山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料-第五编-平面向量、解三角形-5.5-正弦定理、余弦定理的应用(教.doc

高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 总第25期§5.5 正弦定理、余弦定理的应用
基础自测
1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角为70°，则∠BAC= .
答案 130°
2.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为 .
答案 =
3.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,则△ABC是 三角形.
答案 等边
4.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为 km.
答案 10
5.线段AB外有一点C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以
50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始 h后，两车的距离最小.
答案
例题精讲
例1 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=
45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之间的距离.
解 如图所示，在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，
∴AC=CD= km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，
∠CBD=60°.∴BC==.△ABC中，由余弦定理，得
AB2=()+()-2×××cos75°=3+2+-=5，
∴AB=(km).∴A、B之间的距离为 km.
例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 km，从B到C方位角是110°，距离是3 km，从C到D,方位角是140°，距离是（9+3）km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.
解 示意图如图所示，连接AC，在△ABC中，
∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3，
∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得
AC==
==3(km)，在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=3+9.
由余弦定理得AD==
=(km)
由正弦定理得sin∠CAD===.
∴∠CAD=45°,于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°,
所以，从A到D的方位角是125°，距离为km.
例3 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB
的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以
DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC
的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.
解 设∠POB=，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得
PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos=5-4cos.
∴y=S△OPC+S△PCD=×1×2sin+（5-4cos）=2sin(-)+.
∴当-=，即=时，ymax=2+.
所以四边形OPDC面积的最大值为2+.
巩固练习
1.某观测站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？
解 设∠ACD=，∠CDB=.在△BCD中，由余弦定理得
cos===-，则sin=,
而sin=sin(-60°)=sincos60°-cossin60°
=×+×=,
在△ACD中，由正弦定理得=,∴AD===15(千米).
答 这个人再走15千米就可到达A城.
2.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得
∠BCD=，∠BDC=，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.
解 在△BCD中，∠CBD=--，由正弦定理得=，
所以BC==
在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=.
3.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图
所示，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比
AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越
好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多
少米？
解 设BC=a（a＞1）,AB=c，AC=b，b-c=.c2=a2+b2-2abcos60°，将c=b-代入得(b-)=a2+b2-ab,
化简得b(a-1)=a2-.由a＞1,知a-1＞0. b===(a-1)+ +2+2,
当且仅当a-1=时，取“=”号，即a=1+时，b有最小值2+.
答 AC最短为(2+)米，此时，BC长为(1+)米.
回顾总结
知识
方法
思想
课后作业
一、填空题
1.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成
75°视角，则B、C的距离是 海里.
答案 5
2.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是 m.
答案 20(1+)
3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,
灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，
则灯塔A与灯塔B的距离为 km.
答案 a
4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时.
答案
5.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，
，是可供测量的数据.下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜
的是 （填序号）.
①c和②c和b③c和④b和
答案 ④
6.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相
距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在
货轮的东北方向,则货轮的速度为 海里/小时.
答案 20(-)
7.在△ABC中，若∠C=60°，则+= .
答案 1
8.（2008·苏州模拟）在△ABC中，边a,b,c所对角分别为A,B,C，且==,则∠A= .
答案
二、解答题
9.在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2.
（1）f（1）=0且B-C=，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范围.
解 （1）∵f（1）=0，∴a2-(a2-b2)-4c2=0，∴b2=4c2，∴b=2c，∴sinB=2sinC，
又B-C=.∴sin(C+)=2sinC，∴sinC·cos+cosC·sin=2sinC，
∴sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，又∵-＜C-＜，∴C=.
（2）若f（2）=0，则4a2-2(a2-b2)-4c2=0，∴a2+b2=2c2，∴cosC==，
又2c2=a2+b2≥2ab，∴ab≤c2，∴cosC≥，又∵C∈（0，），∴0＜C≤.
10.（2008·泰安模拟）在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边.已知a=1,b=2,cosC=.
(1)求边c的值；（2）求sin(C-A)的值.
解（1）c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×=2，∴c=.
（2）∵cosC=，∴sinC=.在△ABC中，=,即=.
∴sinA=,∵a＜b,∴A为锐角，cosA=.∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA
=×-×=.
11.如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧
AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，
设∠AOP=，求△POC面积的最大值及此时的值.
解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-，∠OCP=120°.
在△POC中，由正弦定理得=，∴=，∴CP=sin.
又=，∴OC=sin（60°-）.因此△POC的面积为
S（）=CP·OCsin120°=··sin（60°-）×
=sinsin（60°-）=sin(cos-sin)=2sin·cos-sin2
=sin2+cos2-=sin(2+)-.∴=时，S（）取得最大值为.
12.在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A（-1）n mile的B处
有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的
缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以
10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方
向能最快追上走私船？
解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.
设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=10t，BD=10t.在△ABC中，
∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=(-1)2+22-2×(-1)×2×cos120°=6,
∴BC=，∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD===,∴∠BCD=30°.
即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船.

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用心 爱心 专心