第十二章轴对称目标检测.doc

第十二章 轴对称
12.1 轴对称（1）
【学习目标】
１． 了解轴对称图形和图形的轴对称的有关概念；
２． 能识别轴对称图形，能找出轴对称图形的对称轴和对称点.
【效果检测】
一、选择题
1.我国主要银行的商标设计都融入了中国古代钱币的图案，图12 – 1我国四大银行的商标图案中是轴对称图形的是 （ ）

① ② ③ ④
图12 – 1
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
2. 图12 - 2的图案中有且只有三条对称轴的是（ ）

图12 – 2 图12-3
A. B. C. D.
二、填空题
3.宋体汉字“王、中、田等都是轴对称图形，请你再写出三个这样的汉字 .
4.在字母H、P、R、A、B、S中，是轴对称图形是 .
5.足球场平面示意图如图12 - 3所示，它是轴对称图形，其对称轴条数为 .
三、解答题
6.（1）画出图12—4中每个正多边形的对称轴.

……
图12—4
（2）填表:
正多边形的边数

…
对称轴的条数

…
（3）任意正多边形都是轴对称图形吗？正（为正整数，）边形有几条对称轴？
12.1轴对称（2）
【学习目标】
１． 理解线段的垂直平分线的概念；

２． 掌握轴对称的“对称轴是对应点所连线段的垂直平分线”等性质；
３． 掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
【效果检测】
一、选择题
1.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O，
图中有( )对全等三角形.
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
2.如图，△A׳B׳C׳与△ABC关于直线MN成轴对称的是（　　）

A′
B′
C′
C
N
A
B
M

C
N
A
B
M

A′
B′
C′
B′
N
C
M
A
B

A′
C′
B′
A′
C′
N
C
M
A
B

A. B. C. D.
3.如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，
∠B=110°，那么∠BCD的度数等于（　　）
Ａ.40° Ｂ.50° Ｃ.60° Ｄ.70°
二、填空题
4.平面内，已知线段AB和点C、D.若CA＝CB＝５，DA＝DB＝７，则直线CD与线段AB的关系是 .
5.三角形三边的垂直平分线交于 点，且这点到三角形三个顶点的距离 .
6. 如图12—8，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=15，则△PMN的周长为 ；
三、解答题
7. 如图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.

8.如图12 – 10，AB＝CD，AC、BD的中垂线相交于点O.
求证：∠ABO=∠ODC.

【实践与探究】
9.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG.
（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

12.1轴对称（3）
【学习目标】
1.会根据轴对称的性质作出轴对称图形的对称轴；
2.会利用尺规作线段的垂直平分线.
【效果检测】
1. 画出图12 – 12中轴对称图形的对称轴.

① ② ③ ④
2.已知：如图12 – 13，点A、B、C不在同一直线上.
(1) 作直线MN，使点B与点C关于直线MN对称；
(2) 作点A′，使A′与点A关于直线MN对称.

3.如图12－14，已知线段CD和∠AOB，求作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB的距离相等.
【实践与探究】
4.如图12 – 15，两个全等的三角形，可以拼出各种不同的图形，图中已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成为不同的轴对称图形.（所画三角形可与原三角形部分重叠）

① ② ③ ④
图12 – 15
12.2轴对称变换
12.2.1轴对称变换（1）
【学习目标】
1.了解轴对称变换，理解轴对称变换的有关性质；
2.能利用轴对称变换的性质，作一个与已知图形关于已知直线对称的图形.
【效果检测】
一、选择题
1.如图12 –16，可以经过轴对称变换得到的是（ ）

A. B. C. D.
图12 –16
2. 如图12—17，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角，则展开后所得的图形是（ ）

图12—17

二、填空题
3.如图12—18，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A
恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为 .

图12—18

三、解答题
4.已知：如图12–19，△ABC和直线，以为对称轴，作出△ABC的对称图形.

图12 – 19
【实践与探究】
5. 图12 – 20-①是一张画有小方格的等腰直角三角形纸片，将图①按箭头方向折叠成图②，再将图②按箭头方向折叠成图③.

图①
图②
图③

（1）请把上述两次折叠的折痕用实线画在图④中.
图④
图⑤
（2）在折叠后的图③中，沿直线剪掉标有的部分，把剩余部分展开，将所得到的图形在图⑤中用阴影表示出来.

12.2.1轴对称变换（2）
【学习目标】
能利用轴对称变换的性质，解决几何极值等有关问题，增强数学的应用意识.
【效果检测】
一、选择题
1. 如图12 – 2 1是一个经过改造的桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球孔.如果1个球按图中所示的方向被击中（球可以经过多次反射），那么该球最后落入的球袋是 （ ）
A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋

图12 – 2 1 图12 – 22
2. 如下图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站M，向P、Q两地供水.现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
3. 如图12 – 22，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65° ，则∠AE D′等于 （ ）
A.50° B.55° C. 60° D. 65°
二、填空题

4.如图12 – 23，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35°，∠ACO=30°，那么∠BOC= .

图12 – 2 3 图12 – 24

5.如图12 – 24，将沿线段折叠，使点落在点处，DE∥BC,若，则___________.
三、解答题
6. 如图12 – 25，P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，
在BC上求作一点M，使△PQM的周长最短.

图12 – 25

7. 如图12—26，直线的异侧有两点A、B，请在直线上找一点P，使点P与A、B两点距离之差最大.

·A
·B

图12 – 26 图12 – 27

8. 如图12—27，正方形ABCD中，点E在BC边上，在BD上求作点P，使得PC+PE的值最小.

【实践与探究】
9. 如图12—28，平面直角坐标系内两点A（－4，2）、B（－1，5），
一动点P从点A出发，先运动到x轴上的某点（设为点C），
再到达y轴上的某点（设为点D），最后回到点B处，
在图中画出使点P运动总路径最短的点C、点D.

图12 – 28
12.2.2用坐标表示轴对称
【学习目标】
1.掌握直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标特点；
2.理解点的坐标变化与图形变化之间的关系，掌握直角坐标系中图形的轴对称变换的规律；
3.体会数形结合思想，学习用“数”研究“形”.
【效果检测】
1
2
3
4
1
2
3
4

B
A
C

x
y
一、选择题
1点P(1,2)关于轴对称的点的坐标是（ ）
Ａ.(-1,2) Ｂ.(1,-2) Ｃ.(-1,-2) D.(1,2)

图12–29

2. △ABC在直角坐标系中的位置如图12 –29所示，如果△A′B′C′与关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（　　）
Ａ.(-4,2) Ｂ.(-4,-2) Ｃ.(4,-2) Ｄ.(4,2)
二、填空题
3.已知点A(－2，3)，则，点A关于y轴对称的点的坐标为___________.
4.已知点P（m+n，4）与点Q（－3，n－m）关于x轴对称，则m＝_____，n＝_____.
5. △ABC关于y轴对称，点A的坐标为(-3，3)，点C在y轴上，则点B的坐标为________；若△ABC的面积为6，则点C的坐标为_________.
三、解答题
9
8
7
6
5
4
3
2
1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6.如图12 – 30，在直角坐标系中：
（1）描出下列各点，并将这些点用
线段依次连结起来：(-2,4),(-3,8),(-8,4),
(-3,1),(2,4)；（2）作出（1）中的图形
关于y轴的对称图形.

图12 – 30
7.如图12 –31，将△ABC向下平移1个单位长度，
得到△A′B′C′，分别作出与△A′B′C′关于
y轴、x轴对称的图形△A1B1C1、△A2B2C2，并写出
它们各顶点的坐标.

图12 – 31
【实践与探究】
8.如图12 – 32在平面直角坐标系中，直线过点，且平行于轴.
1
O
y
x
M
1
l
（1）如果三个顶点的坐标分别是，关于轴的对称图形是，关于直线的对称图形是，写出的三个顶点的坐标；
（2）写出点D(-2,-3)关于直线的对称点；
（3）如果点的坐标是，其中，点关于
轴的对称点是点，求点关于直线的对称点P2的坐标.

图12 – 32
12.3等腰三角形
12.3.1等腰三角形（1）
【学习目标】
1. 利用轴对称进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形的性质是证明线段相等和角相等的重要依据；
2.利用轴对称的性质，探索并掌握等腰三角形的性质.
【效果检测】
一、选择题
1. 如图12—33，∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，
则∠DEF等于（ ） 图12—33
A.90° B. 75° C.70° D. 60°
2. 如图12—34，△ABC中，AB=AC, AD=DE,∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为（ ）
A.30° B. 40° C.60° D. 80°
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 ( )
A.60° B.120° C.60°或150° D. 60°或120°

图12—34 图12—35 图12—36
二、填空题
4.已知等腰三角形的顶角等于70°，那么它的一个底角的度数是______.
5.如图12—35，在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，∠CAD的度数是______.
6.如图12—36，在△ABC中，点D是BC上一点， ∠BAD =80°，AB=AD=DC，则∠C = 度.
三、解答题
7.如图12-37，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB.
求∠A的度数.

图12-37

8.如图12-38，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，
∠AEF＝∠AFE. 求证：EF⊥BC.

图12-38
【实践与探究】
9.如图12-39，Rt△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AE=BF.
求证： (1)DE=DF; (2)△DEF为等腰直角三角形.

图12-39

10.如图12-40所示，A，B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1.请在图中清晰标出使以A，B，Ｃ为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点Ｃ的位置.

图12-40
12.3.1等腰三角形（2）
【学习目标】
1.了解等腰三角形的判定定理是证明线段相等和角相等的重要依据；
2.理解并掌握等腰三角形的判定定理；
3.会运用等腰三角形的性质和判定定理进行简单的计算和证明.
【效果检测】
一、选择题
1如图12-41，在中，，，的平分线交于，则图中共有等腰三角形（ ）
A. 0 个 B. 1个 C. 2 个 D. 3 个

图12-41 图12-42
2.如图12-42,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的△ADH中 ( )
A.AH=DH≠AD B.AH=DH=AD C.AH=AD≠DH D.AH≠DH≠AD
二、填空题
3.如图12-43，AE∥BC，∠1＝∠2，若AB＝4cm，则AC＝______cm.

图12-43 图12-44
4.如图12-44，△ABC中，AB＝AC，过∠ABC、∠ACB的平分线交点O作DE∥BC，交AB于D、交AC于E. 则图中的等腰三角形有_____个.
三、解答题
5. 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图12—45，并写下了四个等式：
①， ②， ③， ④.
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由.（写出一种即可）
已知：
B
E
D
A
C
图12—45
求证：是等腰三角形.
证明：

6.已知：如图12-46，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，
ED⊥BC于D.求证：AE＝AF.

图12-46

7.如图12-47所示，A, B是平面上的点，在平面上找一点C ,使△ABC构成等腰直角三角形，问这样的点C有几个？并在图12-47中画出C点的位置.

图12-47
12.3.2等边三角形（1）
【学习目标】
1.进一步了解等边三角形的有关概念，了解等边三角形与等腰三角形的关系；
2.探索并掌握等边三角形的性质及判定定理；
3.能利用等边三角形性质及判定定理解决有关问题.
【效果检测】
一、选择题
1.已知一个三角形的每个外角都等于相邻内角的2倍，那么这个三角形是（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.不等边三角形 D.等边三角形
2.如图12-48，△ABD、△ACE都是等边三角形，C在BD上，则∠ADE（ ）
A
P
Q
C
B
A.大于60° B.等于60° C.小于60° D.无法判断其大小

图12-48 图12-49
二、填空题
3.如图12-49，是的边上的两点，且，则= .
4.等边三角形是一个 对称图形.
三、解答题
5.如图12-50，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
CE⊥AB于D，且DE＝DC.求证：△CEB是等边三角形.

图12-50

6.如图12-51，△ABC是一个等边三角形，点D、E分别在
AB、AC上，F是BE和CD的交点，已知∠BFC＝120°.
求证：AD＝CE

图12-51

7.如图12-52，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
E是BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC于M.
求证：M为BE中点.

图12-52

【实践与探究】
8.如图12-53，D是等边△ABC内的一点，BD＝DA，BP＝AB，
∠DBP＝∠DBC，求∠BPD的度数.

图12-53
12.3.2等边三角形（2）
【学习目标】
1. 掌握含有30°角的直角三角形的性质；
2. 利用含30°角的直角三角形的性质解决有关问题.
【效果检测】
一、选择题
1.如果三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3，最长边为6，那么最短边为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
2.如图12-54，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠B＝30°，且AC＝6，那么BD等于（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12

图12-54 图12-55

3.在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥AC交BC于D，如果BD＝10，那么D点到AB的距离为（ ）
A.5 B.10 C.20 D.30
4.将一张长方形纸片ABCD如图12-55那样折起，使顶点C落在C′处，其中AB=3.
若∠C′ED=30°，则折痕ED的长为（　　）
Ａ. Ｂ.6 Ｃ.10 Ｄ.12
二、填空题
5.如图12-56，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB＋BC=12㎝，则AB= ㎝.
6.如图12-57，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC=3.折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E，折痕DE的长为________.

图12-56 图12-57

三、解答题
7. 如图12—58，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，
CE∥AO交OB于E，CE=20cm，求CD的长.

图12-58
8.如图12-59，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
D是BC中点，DE⊥AB于E. 求证：EB＝3EA.

图12-59

9.如图12-60，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理.

图12-60
【实践与探究】
10. 如图12-61，△ABC与△ECD都为等边三角形，B、C、D在一条直线上.
（1）试比较BE与AD的大小，并证明你的结论；
（2）判断△CMN的形状，并说明理由；
(3) 试确定MN与BD的位置关系，并说明理由.

图12-61
第十二章综合练习题
一、选择题
1.下列图形中，是轴对称图形的有（　　）

Ａ.个 Ｂ.个 Ｃ.个 Ｄ.个
2.下列轴对称图形中，对称轴最多的是（　　）
Ａ…．
Ｂ.．
Ｃ.．
Ｄ.．

3.等腰三角形顶角的度数是一个底角度数的，它的顶角度数为（ ）
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
4.如图12-62，与均为正三角形，且，则与之间的大小关系是（　　）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.大小关系不确定

D
E
A
C
B

图12-62 图12-63 图12-64 图12－65

5.如图12-63，△ABC中，AB=AC,∠A=30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（　　）Ａ.80°　　 Ｂ.75° Ｃ.65° Ｄ.45°

二、填空题
6. 在平面直角坐标系中，已知点A（－3，n）、点B（1－m，m－3），若点A、点B关于y轴对称，则m＝ ，n＝ .
7.如图12-64，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则 .
8.如图12-65，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D、交AB于点E, DB=10, 则AC＝ .
9.O为△ABC内一点,且OA＝OB＝OC, 若∠OBA＝30°,∠OCB＝20°,则∠OAC＝ .

三、 解答题
10.如图12－66所示，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添加一个小正方形使它成为轴对称图形.

图12－66
11.（1）在图12－67-1所示编号为①，②，③，④的四个三角形中，关于轴对称的两个三角形的编号为_________；关于x轴对称的两个三角形的编号为__________；

O

图1
②
①
③
④

O

图2
Ａ．
Ｂ
Ｃ
（2）在图12－67-2中，画出与关于轴对称的.

图12－67

12.如图12－68，△ABC中，D是BC上一点，且BA＝BD，
∠1＝∠B，∠C＝50°. 求∠BAC的度数.

图 12－68

13.如图12－69，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AC与BD交于点O.
求证：AC是BD的垂直平分线.

图12－69

14.小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.

15.如图12－70，等边△ABC中，CE、BF分别为AB、
AC的中线，CE和BF交于N，M为BN的中点.
求证：△EMN为等边三角形.

图12－70

16.如图12－71，中，AB=AC，点D为AB边上一点，点E为AC延长线上一点，连结DE交BC于点F. 若BD=CE，求证：DF=EF.

图12－71

17.如图12－72-1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE＝BD，DE交AC于F.
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）判断△DCE的形状并证明你的结论；
（3）若AB＝2，点D在AB上的什么位置时，能使△AEF成为直角三角形？请你在备用图12－72-2中画出相应的图形，并直接写出此时线段AD的长.

图12－72-1 图12－72-2

18.如图12－73，点A与点A＇关于直线MN对称，BA＇交MN于C，D是MN上除C外任一点.
求证：（1）CA＋CB＝A＇B；（2）CA＋CB＜DA＋DB.

图12－73

19.已知△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图12－74①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度，并利用图③证明你的结论.

19