2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题(上海卷)真题解析.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）答案及解析

考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合，，，则 .
【解析】∵，∴，于是.故答案为：.
【点评】本题考查集合的概念和运算，属基础概念题．
2.不等式的解集是 .
【解析】，故答案为：.
或由或，解得，故答案为：.
【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解.

3.行列式的值是 .
【解析】，答案为：.
【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.
4.若复数（为虚数单位），则 .
【解析】∵，∴，故答案为：
【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．
5.将一个总数分为、 、三层，其个体数之比为5:3:2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从中抽取 个个体.
【解析】设、 、三层的个体数为，，（），则分层抽样方法知：从中应抽取个个体，故答案为：.
【点评】本题改编自09年湖南的一道高考题，主要考查分层抽样的基本知识.
6.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，
则该四棱椎的体积是 .
【解析】四棱椎的体积，故答案为：.
【点评】本题考查棱椎的概念、性质和体积计算公式，属基础题.
7.圆的圆心到直线的距离 .
【解析】由，得，则圆心为，故，答案为：3.
【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.
8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 .
【解析】由抛物线定义知：P的轨迹为抛物线，易知焦参数，所以点P的轨迹方程为.
【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题.
9.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 ______.
【解析】因函数图象与轴的交点是，所以其反函数的图像与轴的交点坐标是，故答案为：.
【点评】反函数是高考常考的知识点，一般难度都不大.当与反函数图像有关时，要注意反函数与原函数的图象关于直线对称.
10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 ____________（结果用最简分数表示）.
【解析】由等可能事件的概率计算公式,得,故答案为：.
【点评】本题考查等可能事件的概率及其计算，解本类问题的关键是弄清基本事件的总数.

11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 .
【解析】依题意，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，可知程序的执行框内应填：.
【点评】本题主要考查算法的程序框图．由题意确定算式是基础，弄清算法流程图的逻辑结构是解题关键．

12.在行列矩阵中，记位于第行第列的数为.当时， _____.
【解析】当时，由矩阵的结构可知：，，，，，，，，，∴，故答案为：.
【点评】矩阵是上海高考常考的知识点，也是一大亮点.本题考查矩阵元素的构成规律和等差数列的前项和公式.
13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 ____________.
【解析】易知双曲线：,设，又，，由，得，即，
∴，，代入整理得，故答案为：.
【点评】本题考查双曲线的标准方程、几何性质、向量的坐标运算、平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.
14.将直线、、（，）围成的三角形面积记为，则 .
【解析】、、（，）围成的三角形，其中，，，又，，
∴，故，
于是，故答案为：.
【点评】本题将直线与直线的位置关系与数列极限结合，考查两直线的交点的求法、两直线垂直的充要条件、三角形的面积计算以及数列极限的运算法则等，是本次考题中的一个闪光点.
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 [答]（ ）
（A）1. （B）. （C）2. （D）3.
【解析】画出不等式组表示的平面区域为四边形，其中，，，，由图解法知：当直线经过点时，目标函数的取得最大值，选C.
【点评】本题考查线性规划的求解问题.作为选择题，要准确快速求解，可利用端点处取得最值（函数的思想）来求解则更好，从而要求考生对性规划的问题有较深刻的认识.
16.“()”是“”成立的 [答]（ ）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
【解析】当（）时，，反之，当时，（），所以“（）”是“”成立的充分不必要条件，选A.
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式、特殊角的三角函数以及终边相同的角等基础知识，考查简易逻辑中充要条件的判断.记错诱导公式以及特殊角的三角函数，混淆条件的充分性和必要性，是这类问题出错的重要原因．
17.若是方程式 的解，则属于区间 [答]（ ）
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
【解析】设，则
，
，所以，选C.
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，隐含着对指数函数的性质、连续函数的性质等知识的考查，把对方程的根的研究转化为对函数零点的考察是解题的关键.
18.若△的三个内角满足，则△
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
【解析】由正弦定理知：，设，，（），则边最长，且，故角为钝角，则△一定是钝角三角形，选C.
【点评】本题考查正、余弦定理在解斜三角形中的应用，即判断三角形的形状，由于条件中是三角形三个内角正弦之比，则需转化为三边长度之比，从而考查运动变化观、数形结合思想.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
已知，化简：
.
【解析】∵，
，，
∴原式.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的余弦、对数的概念和运算法则等基础知识，同时考查基本运算能力.
20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）；
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出
用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
【解析】(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，
所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
(2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略．
【点评】本题以圆柱形灯笼为载体，考查二次函数的实际应用、三视图的概念与作法，由此看出，立体几何板块难度比去年有所上升.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分.
已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
【解析】（1）由已知得，∴，
当时，，，两式相减得，变形，得，
又，
故是首项为，公比为的等比数列.
(2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)；
由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、数列求和公式、不等式的解法以及方程和函数思想.本题的实质是：已知递推公式（，为常数）求通项公式.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
【解析】(1)由题意，得 ，解得xÎ(-2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，
因为，
所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；
(3) ,kÎZ，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，
函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ．
【点评】本题给人耳目一新的感觉，问题的表述比较陌生，提问方式新颖，考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高．但认真分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉——函数与不等式的综合.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
【解析】(1)由 知为线段的中点，∴；
(2) 由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以D>0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率，直线l的斜率，
解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．
【点评】今年以解析几何为压轴题，意图与全国大多数考区的试卷接轨.本题是具有一定深度的探究题，然而从研究问题的一般方法入手，可以从具体到一般地层层深入，即可获得各小题的部分分值是我们对不少考生的期望．