山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料-第五编-平面向量、解三角形-5.2-平面向量基本定理及坐标表示(.doc

高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 总第22期§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
基础自测
1.已知平面向量a=（1，1），b=(1,-1),则向量a-b= .
答案 (-1,2)
2.（2008· 安徽理）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则= .
答案 （-3，-5）
3.若向量a=(1,1)，b=(1,-1),c=(-2,1),则c= （用a,b表示）.
答案 -a-b
4.已知向量a=,b=(x，1)，其中x＞0，若(a-2b）∥(2a+b)，则x的值为 .
答案 4
5.设a=，b=，且a∥b，则锐角x为 .
答案
例题精讲
例1 设两个非零向量e1和e2不共线.
（1）如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-8e1-2e2，求证：A、C、D三点共线；
（2）如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.
（1）证明 =e1-e2，=3e1+2e2, =-8e1-2e2, =+=4e1+e2
=-(-8e1-2e2)=-,∴与共线，又∵与有公共点C，
∴A、C、D三点共线.
（2）解 =+=（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2，∵A、C、D三点共线，
∴与共线，从而存在实数使得=,即3e1-2e2=(2e1-ke2)，
由平面向量的基本定理，得，解之得=，k=.
例2、已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
解 设D的坐标为（x,y）.
(1)若是ABCD，则由=得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),∴, ∴x=0，y=-4.
∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.
（2）若是ADBC，则由=得（x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），
即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.∴D点坐标为（2，4）（如图中的D2）.
（3）若是ABDC，则由=得（0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2),
即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.∴D点的坐标为（-2，0）（如图中的D3）.
综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.
例3、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：
（1）若（a+kc）∥(2b-a)，求实数k;
（2）设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.
解 （1）∵（a+kc）∥（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-.
（2）∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
∴，解得或
∴d=或d=.
巩固练习
1.如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.
解 方法一 设=a，=b，
则a=+=d+
b=+=c+
将②代入①得a=d+a=-c,代入②
得b=c+c-d即=d-c，=c-d
方法二 设=a，=b.
因M，N分别为CD，BC的中点，所以=b，=a，
因而,即=(2d-c), =(2c-d).
2.已知A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）且=3，=2，求点M、N及的坐标.
解 ∵A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4），∴=（1，8），=（6，3），
∴=3=（3，24），=2=（12，6).
设M（x，y），则有=（x+3，y+4），∴，∴,
∴M点的坐标为（0，20）.同理可求得N点坐标为（9，2），因此=（9，-18），
故所求点M、N的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.
3.已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=，=.
求证：∥.
证明 设E、F两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则依题意，得=（2，2），=（-2，3），
=（4，-1），==,==，=(x,y)-(-1,0)= ,
=(x,y)-(3,-1)=

回顾总结
知识
方法
思想
课后作业
一、填空题
1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+nb与a-2b共线，则= .
答案 -
2.设a、b是不共线的两个非零向量，已知=2a+pb，=a+b，=a-2b.若A、B、D三点共线，则
p的值为 .
答案 -1
3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则= .
答案
4.（2007·北京文）已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b⊥(a+b)，则实数的值是 .
答案 -3
5.（2008·辽宁文）已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且=2，则顶点D的坐标为 .
答案
6.设0≤＜2，已知两个向量=（cos，sin），=（2+sin，2-cos），则向量长度的最大值是 .
答案 3
7.（2008·全国Ⅱ文）设向量a=(1,2),b=(2,3)，若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线，则= .
答案 2
8.（2008·菏泽模拟）已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m∥n (a＞0,b＞0)，则ab的最小值是 .
答案 16
二、解答题
9.已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）.
设=a，=b，=c，且=3c，=-2b，
（1）求：3a+b-3c；（2）求满足a=mb+nc的实数m，n.
解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
（2）∵mb+nc=（-6m+n，-3m+8n），
∴，解得.
10.若a,b为非零向量且a∥b,1,2∈R,且12≠0.
求证：1a+2b与1a-2b为共线向量.
证明 设a=(x1,y1),b=(x2,y2).
∵a∥b,b≠0,a≠0,∴存在实数m,使得a=mb,即a=(x1,y1)=(mx2,my2),
∴1a+2b=((m1+2)x2,(m1+2)y2) =(m1+2)(x2,y2)
同理1a-2b=(m1-2)(x2,y2),∴(1a+2b)∥(1a-2b)∥b,
而b≠0,∴(1a+2b)∥(1a-2b).
11.在ABCD中，A（1，1），=（6，0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
（1）若=（3，5），求点C的坐标；
（2）当||=||时，求点P的轨迹.
解 （1）设点C坐标为（x0，y0）,又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5）,
即（x0-1,y0-1）=（9，5），∴x0=10，y0=6，即点C（10，6）.
（2）由三角形相似，不难得出=2
设P（x,y），则=-=（x-1，y-1）-（6，0）=（x-7，y-1）,
=+=+3=+3（-）
=3-=（3（x-1），3（y-1））-（6，0）=（3x-9，3y-3），
∵||=||，∴ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∴⊥，即（x-7，y-1）·（3x-9，3y-3）=0.（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0，
∴x2+y2-10x-2y+22=0（y≠1）.∴（x-5）2+（y-1）2=4（y≠1）.
故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.
12.A(2,3),B(5,4),C(7,10),=+.当为何值时，
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
（2）点P到两坐标轴的距离相等？
解 （1）由已知=（3，1），=（5，7），
则+=(3，1)+(5，7)=（3+5，1+7）.
设P（x，y），则=（x-2，y-3），∴，∴.
∵点P在第一、三象限的角平分线上，∴x=y，即5+5=4+7,∴=.
(2）若点P到两坐标轴的距离相等，则|x|=|y|,即|5+5|=|4+7|,∴=或=-.
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用心 爱心 专心