陕西省西安市2013届高三数学第三次模拟考试试题-理-新人教A版.doc

陕西省西安市2013届高三数学第三次模拟考试试题 理
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)
1.若集合,,则【 】.
A. B. C. D.
2.若复数满足:,则复数的共轭复数【 】.
A. B. C. D.
3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【 】.
A.
B.
C.
D.

4.若的三个内角满足,则【 】.
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
5.函数是【 】.
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数

i>5?
否
开始
S=0,i=1

T=3i－1

S=S+T

i= i+1

是
输出S
结束

6.按右面的程序框图运行后,输出的应为【 】.
A. B.
C. D.

7.若数列满足,且,则使的值为【 】.
A. B. C. D.

8.“”是“直线:与:平行”的【 】.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【 】.
A. B. C. D.
10.一个赛跑机器人有如下特性：
(1)步长可以人为地设置成米,米,米,…,米或米；
(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成；
(3)当设置的步长为米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔秒．
则这个机器人跑米(允许超出米)所需的最少时间是【 】.
A.秒 B.秒
C.秒 D.秒
第Ⅱ卷 （共100分）
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.在的展开式中,常数项为 .
12.若向量,,则的最大值为 .
13.若实数满足,且,则的取值范围是________.
14.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为,则________.
15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.
A.(不等式选讲)若实数满足,则的最大值为_________.
B.(几何证明选讲)以的直角边为直径的圆交边于点,点在上,且与圆相切.若,则_________.
C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线与直线的两个交点之间的距离为_________.

三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
①；
②；
③；
④；
⑤.
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

17.(本题12分)如图,在长方体中,点在棱上.
(1)求异面直线与所成的角；
(2)若二面角的大小为,求点到面的距离.

18.(本题12分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中考生甲有道题能正确完成,道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.

19.(本题12分)在数列中,,且对任意的都有.
(1)求证:是等比数列；
(2)若对任意的都有,求实数的取值范围.

20.(本题13分) 已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点.
(1)求直线的斜率；
(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.

21.(本题14分)设函数有两个极值点,且.
(1)求实数的取值范围；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.

高2013届第三次五校联考数学(理)参考答案
一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
C
C
D
A
B
A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11. 12. 13. 14. 15. A. B. C.
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
①； ②；
③； ④；
⑤.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数；
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
解:(1)选择②式计算:.…4分
(2)猜想的三角恒等式为:.………6分
证明:

.………………………………12分
17.(本题12分)如图,在长方体中,点在棱上. (1)求异面直线与所成的角；
(2)若二面角的大小为,求点到平面的距离.
解法一:(1)连结.由是正方形知.
∵平面,
∴是在平面内的射影.
根据三垂线定理得,
则异面直线与所成的角为.…………5分
(2)作,垂足为,连结,则.
所以为二面角的平面角,.于是,
易得,所以,又,所以.
设点到平面的距离为,则由于即,
因此有,即,∴.…………12分
解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.
(1)由,得,
设,又,则.
∵∴,则异面直线与所成的角为.……………………5分
(2)为面的法向量,设为面的法向量,则
,
∴. ①
由,得,则,即,∴ ②由①、②,可取,又,
所以点到平面的距离.……………12分
18.(本题12分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中考生甲有道题能正确完成,道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.
解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为,,则取值分别为；取值分别为.
,,.
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

1
2
3

.…………………………3分
∵,
同理:,,.
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:

0
1
2
3

.………………7分
(2)∵,
.（或）.
∴.
∵,,
∴.……………10分
从做对题数的数学期望考察,两人水平相当；从做对题数的方差考察,甲较稳定；从至少完成道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.……………………12分
说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.
19.(本题12分)在数列中,,且对任意的都有. (1)求证:是等比数列； (2)若对任意的都有,求实数的取值范围.
证:(1)由,得.
又由,得.
因此,是以为首项,以为公比的等比数列.………5分
解:(2)由(1)可得,即,,
于是所求的问题:“对任意的都有成立”可以等价于问题:“对任意的都有成立”.
若记,则显然是单调递减的,故.
所以,实数的取值范围为.………………………12分
20.(本题13分) 已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点.
(1)求直线(为坐标原点)的斜率； (2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.
解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.
从而椭圆的方程可化为:
①易知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:. ②由①,②有:.
③设,弦的中点,由③及韦达定理有:

所以,即为所求. ………5分
(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:
,故. ……7分
又因为点在椭圆上,所以有整理可得:
. ④
由③有:.所以
⑤又点在椭圆上,故有 .
⑥将⑤,⑥代入④可得:. ………11分
所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.
所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点 ,总存在,使得等式成立. ………13分
21.(本题14分)设函数有两个极值点,且.
(1)求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
解:(1)由可得.
令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得.……………………5分
(2)由(1)可知,其中,故
①当时,,即在区间上单调递增；
②当时,,即在区间上单调递减；
③当时,,即在区间上单调递增.………9分
(3)由(2)可知在区间上的最小值为.
又由于,因此.又由可得,从而.
设,其中,
则.
由知:,,故,故在上单调递增.
所以,.
所以,实数的取值范围为.……………………………14分
(事实上,当时,,此时.即,“”是其充要条件.)