三、模糊推理.doc

(完整版)三、模糊推理1
第三章：模糊推理系统
随着科学技术的不断发展,人们对计算机的要求愈来愈高，不仅要求它具有更高的运算速度、更大的信息存贮和数据处理能力，而且还需要计算机具有一定的“智能”。控制论的创始人维纳曾经说过，由于“人具有运用模糊概念的能力”，所以人胜过任何最完善的机器。对模糊事物进行识别和判决是人脑的重要特点之一，那么如何使计算机能够模拟人脑思维的模糊性,如何使模糊语言作为算法语言直接进入计算机程序，让计算机完成模糊推理，这是模糊信息处理首先要解决的问题。
§3。1 语言变量与模糊规则
为了使计算机能够利用模糊概念，模拟人的思维进行模糊推理，首先需要深入研究模糊推理的一些基础知识。如模糊语言变量、模糊命题及模糊推理方法等等.
3.1。1 模糊语言
语言是一种符号系统，通常包括自然语言和人工语言两种。自然语言是指人类交流信息时使用的语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观念、行为、情感等.自然语言具有相当的不确定性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是由于自然语言中经常用到大量的模糊词（如黎明、模范、优美、拥护等).人工语言主要是指程序设计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。
一、模糊语言的概念
从广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。显然，模糊语言主要是指自然语言。由于模糊语言可以对模糊性进行分析和处理，因此，在现实生活中，人们常常用模糊语言来描述事物或现象的模糊性。另外，需要说明的是模糊语言又具有很大的灵活性，在不同的场合,同一全模糊概念可以表达出不同的含义.如“高个子",在中国,大约在1.75—1。85 m之间的人就认为是“高个子”,而在欧洲，大约在1.80-1.90 m之间的人才能算作“高个子".
模糊语言是一种广泛使用的自然语言.如何将模糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的思维去推理和判断，这就引出了语言变量这一概念。
二、语言变量
语言变量是以自然语言中的词、词组或句子作为变量，而不是以数值作为变量.如模糊控制中经常用到的语言变量“偏差”、“偏差变化率"等。语言变量的概念最早由Zedeh提出。
语言变量的值称为语言值,一般也是由自然语言中的词、词组或句子构成。如语言变量“偏差”、“偏差变化率”的语言值可以由“大”、“中"、“小"等词来描述.语言变量与相应的语言值之间必须遵守语法规则和语义规则。语言变量的语言值通常用模糊集合来描述，该模糊集合对应的数值变量称作基础变量.
综上所述，一个完整的语言变量可定义为一个五元体
其中--语言变量的名称;
——语言变量的语言值；
—-论域；
一—语法规则；
-—语义规则。
下面以“年龄”作为语言变量，该语言变量的论域取。根据语法规则可知，描述语言变量“年龄"的语言值有“年青"、“中年”、“年老”几种，那么可表示为
＝年青＋中年＋年老
语义规则主要是用来反映实际论域中的岁数与模糊集合“年青”、“中年"、“年老”之间的关系。模糊语言变量的完整描述见图3.1。1。

图3。1。1 “年龄”语言变量的五元体
三、模糊语气算子
模糊语气算子是指一类加强或削弱模糊语言表达程度的词，如“特别"、“很”、“相当"等等，可以对模糊语言值进行修饰。比如对语言值“年轻”、“年老”等进行修饰，变为“很年青"、“特别老”等。
设模糊集的隶属函数为,那么模糊语气算子的数学描述可以表示为，其中加强语气的词称为集中算子，取;减弱语气的词称为散漫化算子，取。
例3。1。1 设模糊集合表示“年青”这一模糊概念,其隶属函数为

可以算出28岁和30岁的人对“年青”的隶属度为
；
现在给“年青”加上集中算子“很”，用模糊集合表示“很年青”,若取,则可得“很年青"的隶属函数为

代入上式可以算出28岁和30岁的人对“很年青"的隶属度分别为
；
若给“年青”加上散漫化算子“较”,用模糊集合表示“较年青",取，则可得“较年青”的隶属函数为

可以算出28岁和30岁的人对“较年青”的隶属度分别为
;
可见,同样的年龄对于不同的模糊集其隶属度是不同的,反映出模糊语气算子的作用.
3.1.2 模糊规则
一、模糊逻辑
数理逻辑是建立在经典集合论上的研究概念、判断和推理形式的一门学科,又称为经典逻辑.经典逻辑最大的特点是所反映的内容非真即假,在客观世界中这样的命题不胜枚举.比如：
◆ 北京是中华人民共和国的首都
◆ 石头可以当饭吃
但是，还有一类命题很难做出这样明确的判断。比如：
◆ 机动车比自行车的速度更快
◆ 南方的天气很热
对于这样的模糊性命题，经典逻辑往往不能给出符合实际情况的结果.正如英国著名的逻辑学家B. Russell在1923年所言：“经典逻辑都习惯于假定使用的是精确的符号。因此，它不适合于尘世生活，而仅仅适用于想象的天体存在物……。逻辑学较别的学科使我们更接近于天堂。”Russell认为世界上不存在绝对的精确性,二值逻辑描述的是理想世界，而不是现实世界。最早跨出二值逻辑限制的是波兰的逻辑学家Jan Lukasiewicz，他于1920年创立了多值逻辑。直到1965年，Lotfi Asker Zadeh创立了模糊集合论，使经典逻辑值由｛0，1}两值扩展到可以在闭区间［0,1］任意取值,于是产生模糊逻辑。
模糊逻辑是二值逻辑的推广,可以在[0，1］区间上任意取值。模糊逻辑运算规则也是以经典逻辑运算规则为基础,经过适当的扩展而形成的。经典逻辑对应于经典集合论，其运算规则称为布尔代数。若,布尔代数具有如下的运算性质：
（1） 幂等律
(2) 交换律
（3) 结合律
(4) 吸收律
（5) 分配律
（6) 复原律
(7） 补余律 （模糊逻辑运算不符合）
(8）
模糊逻辑对应于模糊集合论，模糊逻辑运算除了不满足布尔代数里的补余律外，布尔代数的其它运算性质它都适用.除此之外，模糊逻辑运算满足德•摩根（De—Morgan)代数，即
（3.1.1）
（3.1.2)
对于补余运算，De—Morgan代数中是这样定义的：
，而 （3。1。3)
,而 (3.1。4)
二、模糊命题
模糊命题是指带有模糊性的陈述句。模糊命题的真值不是绝对的“真"或“假"，而反映其隶属于“真”的程度.模糊逻辑是表征模糊命题的工具,是研究模糊推理最基本的数学手段。模糊命题可以分为性质命题和关系命题两种,通常用大写字母,，……表示，如：
:金属物体的导电性能好；
：100比1大得多.
显然，是模糊性质命题,是模糊关系命题。但无论是性质命题，还是关系命题，都无法做出“真”、“假”这样明确判断,其真实程度（即模糊命题的真值）只有通过模糊逻辑值来反映.模糊命题从构成上划分，又可分为简单模糊命题和复合模糊命题两种.简单模糊命题的一般形式为：
： “是” （ is )
其中元素，是论域；是某个模糊概念所对应的模糊集合.
模糊命题的真值，由元素对模糊集合的隶属程度表示。在模糊命题中，“is ”称作模糊谓词。简单模糊命题通过连接词“且”、“或”、“非”等连接起来,就构成了复合模糊命题。复合模糊命题一般形式为
: “是”且“是” ( is and is )
： “是"或 “是" ( is or is )
其中元素、，、是论域;、是相应的模糊集合。
由于模糊命题间的“且”、“或"、“非”实质上可以通过模糊逻辑“交”、“并”、“补”实现。因此，对于复合模糊命题的真值，需要通过模糊合成运算来求取。下面给出模糊命题之间的“并”、“交”、“补”基本运算的定义:
设有模糊命题 ： is ;: is ，经过“并”、“交"、“补”运算后，其真值为:
（1） 并
(3.1.5）
（2） 交
(3.1。6)
（3) 补
(3。1。7）
可见，复合模糊命题的真值实质上就是各简单模糊命题之间合成运算的结果。当然，上面给出的只是在“并”、“交”、“补"基本运算定义下的结果。其实，复合模糊命题的真值也满足其它“S范数”、“T范数”及“补"运算规则。
三、模糊规则
模糊规则是模糊推理的基础,由若干个模糊命题组成。模糊规则也称为模糊条件语句，其表达形式如下：
if is ， then is (3.1.8)
其中和分别是论域和上的模糊集合定义的语言值.
在模糊规则中，通常将 “ is ”称为前件或前提，“ is ”称作后件或结论。模糊规则广泛地存在于实际生活中,例如:
◆ 如果你的朋友很多，那么你是个值得信赖的人；
◆ 如果天气暖和，那么少穿些衣服。
在模糊推理过程中，有些模糊规则不仅仅是由两条模糊命题构成，它的前提条件可能由若干条模糊命题组成。一般将这种模糊规则称为多维模糊规则，表达如下：
if is and is and … and is ， then is （3.1.9）
if is or is or … or is ， then is （3.1.10)
现实生活中，由若干条模糊命题组成的模糊规则也较常见。比如：
◆ 如果款式新颖且面料优良且价格便宜，那么是一件好衣服；
◆ 如果跳远超过8 m或跳高超过2.3 m或百米进入10 s，那么是一名优秀的运动员.
§3。2 模糊推理
推理是根据一定的规则，从一个或几个已知判断引伸出一个新判断的思维过程。—般说来，推理都包含两个部分的判断,一部分是已知的判断,作为推理的出发点，叫做前提(或前件).由前提所推出的新判断，叫做结论(或后件).
3。2。1 推理的基本形式
人类在认识世界的过程中不断地在使用推理，推理的形式主要有直接推理和间接推理.只有一个前提的推理称为直接推理,由两个或两个以上前提的推理称为间接推理。间接推理又可分为演绎推理、归纳推理和类比推理等，其中演绎推理是生活中最常用的推理方法，它的前提与结论之间存在着确定的蕴涵关系.
演绎推理中最常用的形式是假言推理，假言推理又可分为肯定式（或称取式）推理和否定式（或称拒取式）推理两类.其一般形式为
肯定式(取式)：
大前提(规则）： 若是 则是
小前提（事实)： 是

结论： 是

否定式(拒取式）：
大前提(规则）： 若是 则是
小前提(事实）: 不是

结论： 不是

以上基于经典逻辑的推理形式又称为“三段论”推理模式。可以看出经典逻辑的“三段论”推理非常严谨，但这种严谨又限制了 “三段论"的使用。因为现实生活中获得的信息，大前提：若是则是之下,若小前提不是，而是与相近的偏离值,“三段论"推理方法则无法给出一个合理的结论.因为涉及到近似推理问题,所以需要采用新的推理方法.
3。2.2 模糊推理
模糊推理又称模糊逻辑推理，是指在确定的模糊规则下，由已知的模糊命题推出新的模糊命题作为结论的过程。模糊推理是一种近似推理，主要有以下两种形式:
(1） 已知模糊蕴涵关系“若是， 则是”，其中是上的模糊集，是上的模糊集，模糊蕴涵关系往往是大量的实验观测和经验的概括。在模糊推理过程中，认为该蕴涵关系提供的信息是可靠的,它是近似推理的出发点，相当于“三段论”的大前提。又知上的一个模糊集,它可能与相近，也可能与相去甚远，那么从模糊蕴涵关系能推断出什么结论？
（2） 已知模糊蕴涵关系“若是, 则是”，其中是上的模糊集，是上的模糊集，又知上的模糊集，那么从模糊蕴涵关系能推断出什么结论？
对应于以上两种近似推理形式,现在给出模糊推理的具体运算过程。

定义3。1。1　模糊推理
设和分别是论域和上的模糊集合，和之间的模糊关系用表示。若已知论域上的模糊集合,则模糊推理过程为
大前提（规则）： 若是 则是
小前提(事实）： 是

结论： 是
另一种情况是:设和分别是论域和上的模糊集合，和之间的模糊关系为.现在知道论域上的模糊集合，则模糊推理过程为
大前提(规则）： 若是 则是
小前提(事实)： 　　　　　　是

结论: 是
3。2。3 几种典型的模糊推理方法
根据模糊推理的定义可知，模糊推理的结论主要取决于模糊蕴含关系及模糊关系与模糊集合之间的合成运算法则。对于确定的模糊推理系统,模糊蕴含关系一般是确定的，而合成运算法则并不唯一.根据合成运算法则的不同，模糊推理方法又可分为Mamdani推理法、Larsen推理法、Zadeh推理法等等。
一、Mamdani模糊推理法
Mamdani模糊推理法是最常用的一种推理方法，其模糊蕴涵关系定义简单，可以通过模糊集合和的笛卡尔积（取小)求得，即
(3.2.1)
例3.2。1　已知模糊集合，。求模糊集合和之间的模糊蕴含关系。
解:根据Mamdani模糊蕴含关系的定义可知：

Mamdani将经典的极大—极小合成运算方法作为模糊关系与模糊集合的合成运算法则.在此定义下,Mamdani模糊推理过程易于进行图形解释。下面通过几种具体情况来分析Mamdani模糊推理过程。
(i) 具有单个前件的单一规则
设和论域上的模糊集合，是论域上的模糊集合,和间的模糊关系是，有
大前提(规则)： if is then is
小前提（事实)： is

结论： is
当时，有
(3.2.2)
其中，称为和的适配度。
在给定模糊集合、及的情况下，Mamdani模糊推理的结果如图3.2。1所示.

图3.2.1 单前提单规则的推理过程
根据Mamdani推理方法可知，欲求,应先求出适配度（即的最大值）;然后用适配度去切割的MF,即可获得推论结果,如图3。2.1中后件部分的阴影区域。所以这种方法经常又形象地称为削顶法。
对于单前件单规则(即若是则是）的模糊推理，当给定事实是精确量时，基于Mamdani推理方法的模糊推理过程见图3.2。2。

图3。2.2 事实为精确量时的单前提单规则推理过程
例3.2。2 设和分别是论域和上的模糊集合，其中论域（水的温度） = ｛ 0, 20, 40, 60, 80, 100 ｝，(蒸汽压力） = ｛ 1, 2， 3， 4, 5， 6， 7 }，＝温度高，＝压力大。模糊规则“若则",在此模糊规则下，试求在＝温度较高时对应的压力情况。

解:首先确定各模糊集合的隶属度为##带有主观性的确定

求对的适配度

用适配度去切割的隶属函数，即可获得

推理结果是“＝压力较大”，这与我们平常的推理结果是一致的。
（ii） 具有多个前件的单一规则
设、、、和、分别是论域、和上的模糊集合，已知、和间的模糊关系为。根据此模糊关系和论域、上的模糊集合、,推出论域上新的模糊集合.即
大前提（规则）： if is and is ,then is
小前提(事实)： is and is
后件（结论)： is
根据Mamdani模糊关系的定义，有
笛卡尔积 取小 (3。2。3）
此时
(3。2。4）
其中是隶属函数的最大值，表示对的适配度;
是隶属函数的最大值，表示对的匹配度；
由于模糊规则的前件部分由连词“与”连接而成，因此称为模糊规则的激励强度或满足度,它表示规则的前件部分被满足的程度。图3。2。3给出了多个前件的单一规则的Mamdani模糊推理过程，其中推理结果的MF是模糊集合的MF被激励强度（） 截切后的结果.这个结论可以直接推广到具有多于两个前件的情况。

图3。2.3 多前提单规则的Mamdani模糊推理过程
对于两前件单规则（即若是和是，那么是）的模糊推理，当给定事实为精确量时（即是，是）,Mamdani模糊推理过程见图3。2.4。

图3.2.4 给定事实为精确量时Mamdani推理过程
例3.2.3 已知、、、和、分别是给定论域、和上的模糊集合，若且，则.现在知道及，求模糊集合。
解法一：由于，故先求

然后将写成列向量的形式，并以表示，即

于是可以求得：

由于，令，有

将写成行向量，并以表示,即

于是可以求得

即
解法二:首先与、与的适配度，即

然后求激励强度，即

最后用激励强度去切割的隶属函数，即可获得

(iii） 具有多个前件多条规则的模糊推理
设、、、、、和、、分别是论域、和上的模糊集合, 是、和间的模糊蕴含关系,是、和间的模糊蕴含关系。已知论域、上的模糊集合、，推出论域上新的模糊集合.即
大前提1 （规则1）： if is and is ，then is
大前提2 （规则2)： if is and is ，then is
小前提 （事实)： is and is
后件（结论)： is
对于多个前件多条规则的模糊推理问题，通常将多条规则处理为相应于每条模糊规则的模糊关系的并集。上述的模糊推理问题可以表示为
（3。2.5）
其中:;
;
和分别是在规则1和规则2下所得到的模糊集合。
对于两个前件两条规则(即是和是，则是；是和是,则是）的模糊推理问题,当已知事实为模糊集合时（即是和是），模糊推理过程见图3。2。5。

图3。2。5 两前题两规则的Mamdani模糊推理过程
综上所述，多个前件多条规则的模糊推理过程可以分为四步:
⑴ 计算适配度 把事实与模糊规则的前件进行比较，求出事实对每个前件MF的适配度.
⑵ 求激励强度 用模糊与、或算子，把规则中各前件MF的适配度合并，求得激励强度。
⑶ 求有效的后件MF。用激励强度去切割相应规则的后件MF，获得有效的后件MF。
⑷ 计算总输出MF.将所有的有效后件MF进行综合，求得总输出MF。
二、Larsen模糊推理法
Larsen推理方法又称为乘积推理法，是另一种应用较为广泛的模糊推方法.Larsen推理方法与Mamdani方法的推理过程非常相似，不同的是在激励强度的求取与推理合成时用乘积运算取代了取小运算.
（i） 具有单个前件的单一规则
设和论域上的模糊集合，是论域上的模糊集合，和间的模糊关系确定，求在关系下的,即
大前提（规则)： if is then is
小前提(事实)： is

结论： is
与Mamdani推理方法一样，首先求适配度：
　　　 (3。2.6)
然后用适配度与模糊规则的后件作乘积合成运算，即可得
　　　　 (3.2。7）
在给定模糊集合、及的情况下，Larsen模糊推理的结果如图3.2。6所示。

图3。2。6 单前提单规则的推理过程
（ii） 具有多个前件的单一规则
设、、、和、分别是论域、和上的模糊集合，已知、和间的模糊关系确定。根据此模糊关系和论域、上的模糊集合、，推出论域上新的模糊集合。即

大前提（规则）: if is and is ，then is
小前提(事实）： is and is
后件（结论）： is
首先求适配度和：
　　　 (3.2。8)
然后求激励强度：
　　　　　　 　 （3.2。9）
最后用激励度与模糊规则的后件作乘积合成运算,即
　 　　　　 (3。2。10）
图3.2。7给出了两个前件的单一规则的Larsen模糊推理过程，其中推理结果的MF是模糊集合的MF与激励强度（) 合成的结果。这种合成方法可以直接推广到具有多于两个前件的情况.

图3。2.7 多前提单规则的Larsen模糊推理过程
（iii) 具有多个前件多条规则的模糊推理
设、、、、、和、、分别是论域、和上的模糊集合, 、和间的模糊关系及、和间的模糊关系都已知。现在根据论域、上的模糊集合、，推出论域上新的模糊集合.即
大前提1 (规则1)： if is and is ，then is
大前提2 (规则2）: if is and is ，then is
小前提 （事实): is and is
后件（结论)： is
首先求出规则1的适配度和：
　　　 （3.2.11）
同样求出规则2的适配度和：
　　　 （3.2.12）
然后分别求出两条规则的激励强度和：
　　　　　　 （3.2.13)
最后用激励度与相应的模糊规则的后件作乘积合成运算，分别求出每规则所得的结论,并且做取大运算获得最终的结论，即
　 　 (3.2。14)
图3。2。8给出的是两前件两规则的Larsen模糊推理过程，当这种推理过程可以推广到任意个前件任意多条规则的情况。

图3.2.8 两前件两规则的Larsen模糊推理过程
三、Zadeh模糊推理法
通过前面分析可知，模糊推理的结果主要取决于模糊关系及合成运算法则。与Mamdani推理法相比,Zadeh推理法也是采用取小合成运算法则，但是其模糊关系的定义不同。下面具体给出Zadeh的模糊关系定义。
设是上的模糊集合，是上的模糊集合，二者间的模糊蕴涵关系用表示。Zadeh把定义为
　 （3。2.15）
如果已知模糊集合和的模糊关系为，又知论域上的另一个模糊集合，那么Zadeh模糊推理法得到的结果为：
（3.2。16)
其中“”表示合成运算,即是模糊关系的Sup—运算。
（3.2.17)
式中“Sup”表示对后面算式结果取上界.若为有限论域时，Sup就是取大运算V。
Zadeh模糊推理法提出比较早,其模糊关系的定义比较繁琐，导致合成运算比较复杂，而且实际意义的表达也不直观，因此目前很少采用。

四、Takagi－Sugeno模糊推理法
日本高木（Takagi）和杉野（Sugeno）于1985年提出了Takagi－Sugeno模糊推理法，简称为T-S模糊推理法。这种推理方法便于建立动态系统的模糊模型，因此在模糊控制中得到广泛应用。T—S模糊推理过程中典型的模糊规则形式为：
如果是 and 是,则
其中和是前件中的模糊集合,而是后件中的精确函数.
通常是输入变量和的多项式,可以是任意函数。当是一阶多项式时，模糊推理系统被称为一阶T—S模糊模型；当是常数时,所得到的模糊推理系统被称为零阶T—S模糊模型.零阶T—S模糊模型可以看作是Mamdani模糊推理系统的特例,其中每条规则的后件由一个模糊单点表示(或是一个预先去模糊化的后件）。
对于多前提的模糊推理问题，每个前提都会有一个适配度，T-S模糊推理过程中激励强度的求取可以采用取小运算，也可以采用乘积运算.对于形如“若 is and is ，then ”的模糊规则，其激励强度为
　 （3。2。18）
或 　 （3。2。19）
对于多规则的模糊推理问题，每一个规则都可以产生一个推理结果。最终的结论往往是通过对每一个推理结果进行加权平均得到。对于两规则的模糊推理，如：
IF is and is ，then
IF is and is ，then
若已知“ is and is ”,那么T—S模糊推理的结论为
　 （3.2.20）
实际上，为了进一步减少计算量，有时可以用加权和算子直接代替加权平均算子，即
　 (3.2。21)
图3.2。9给出的是一个两前提两规则的一阶T—S模糊模型的模糊推理过程。当然，T-S模糊推理方法也可以推广到多前件多规则的情况.

图3.2.9 两前件两规则的T-S模糊推理过程
与Mamdani模糊推理方法不同,T—S模糊模型在其推理机制中不严格遵循推理复合规则.当T—S模糊模型的输入是模糊的时，会造成一定困难。对于T—S模糊推理方法，通过加权平均或加权和所获得的整体输出通常是精确的，这与常规的模糊推理方法有所不同，因为常规的模糊推理系统往往是以适当的方式把模糊性从输入传播到输出。由于T—S模糊推理得到的结果是精确的，所以T—S模糊推理过程不需要进行耗时的、数学上不易分析的去模糊化运算。正是如此，T-S模糊推理是目前基于样本的模糊建模中最常选用的方法。
22