洗浴业
洗车业纯净水
农业赔水
水价--包含污水处理费（元）
2.61
4.88
6.11
122.43
76.35
2.5

对问题三，在第二问所提出的水价方案基础上，测算出实行该水价方案后的居民年用水量和各非居民用水单位年用水量。并参照往年的年用水量数据，进而计算出自来水供水的节水率，从而粗略地计算出总的节约用水量为
最后，对模型进行结果分析和假设合理性分析，并对模型的优缺点进行了讨论和分析和模型的推广。

关键词： 阶梯式水价 效用函数 水价级差 水费承受指数

一、问题重述
随着城市自来水在中国由过去的福利品变成商品，供需矛盾日益加剧，需要发挥价格的杠杆作用来解决当前的供水市场中的矛盾。中国目前的城市自来水总体价格水平较低，大部分自来水公司也都在亏损运转，自来水的价格关系到千家万户，更是为了缓解自来水的供应紧缺，提高水价势在必然，但这影响到人民的生活，甚至影响社会安定和经济发展。所以，国家和政府对水价调整是慎之又慎。根据所给的关于A市水价调整听证会的报道参考的经济统计数据，研究并解决以下列问题：
（1）根据A市价格部门提出的调整方案，给出分析评价，尤其是对阶梯式水价方案的合理性和科学性进行分析评价。
（2）能否给出更合理的水价方案？并给政府提出合理化建议。
（3）分析预测新的水价方案后的节水量是多少？

二、问题分析

水的重要性已经不言而喻，而节水治理水污染已成为可持续发展的重要一环。所以城市水资源的定价具有重要的现实意义，为配合国家城市自来水价格调整。我们以A城市为例建立模型以求得出典型模型来指导其他城市的水价调整。
本文主要从居民阶梯式水价的定价入手，通过论证A市自来水公司的阶梯式水价方案的合理性和科学性，最后通过重新制定新的方案，在原来的基础上进行改进，以达到资源的最优配置。
对问题一，我们可以分析调价方案的合理性，通过运用阶梯式水价方案后的人均节水状况，自来水公司的微利情况，居民对提价的承受能力，居民对节水的反应对阶梯式水价方案的合理性和科学性进行分析评价。
对问题二，制定更合理的方案，我们则可以从阶梯式水价方案中居民基本生活用水的价格入手（一般此部分价格要小于自来水的边际成本）。建立一个优化模型，并给政府提出几点合理化建议。
对问题三，根据问题二的水价方案，我们可以分析预测出新的水价方案后的节水量。
最后，对模型的结果进行分析和假设合理性检验，并对模型进行推广。
问题背景的理解
由于自来水供水成本增加，同时为了给南水北调工程筹资和限制高耗水行业，自来水调价势在必行。
首先，近年来由于市供水成本增加，自来水集团面临亏损。同时，市水资源匮乏，水质恶化，为了改善这个局面，国务院已决定修建南水北调工程，从湖北省丹江口引水，调长江水北上，解决市及各沿线省、市的缺水问题，而南水北调工程资金需要从自来水销售价格中筹集。另外，为了有效地利用市的水资源，最大限度发挥水资源的效益，需要通过自来水销售价格的调整来实现限制高耗水行业的发展，保证居民生活用水的供应和城市经济发展对水的需求。基于这样三个原因，市急需调整水价。
其次，为建立节水型水价体系，同时促进社会经济环境的协调发展和为节水型社会的建立奠定基础，实行阶梯型水价，提高居民的节水意识，对居民过度使用的自来水部分收取一种“惩罚性”水价是十分有必要的。
此外，未来几年是污水处理设施建设的高峰期，但是，污水处理设施建设资金需求量较大，污水处理出水水质标准提高，污水处理量增加，使得污水处理厂所需的资金投入量增大，利润降低，甚至亏损。在国家大力扶持污水处理厂发展指导方针下，提高污水处理费也是十分必要的。
居民所缴纳的水费由自来水费和污水处理费两部分组成，由于自来水费和污水处理费都有所增加，提高居民水价就显得十分必要；同时，非居民用水也应分行业提价，达到调整市产业结构的目的，此外，为建立节水型水价体系也有必要实行阶梯型水价。
①该问要讨论水价的合理性与科学我们可以通过计算各行业水费的增幅并与经济发展中三大产业对GDP贡献率的大小进行对比并结合水价调整的目的和对经济以及人民生活的影响分析。关于阶梯式水价的合理性我们通过水价对自来水厂家以及居民产生的影响方面加以分析论证。
②要求给出更合理的方案，通过分析我们可以从影响水价格的各个因素上加以研究。总的来说可以概括为：自然因素（包括环境因素）、经济因素、社会因素且他们间相互影响，相互作用，相互耦合要解出合理的水价我们可以构造评判矩阵。
③通过供求定价模型，我们能得出新的水价方案实施后节水量较为准确的一个范围

三、符号说明
第i阶梯的居民用水的水价
第i阶梯的用水量
用水效用
价格弹性系数
居民的水费承受指数
第j个用水类别的现行价格
第j个用水类别在现行价格下的用水量
每单位水的成本（包含正常利润）
居民总的基本用水量
其他的符号说明见文中。

四、模型假设
1. A市自来水的供给和需求达到平衡。
2. A 市2006年的经济发展与人口均稳定增长,没有出现剧烈的波动。
3. 在任何水价方案中，居民用水至少满足其基本生活用水需求。
4. A市自来水集团的供水量没有受到自然灾害等因素的影响，即其供水系统稳定。
5.A市阶梯式水价的起始分段水量为每人月均2立方米。
6. A市水价是采用完全水价制定的,水污染处理费是自来水集团为排水集团代收的,我们可以把水污染处理费作为自来水集团的成本计价.在文中所说的水价均是在成本基础上论述的
7.只考虑自来水价，不考虑整个地区的水价。
8.2006年国家对自来水所征税费不变。
9.一定时期内，水是不可再生资源，即A市的水资源储存量一定。

五、模型建立与求解

5.1问题一
根据A市价格部门提出的调整方案，请你给出分析评价，尤其是对阶梯式水价方案的合理性和科学性进行分析评价。通过对问题的分析我们知道A市水价的调整的主要因素是人口的增长致使居民用水逐渐增加，经济的发展导致的工业企业和服务业等高耗水行业的用水量增多，以及水污染情况日益严重。如果水价合理的提高，将能够大大量缓解这一矛盾。我们从A市自来水公司和排水公司与居民和工业服务业之间的相互关系出发，来评定水价调整的合理与否。分析至此，我们知道可以使用目标规划方法来建立问题求解的数学模型。

5.1.1阶梯式水价方案的分析
阶梯式水价，就是对用水者按用水量分阶段征收不同价格的水费。用水量超过一定额度后，水价随之上浮,超得越多，水价越高。
一般来说，阶梯式计量水价可分为两个层次：
第一层次为居民基本的生活用水。这一部分水是居民正常生活所必须消耗的水资源。在此范围内，水价一般制定得比较低，控制在市民都能承受该水价的范围内。
第二层次为维持居民基本生活以外的用水。这部分水又可细分为提高生活质量的基本用水（比如农业，服务业，工商业用水）和作为奢侈品的用水（比如洗车业，洗浴业）。前一部分的水价必须控制在合理范围内，以提高居民生活水平质量，水价一般控制在基本用水价的2-3倍左右；而后一部分水则是满足特殊需求的奢侈用水，作为一种惩罚性用水，制定的价格较高，一般为基本生活用水价的十倍左右。

图一：用水量和水价的关系
上图为阶梯式水价的线性关系图，下表为阶梯式用水量的支出费用表。

用水量X
用水量为X时的费用

表一：用阶梯式用水量的费用分布

5.1.2阶梯式水价方案的合理性和科学性分析
1、 根据A市自来水集团提供的四个阶梯式水价方案(详见下表)。
方案
按四人户定量（立方米）
水价级差
第一级
第二级
第三级
一
≤12
12-16
>16
1：2：5
二
≤12
12-16
>16
1：3：5
方案
按三人户定量（立方米）
水价级差
第一级
第二级
第三级
三
≤9
9-12
>12
1：2：5
四
≤9
9-12
>12
1：3：5
表二：四个阶梯式水价方案
市自来水集团同时建议，按四口人家庭确定基数水量，更符合A市实际情况。水价级差可在1∶3∶5或1∶2∶5两个方案中选择。
我们可以用效用函数的阶梯式自来水水价模型来分析并选择水价级差。
将自来水按水量划分为m 个阶梯,设水量的划分密度为t (每t单位水为一个台阶) ,在第i 阶上的水价为pi ,需水量为xi 。根据线性支出系统理论,消费者所用的各个梯度上的水,以及其他各种商品满足如下所示的效用函数:

式中：表示阶梯式自来水；表示其他商品；表示起码生活水平下第i 种商品的需求量; n代表商品的种类与自来水阶梯数m 的和。
预算约束为:

式中:为居民总支出。由拉格朗日乘数法，最优化的一阶条件为:

即
，
两边对j 求和,并注意到，则得

令，则，
总用水量等于各个梯度上需水总量相加,即：

在本题方案中m=3，则：
题中A城市以北京市为例，居民人均月用水量为3立方米。则居民人均年用水量为36立方米。即，2006年的人均年总消费支出M=19978，人均基本生活支出，另外,根据以往研究成果, 并采用类比的方法,β1 = 0 ,β2 =0.01 , β3 = 0.001，因此,满足基本需要后,消费者用剩余货币消费后面两个梯度上的水量：
，
人均年自来水用量为:
立方米
根据方案，A市2006年的居民用水一阶水价（包含污水处理费）将从2005年的2.9元涨至3.7元。
当不实行阶梯式水价时，，人均年自来水用量为:

当水价级差为1：2：5时，，，，人均年自来水用量为:

当水价级差为1：3：5时，，，，人均年自来水用量为:

通过计算，我们可以得出以下结果：
不实行阶梯式水价时，A市年人均自来水用量为66.26立方米 ；实行水价级差为1：2：5时,A市年人均自来水用量为50.31立方米 ；实行水价级差为1：3：5时，A市年人均自来水用量为45.72立方米。
通过分析结果，我们可以得到：
实行阶梯式水价后的年人均自来水用水量比不实行阶梯式水价的用水量小。所以实行阶梯式水价具有合理性和科学性。
‚实行水价级差为1：2：5的年人均自来水用量比实行水价级差为1：3：5时的用水量要大，所以，选择水价级差拟为1：3：5更有效。
因此，本题选择方案二最好，即按四人户定量，水级差为1：3：5。根据该集团的测算，调价之后居民每人每年增加支出32元。此时的利润的增加可为南水北调工程筹集资金和其他水利设施的建设或污水处理等项目。

2、根据该集团的测算，调价之后居民每人每年增加支出32元，占2005年A市城镇居民人均可支配收入的0.23%。
根据建设部《城乡缺水问题研究》课题研究报告，水费支出占家庭收入的比例不同时，对居民心理的影响或其承受能力明显不同，具体如下表：

水费支出占居民家庭收入
的百分比（%）
对居民的心理影响
1%
2%
2.5%
5%
10%
影响不大，有浪费现象
产生一定影响，开始关心用水量
引起重视，注意节水
影响较大，认真节水
影响很大，考虑重复使用
表三：居民水费支出比例对其心里的影响

目前我国的水价占家庭收入比例不足1 %，从这个意义上讲，价格的提升在原则能接受的。
综上所述：，阶梯式水价优点主要表现在：
（1）从自来水集团角度出发，我们可以知道水价的提升主要是受到了经济增长，人口增加和市政规划所影响的，首先，从经济角度来分析。经济发展的主要原因是A市的工业和服务业的发展，这也导致了另一种后果的产生，即经济发展了，污染问题也日益严重，因此自来水公司处理污水的费用也就加大。然后，从人口增加的角度。通过读题我们知道，居民用水量是自来水集团售水量中比重最大的部分，占到44.53%，且以每年3%的速度在逐年递增，居民用水占自来水公司售水量比值的不断增加主要是由不断增长的人口所引起的。人口增加也变相导致了水价的提高。最后，是从市政规划方面考虑。这主要是为了改善A市水资源匮乏、水质恶化的严重局面，政府所实施的南水北调工程，自来水集团的公司盈利资金是工程建设的主要资金。同时三者之间的相互联系也构成了模型的约束条件。我们知道经济增长和自来水公司之间是相互促进和相互制约的关系。

（2）从排水集团角度出发，随着人口的增加和经济的增长所导致的水安全问题（水污染问题）逐渐成为难题。水安全问题出现的原因：一是水资源的不可替代性。二是水资源供给的有限性。三是水资源系统的整体性，水资源系统内部存在内在联系、构成一个有机系统，如果遭受破坏（例如水质污染）会导致水资源系统功能衰减，产生水安全问题。当排水集团调价后，则可增加对污水处理的能力，增强水的可再生性，虽然如此会抑制居民的用水支出，但从长远来看，是合理可行的。

（3）从居民用水角度出发，据问题所述居民用水量占自来水集团供水总量的比重很大，因此水价的进一步上调需要考虑到居民的承受能力。通过网上调查我们知道，居民对水价的承受能力主要包括两个方面：心理承受能力和经济承受能力，其中以经济承受能力为主，据此，可以建立居民的抱怨度函数，来表示居民对水价改革的反应。根据资料了解目前我国城市家庭水费支出还不到家庭支出的1%，研究表明水费支出占家庭支出的1%时，对居民的心理影响不大，居民对用水量漠不关心；占收入的3%时，居民开始关注用水量；占5%时，开始认真节水；占10%时，开始考虑水的重复利用。因此适当的调整水价不但能够增强居民的节水意识，同时还能够给自来水集团增加收入。

阶梯式水价虽然有以上多个优点，但它也有一定的局限性：起始分段水量制定的困难；另外，由于社会压力，起始分段的水量必须能基本保证家庭的基本用水量。根据国际基本用水标准，一般在人均每天25-30升范围内。也就是说，人均月用水量在1-2立方米左右。而A市给出的水价阶梯方案是根据居民人均月用水量为3立方米制定的，这就不能避免大量水资源浪费的可能性。

5.2问题二
优化方案的建立：
从问题一对阶梯式水价的定价方式的描述中我们可以知道，居民基本用水部分的水价是比较低的，一般为小于其边际成本。因此，在制定更为合理的方案中，我们可以将居民基本生活用水量的价格最小化为目标函数，自来水公司要有微利，实际供水量的制约，水价承受指数的合理性为约束，建立基本生活用水价格最小化的优化模型，具体如下：
目标是使得居民基本用水量的部分的价格最小，可得目标函数：

其中表示居民基本用水量的价格。
约束如下：
1、自来水公司作为一般企业，它必须维持收支平衡，维持自身的生存和发展。所以自来水公司的总收入要不小于自来水公司的正常运营成本。可得约束：
（1）
其中，表示第j个用水类别的现行价格，表示第j个用水类别在现行价格下的用水量，表示每单位水的成本（包含正常利润）为居民总的基本用水量。
2、用水总量不能超过实际供水总量，所以有又约束：
（2）
3、水价上涨不应引起物价普遍上涨，同时要抑制万元GDP水耗高的行业的发展，因此可用下面条件来约束：
　　　　　　　 　 　（3）
其中表示第j个用水类别的实际年平均收入，表示第j个用水类别的水费承受指数（水费承受指数 = 水费的支出 / 实际收入，对居民来说超过了这个度居民就会有不满，对其他行业来说超过了这个度就会涨价）。

表示第j个用水类别的万元GDP的用水量（单位：万.，）；表示社会平均万元GDP用水量（万.）；当时，计算出来的价格允许超额利润的存在，该行业可发展。当时计算出来的价格使该行业达到饱和现在该行业不能再发展。
4、居民的水价上涨要保证在低收入群体的承受能力范围内。所以有约束条件：
（4）
其中，表示低收入人群的总用水量；表示低收入人群的总收入；表示居民的水费承受指数；
5、根据美国詹姆斯（L.Darglas.Tanes）和李（Robert.R.lee ）[1]提出的公式，经过稍微改动得到
（5）
其中，表示按现行价格第j个用水类别的用水量；表示按原价格第j个用水类别的用水量；表示第j各用水类别用水的原价；表示第j各用水类别用水的现价；表示第j个用水类别的用水的需求量的价格弹性。
i(价格类别）
j(用水类型）
1
2
1
2
3
4
5
6
7
原价
现价
居民
工商业
宾馆、饭店、餐饮业等
洗浴业
洗车业纯净水
农业赔水
中水
表四：符号i，j的含义

综上所述，由居民基本生活用水得水价确定的优化模型为：
目标函数：

约束条件：

优化方案的求解：
据建设部提供的资料,我国城市公共供水系统自来水的管网漏损率平均达到21.5%，2005年供水成本2.9元/立方米，损失率为21.5%，则其单位水量的销售成本为：，即.
根据网上搜得的历年数据预测出2006年实际供水总量R=345000万..
由于无从查找和（），我们采用如下定价方法，假设定出的价格满足条件（3）。用全国各行业万元GDP耗水量代替A市各行业万元GDP耗水量，表如下：

行业
工商业
宾馆、饭店、餐饮业等
洗浴业
洗车业纯净水
农业赔水
万元GDP耗水量（万立方米）
40.6
52.3
70.4
69.8
80
表五：A市各用行业万元GDP耗水量

通过计算可得2005年全社会万元GDP耗水量为50.9万立方米，得到各行业最终价格如下：

中水的现价仍为1元，即：
根据题目内容，结合北京市2006年的数据，我们可将A市总人口定为1581万人，低收入人群平均每人年可支配收入，低收入人群的总收入为：，低收入人群的总用水量（根据国际标准我们认为月基本有水量定为2平方米更为合理）。
水费承受指数将物质承受能力与心理承受能力综合起来的一种较为全面的指标。它是通过调查得到的。在考虑物质承受能力的基础上注意了心理影响，并且做为节约用水作为一项考察因素。

水费支出占居民家庭收入的百分比（%）
对居民的心理影响
0.01
影响不大，有浪费现象
0.02
产生一定影响，开始关心用水量
0.025
引起重视，注意节水
0.05
影响较大，认真节水
0.1
影响很大，考虑重复使用
表六 ：我国水费承受指数

这里我们令；设月人均基本生活用水量为2，则2006年总的基本用水量为。
通过所给数据预测在价格不变的情况下的总需水为：77943万..
各行用水比例及需水量如下表：

用水类型
工商、行政企事业单位
宾馆、饭店、餐饮业
洗浴业
洗车业、生产纯净水企业
农业赔水
中水
占总售水量比值(万立方米）
0.3507
0.1984
0.003
0.0002
0.0001
0.002
2006年用水量(万立方米）
27334.61
15463.89
233.83
15.59
7.79
155.89
表七：在原价下2006年各用水类型需水量预测表

各个行业用水弹性如下：
用水类型
工商、行政企事业单位
宾馆、饭店、餐饮业
洗浴业
洗车业、生产纯净水企业
农业赔水
中水
弹性系数e
1.3
1
1.6
1.4
0.2
0.4
表八：各用水类型需水量弹性

对前面建立的模型用lingo软件进行求解，求出。又根据效用函数的阶梯式自来水水价模型。当时，按阶梯水价为1：3：5计算，则，，可以得到A市2006年的居民年人均用水量立方米，由题中可知居民人数为1581万人，因此，A市居民生活用水总量为59732.32万立方米。

在新价格下各种用水类型的用水量如下表：
用水类型
居民
工商业
宾馆、饭店、餐饮业等
洗浴业
洗车业纯净水
农业赔水
水价（包含污水处理费）（元）
2.61
4.88
6.11
122.43
76.35
2.5
年用水量（万.）
59732.32
23917.65
1366.94
77.1
2.59
148.12
表九：新价格水量
即：，，
对政府提出的几点合理化建议：
水价的调整需在居民或其他类别行业的水价可承受范围内。
必须考虑到低收入家庭和各行业类别对水涨上价的反应。
对居民基本生活用水应实行低价，而奢侈性用水则应采取高额的惩罚性水价来约束水的需求。
阶梯式水价的起始分段水量的定位应慎重考虑。

给政府提出合理化建议
一、充分认识水价改革的重要性和紧迫性
二、水价改革的目标和原则
三、加大改革力度,实行以“差别水价”和“阶梯式水价”为重点的水价政策　
(1)调整水资源费征收范围和标准,运用价格杠杆优化供水结构,遏制超采地下水的行为
(2)制定有利于节水的喷灌、滴灌等农业灌溉用水价格政策
(3)对工业用水实行“差别水价”
(4)对城市居民生活用水实行“阶梯式水价”
(5)对其他非居民用水实行超定额、超计划累进加价制度
(6)大幅度提高高档洗浴、洗车等特殊行业用水价格
(7)对城市绿化、市政设施等公共设施用水按实际用量和水价收费
(8)制定鼓励使用再生水的价格政策
(9)提高城市污水处理费征收标准　
(10)合理调整水利工程供水价格
(11)建立对供水企业的成本约束机制
四、加强领导,统筹规划,保证水价改革的顺利实施
　 (1)加强组织领导,形成合力
(2)做好水价改革与节约用水宣传工作
(3)对“差别水价”收入实行专款专用
(4)科学制订水价改革具体实施方案

问题三：

由于水资源是准商品，其价格的变化会引起需求量的变化，在经济学上能够很好反映这方面变化的模型就是“供求定价模型”。所以，对问题三，我们考虑建立“供求定价模型”对新的水价方案实施后的节水量进行预测。

据查询A市2006年自来水日生产量为：372.7万.，年供水量（设在原价下供给等于需求）：，总的自来水节水量为：

假设自来水节水比例与其他类型水的节水比例相同，按新价格，A市2006年总的节水量为：

六、结果分析与检验
问题二中，新方案的居民基本用水的价格为2.61元，小于自来水公司定的价格，保证了低收入人群的基本用水权利，符合国家经济政策。说明结果令人满意，建模正确可靠。
‚从第三问的节水效果来看，说明新的节水模型有效。
ƒ由于计算中很多数据都是估计值，所以结果不可避免存在一些误差，但总体效果还是很好的。

七、模型评价、推广及改进
7.1模型的评价：
（1）模型的优点：
①在问题一中引用了效用函数来确定水价级差，并对比了使用不同水价级差比的配水方案所得出的结果。
②建模中注意了因水价上涨而引起的民生方面的问题。
③在分配水资源的过程中也注意到奢侈用水和基础用水的水价的不同，促进行业正常发展。
（2）模型缺点：
问题二中考虑的目标单一，没有考虑其他因素带来的变化。
‚模型中牵涉到的变量的测定难度比较大，给确定结果带来了不小的难度。
ƒ没有考虑自来水供求不平衡的情况，这也是不足之一。
（3）模型的改进和推广：
自来水问题在现实生活中有着广泛的应用前景，还可以运用于其他类似自然资源或公用事业的定价，如电力、通信、自来水、煤气、铁路、民航等企业的定价问题。
参考文献
[1] 陈贺,杨志峰,基于效用函数的阶梯式自来水价模型,资源科学,2006年01期
[2] 卜令全,曾凡江,张颖君,自来水的定价模型,

[3] 北京市统计局,北京统计年鉴(2006),

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