牛顿第二定律临街问题.doc

高中物理教案学案
第三章　牛顿运动定律
第五课时　牛顿定律应用中的临界和极值问题

1、知识回顾：
A
B
⑴如图所示，水平放置的长木板AB上静置一个小物块，小物块与木板之间的动摩擦因数μ恒定。现将木板绕其A端沿逆时针方向缓慢旋转，下列图线中能最好地描述小物块沿长木板滑下的加速度a和长木板与水平面间夹角θ的关系的是( B )。
⑵质点所受的力F随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上，已知t＝0时质点的速度为零。在图示t1、t2、t3和t4各时刻中，质点的速度最大的是：( B )．
A．tl 　 B．t2
C．t3 　 D．t4
2、典型例题分析：
A
V传
B
【例1】传送带是一种常用的运输工具，它被广泛地应用于矿山、码头、货场等生产实际中，在车站、机场等交通场所它也发挥着巨大的作用。如图所示为车站使用的水平传送带装置模型，绷紧的传送带水平部分AB的长度L＝5m，并以V传＝2m／s的速度向右传动。现将一个可视为质点的旅行包轻轻地无初速地放在传送带的A端，已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数μ＝0.2。求：
⑴旅行包在传送带上从A端运动到B端所用的时间；
⑵若要旅行包在传送带上从A端运动到B端所用的时间最短，则传动的速度大小应满足什么条件？（g＝10m／s2）
【解析】f
mg
N
⑴由于旅行包的初速为零，在开始阶段，旅行包速度小于传送带的速度，故旅行包相对于传送带向左运动，其受到的滑动摩擦力向右，此滑动摩擦力使旅行包产生加速度，旅行包向右做初速度为零的匀加速运动（如图所示）。但旅行包是否是匀加速运动到B端，却要看旅行包从A端运动到B端过程中是否一直受到滑动摩擦力作用。判断依据是这一过程中若旅行包一直做匀加速运动，其到达B端的速度VB是否大于皮带传动的速度V传：①VB≤V传，则旅行包一直做匀加速运动；②若VB>V传，则旅行包先做匀加速直线运动后做匀速运动。
根据牛顿第二定律可得： f＝ma ，N－mg＝0。结合f＝μN可解得：a＝2m/s2。

假设旅行包从A端到B端一直做匀加速运动，则由Vt2－V02＝2aS可解得：VB＝2m/s。即VB>V传，故旅行包先做匀加速直线运动，到速度与皮带传动速度相等后做匀速运动。所以旅行包从开始运动到速度与传送带速度相等:
需要的时间为　t1＝ V传/a＝2/2s＝1s，
通过的位移为　S1＝at2/2＝2×12/2m＝1m。
后一阶段旅行包运动至B端所用的时间为t2，则由L－S1＝V传t2可解得：t2＝2s。
所以，物体由A端到B端所用时间为：t＝t1＋t2＝3s。
⑵要使旅行包在传送带上从A端运动到B端所用的时间最短，旅行包应该在传送带上一直受到滑动摩擦力作用而做匀加速直线运动，且到达B端时的速度VB´要小球或等于V传。
由Vt2－V02＝2aS可解得：VB´＝＝m/s＝2m/s。故要使旅行包在传送带上从A端运动到B端所用的时间最短，应满足的条件是V传≥2m/s
【小结】解决临界状态问题的关键是找临界条件，即根据具体问题找到临界状态所对应的物理条件。例如，相对静止物体间出现相对滑动的临界条件就是静摩擦力达到最大值；物体与支持面分离的临界条件就是相互间作用的压力为零；用细绳系着的物体能在竖直平面内做圆周运动的临界条件就是在最高点处细绳的拉力为零。出现临界状态所需的临界条件，需要通过对具体物理过程进行细致分析，深入理解，才能得到，切忌死记硬背。因此，做好受力分析、状态分析和运动过程的分析，根据运动和力的关系，正确建立物体运动的情景，抓住运动过程中的“转折点” ，注意可能出现的多种情况，是解决牛顿定律应用中的临界问题的基本方法。对临界现象比较隐蔽的临界问题，常用极限分析法使比较隐蔽的临界现象暴露出来，再分析得出其临界条件。
【例2】如图所示，物体A、B的质量分别为5kg和15kg，叠放在光滑的水平面上，水平恒力F＝10N作用在物体A上，使A由静止开始在足够长的物体B上运动，当它相对地前进0.5m时的速度为V，则V不可能为：
F
B
A
A．0.5m／s B．0.8m／s
C．1.0m／s D．1.4m／s
【解析】要确定物体A相对地前进0.5m时的速度，就必须要知道A在这一过程中做何种性质的运动，故首选要分析A的受力情况。分析时发现，由于题目所给条件不充分，所以A的受力情况有两种可能性：A、B间有摩擦力作用与A、B间没有摩擦力作用。A、B间有摩擦力作用时又有两种可能性：A、B间是静摩擦力作用与A、B间是滑动摩擦力作用。结合牛顿第二定律和运动学公式可得：
①当A、B间没有摩擦力作用时，A相对地前进0.5m时的速度最大，为
Vmax＝＝m/s＝m/s；
②当A、B间有摩擦力作用且A、B相对静止时，A相对地前进0.5m时的速度最小，为Vmin＝＝m/s＝/2 m/s 。
即A相对地前进0.5m时的速度介于/2 m/s和m/s之间，故此题正确答案应选A．
【小结】此题是已知物体受力情况确定物体运动情况的问题，常规思路是：根据物体受力情况，结合牛顿第二定律和运动学公式得出结论。题中由于物体所
F

受摩擦力情况的不确定性，导致结论的不确定，摩擦力发生突变是临界状态出现的原因。
【例3】如图所示，在水平面上放一质量为m的物体，与水平面间的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，（1）如果要使物体做匀速运动，求拉力F的最小值；（2）如果要使物体以加速度a做匀加速运动，求拉力F的最小值。
【解析】（1）此问题有两种解法。
图a
F
f
mg
N
图b
T
θ
N
f
图c
θ
F
mg
T
①物理方法——图解法：物体受力分析如图a所示。力F大小和方向发生变化时，N、f大小也随之改变。由于μ＝f/N，所以f、N的合力T的方向在力F变化过程中保持不变（如图b所示）。
图d
F
f
mg
N
θ
物体在mg、F、N与f四个力作用下处于平衡，可以看成在mg、F、N与f的合力T三个力作用下处于平衡。由于mg的大小、方向均不变，T的方向也不变，故由力的平衡条件和平行四边形定则可知：当F与T垂直时，F的值最小（如图c所示）。设T与竖直方向的夹角为θ，则F的最小值为Fmin＝mgsinθ，而tgθ＝f/N＝μ，故Fmin＝μmg/。
②数学方法——三角函数求极值：设力F的方向与水平方向夹θ角（如图d所示），根据力的平衡条件和正交分解法可得：
水平方向：Fcosθ－f＝0 　　　　　　　　　①
竖直方向：N＋Fsinθ－mg＝0 　　　　　　　②
f＝μN　　　　　　　　　　　　 ③
联列解得：F＝μmg/(cosθ＋μsinθ)

由三角函数的两角和公式可得：当ctgθ＝μ时，力F最小且最小值为Fmin＝μmg/。
（2）根据牛顿第二定律和正交分解法可得：
水平方向：Fcosθ－f＝ma 　　　　　　　　①
竖直方向：N＋Fsinθ－mg＝0 　　　　　　　②
f＝μN　　　　　　　　　　　　 ③
联列解得：F＝m（μg＋a）/(cosθ＋μsinθ)

由三角函数的两角和公式可得：当ctgθ＝μ时，力F最小且最小值为：
Fmin＝m（μg＋a）/。
【小结】极值问题常常是和临界问题联系在一起的。本题第（1）问是牛顿第二定律的特殊情况——平衡问题，其解析中的图解法具有直观、简捷的特点，是求解极值问题常用的方法之一。函数方法是求解极值问题的常规方法，其基本思路是：要求某个量的极值，可先根据相关的物理规律及物理量之间的关系求出这个物理量的解析式，然后根据解析式讨论在什么条件下，这个物理量取极值。本题中用到的三角函数转化公式：
asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋ψ)（其中ctgψ＝a/b）要熟记。
【例4】倾角为α的坡面上，有在同一水平线上相距L的两点A和B（如图所示）。一坦克模型由静止从A点出发，需不离开直线AB而开往B点，求坦克模型完成这个要求所用的最短时间。已知坦克和坡面间的动摩擦因数μ＞tgα。
【解析】坦克模型在沿直线AB运动过程中受重力G、支持力N和摩擦力f作用，其中摩擦力的作用效果有两个：一是阻止坦克模型沿坡面下滑，二是使坦克模型沿直线AB加速运动。将摩擦力f在坡面内沿坡面向上和沿坡面向AB方向正交分解为f1和f2，则有f2＝f12+f22。坦克模型和坡面间的动摩擦因数μ＞tgα说明坦克模型静止在坡面上时不会沿坡面下滑。
要使坦克模型从A点沿直线AB开往B点所用时间最短，坦克模型必须以履带与坡面接触部分相对坡面静止所能达到的最大加速度行驶，此时履带与坡面之间的静摩擦力达到最大值。故有：
fmax＝μN＝μmgcosα
f1＝mgsinα
f2＝ma
f12+f22＝f2max
即(mgsinα)2+(ma)2＝(μmgcosα)2,a＝gcosα·,代入L=(1/2)αt2min,解得：
tmin＝＝/
【小结】①求解牛顿定律应用中的临界、极值问题的典型错误有：一是未能仔细对物体受力情况、状态和运动过程进行分析，不能正确建立物体运动的情景，也就不能发现一些比较隐蔽的临界现象及其临界条件，从而造成思路不清、过程混淆的错误；二是对每种性质运动的受力特点（即运动和力的关系）未能熟练掌握，解题时乱套公式；三是思维狭窄，未能预见可能出现的多种情况。
②摩擦力的方向与相对运动或相对运动趋势的方向相反，而与物体的运动方向不一定在同一条直线上，此题即是如此。
③解答物体在斜面上运动的问题时，要重视题设条件中μ与斜面倾角θ关系的意义：
a、μ＜tgθ，物体无初速放在斜面上时会加速下滑；
b、μ＞tgθ，物体无初速放在斜面上时会保持静止状态；
c、μ＝tgθ，物体无初速放在斜面上时会保持静止状态，受到一个扰动后能沿斜面匀速下滑。汽车、坦克等的驱动力是地面对它们的摩擦力充当的，所谓的“牵引力”只是一种笼统的说法。
3、跟踪反馈：
1、一个小孩在蹦床作游戏，他从高处落到蹦床上后
又被弹起到原高度．小孩从高处开始下落到弹回的整
个过程中，他的运动速度V随时间t变化的图象如图
所示，图中oa段和cd段为直线．则根据此图象可知，
小孩和蹦床相接触的时间为：( C )．
A．t2～t4 B．t1～t4
B
A
F
C．t1～t5 D．t2～t5
2、如图所示，木块A质量为1千克，木块B的质量为2千克，叠放在水平地面上，AB间最大静摩擦力为1牛，B与地面间摩擦系数为0 .1，今用水平力F作用于B，则保持A、B相对静止的条件是F不超过：（　D　）
A．3牛 　 　 B．4牛 　 C．5牛 　　 D．6牛
3、如图所示，竖立在水平地面上的轻弹簧，下端固定在地面。现将一金属球由弹簧的正上方无初速释放，金属球下落一段时间后，落在弹簧上并压缩弹簧，在金属球将弹簧压缩至最短后，金属球又被弹簧向上弹起。下列关于这一过程的有关描述中，正确的是：( B、C )．
A．金属球刚接触弹簧时速度最大
B．金属球将弹簧压缩至最短时，金属球的加速度最大
C．金属球刚接触弹簧到弹簧被压缩至最短过程中，金属球的速度先增大后减小
D．金属球刚接触弹簧到弹簧被压缩至最短过程中，金属球的加速度逐渐减小
4、一新房要盖屋顶，从侧面看房宽L为定值，为使落在屋顶的雨水能以最短时间淌离屋顶，则屋脊到屋檐的高度h应为多少?(设雨水沿屋顶下滑时，可作为沿光滑斜面下滑)。
( L/2)

5、如图所示，质量为M的小球某时刻速度V0的方向与竖直方向成30°角，要使能沿该时刻速度方向所在的直线运动，则至少要给小球施加多大的力？(不计空气阻力)
mg
V0
30°
(mg/2)

6、用一轻质弹簧把两块质量各为M和m的木块连接起来，放在水平面上，如图所示．问：必须在上板施加多大压力F，才能使撤去此力后m跳起来，恰好使下面的M离地?
M
F
m
(F=(M+m)g)

a
θ
7、如图，用一轻质细线将质量为m的小球系于一倾角为θ＝60º的光滑斜面上，细线与斜面平行。现对斜面体施加一水平外力，使斜面体以加速度a＝2g/3向右做匀加速直线运动，求此时斜面和细线对小球的作用力分别是多大？
(N=0；T＝mg/3)

8、如图，质量为m＝1kg的物体，放在倾角为θ＝37°的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.3，要使物体与斜面体一起沿水平方向向左加速运动，则其加速度多大？
370
(18g/49～6g/7)

9、如图所示，A、B两物体的质量分别是m1和m2，其接触面光滑，与水平面的夹角为θ，若A、B与水平地面的动摩擦系数都是μ，用水平力F推A，使A、B一起加速运动，求：（1）A、B间的相互作用力 （2）为维持A、B间不发生相对滑动，力F的取值范围。
B
A
θ
F
(⑴m1g/cosθ；⑵m1g(m1+m2)(tgθ－μ)/m2)

10、如图所示，小金属块A的质量m＝100g，将它轻放到沿水平地面匀速向右运动的薄木板上，刚放上去时距木板左端为d＝2 m．A与板间的动摩擦因数μ＝0.4。A放上后，木板仍在外力作用下做匀速运动。要把木板从金属块A下抽出来，木板运动的速度Vo应满足什么条件?
（大于4m/s）

A
B
11、如图所示，若传送带与地面的倾角为θ＝37º，从A到B的长度16m,传送带以10m/s的速率逆时针方向转动，在传送带上端无初速地放一个质量为m＝0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5。求物体从A到B 所需的时间是多少?（sin37º＝0.6，cos37º＝0.8，g＝10m/s2）
(2s)