(新课标-全国卷)2013年高考数学考前立体几何样题(理、文)(含解析).doc

2013年高考新课标全国卷数学（理、文）立体几何样题
适用地区：河南、山西、新疆、宁夏、吉林、黑龙江、内蒙古、河北、云南、青海、西藏、甘肃、贵州.
一、选择题:
1. （2012年高考新课标全国卷文科7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

2. （2012年高考新课标全国卷文科8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
（A）π （B）4π （C）4π （D）6π
【答案】B
【解析】球半径，所以球的体积为，选B.
3.(2012年高考全国卷文科8)已知正四棱柱中 ，，，为的中点，则直线与平面的距离为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,,,所以利用等积法得，选D.
评析：A到面的距离转化为A关于O点的对称点C到面的距离，注意这种技巧。
改编题：设AO中点为K，求K到平面的距离，思路求K到平面的距离是A到面的距离的一半，A到面的距离转为C到面的距离。
4.(2012年高考天津卷文科10)一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积 .

【答案】
【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为，五棱柱的体积是，所以几何体的总体积为。
5.(2012年高考全国卷文科16)已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为____________.
【答案】
【解析】如图连接，则,所以与所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则，在三角形中.
6.（2012年高考新课标全国卷文科19）（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点
(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

C
B
A
D
C1
A1

7. （2011年高考新课标全国卷文科18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为平行四边形。 底面 。
（I）证明：
（II）设，求棱锥的高。

解：（Ⅰ ）因为, 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD
所以BD平面PAD. 故PABD
（Ⅱ）过D作DE⊥PB于E，由（I）知BC⊥BD,又PD⊥底面，所以BC⊥平面PBD，而DE平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC
由题设知PD=1，则BD=,PB=2，
由DE﹒PB=PD﹒BD得DE=,即棱锥的高为
评注：用到等面积变形，也可等体积变形求解。
8． （2010年高考新课标全国卷文科18）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面 平面;
（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。
18)解：
(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。
所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H.
所以AC平面PBD.
故平面PAC平面PBD. ……..6分
(2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=.
所以HA=HB=.
因为APB=ADB=600
所以PA=PB=,HD=HC=1.
可得PH=.
等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. ……..9分
所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= ……..12分
9.（2009年海南、宁夏18）（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º
（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若，且平面⊥平面，
求三棱锥体积。
（18）解：
（Ⅰ）因为是等边三角形，,
所以,可得。
如图，取中点，连结,,
则,,
所以平面,
所以。 ．．．．．．6分
（Ⅱ）作，垂足为，连结．
因为，
所以，．
由已知，平面平面，故．　　　　　　　　．．．．．．8分
因为，所以都是等腰直角三角形。
由已知，得， 的面积．
因为平面，
所以三角锥的体积
．．．．．．．12分
评注：高考新课标全国卷09是较难的一年，10-11-12难度逐步降低的趋势；本题是一道一个椎体折分为两个椎体的一个范例。
10.（2012年高考辽宁卷文科18）(本小题满分12分)
如图，直三棱柱，，
AA′=1，点分别为和的中点。
(Ⅰ)证明：∥平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积。
（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）
【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。
【解析】（1）（法一）连结，由已知
三棱柱为直三棱柱，
所以为中点.又因为为中点
所以，又平面
平面，因此 ……6分
（法二）取的中点为P，连结MP，NP，
∵分别为和的中点，
∴MP∥,NP∥,
∴MP∥面,NP∥面,
∵, ∴面MPN∥面，
∵MN面， ∴MN∥面.
(Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意⊥,面∩面=,
∴⊥⊥面NBC， ∵==1,
∴.
评注：一个椎体转化一个大椎体的一半，注意这种技巧。
(解法2)

评注：一个椎体的体积转为总体积减去几个椎体的体积，达到间接求出的目的。
【点评】第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。

11. (2012年高考陕西卷文科18)（本小题满分12分）直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，=

（Ⅰ）证明;
（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥 的体积

12. (2012年高考江西卷文科19)（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.

（1） 求证：平面DEG⊥平面CFG；
（2） 求多面体CDEFG的体积。
【解析】

13.（ 2013届高三第三次大庆）20．（本小题满分12分）
已知三棱锥中，AP⊥PC，AC⊥BC，为的中点，为的中点，且△为正三角形．
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）若，，求点到平面的距离。

20．（Ⅰ）证明：证明：如图4，∵△PMB为正三角形，
且D为PB的中点，∴MD⊥P B．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD//AP，∴AP⊥P B．
又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，，
∴BC⊥平面APC
（Ⅱ）解：记点B到平面MDC的距离为h，则有．
∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，，，∴．
又，．
在中，，又，，
，
即点B到平面MDC的距离为。
14.（本小题满分12分）
如图，已知AB平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，
，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；
（Ⅱ）设AB＝1，求多面体ABCDE的体积．
19．（本小题满分12分）
P
解：（Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP＝．
又AB//DE，且AB＝ ∴AB//FP，且AB＝FP，
∴ABPF为平行四边形，
∴AF//BP． ……………4分
又∵AF 平面BCE，BP 平面BCE，
∴AF//平面BCE． ……………6分
（II）∵直角梯形ABED的面积为，
C到平面ABDE的距离为，
∴四棱锥C－ABDE的体积为．即多面体ABCDE的体积为
15．（本题满分12分）
在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，BA⊥CA，且AB=AC=AA1=2， D、E、F分别为AB1，CC1，BC中点．
（l）求证：DE∥平面ABC；
（2）求三棱锥B1－AEF的体积

16.（山西忻州市2013届高三上学期期末）18. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,平面平面,
∥是正三角形,已知

(1) 设是上的一点,求证:平面平面;
(2) 求四棱锥的体积.

17.（201 3河北唐山19）．（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C。
（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（II）若AB=2，求三棱柱ABC—A1B1C1体积。

（19）解：
（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．
又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，
又ABÌ平面AA1B1B，所以平面AA1B1B⊥BB1C1C． …4分
B
C
B1
O
C1
A1
A

（Ⅱ）由题意，CB＝CB1，设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO＝BC＝AB＝．
连结AB1，则VC-ABB1＝S△ABB1·CO＝AB2·CO＝． …8分
因VB1-ABC＝VC-ABB1＝VABC-A1B1C1＝，
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1＝2． …12分