河南省郑州市2013届高三数学第三次月考试题-理-新人教A版.doc

河南省郑大附属中学2013届高三第三次月考
数学理试题
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 ( )
A． 0 B. 6 C. 12 D. 18
2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 (  )
A．   B．  C．  D．
3.定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ）
A． 　B． C． D．
4.由曲线，直线所围成的平面图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．

6．若函数在区间上单调递减，则取值范围是 ( )
A． B． C． D．
7．下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，]内，则输入的实数x的取值范围是 (　　)
A．(－∞，0)∪[，]
B．(－∞，－1]∪[，]
C．(－∞，－1]
D．[，]

8．已知函数，是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的大致图象为 （ ）

9.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立， 若,,，则的大小关系是 (    )
A.   B.   C.     D.
10.已知曲线C:点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使其不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
11. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点 的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是 ( )
A． B．和 C． D．
12. 已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和,则＝ ( )
A．45 B．55 C． D．
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝ .

14.设偶函数的部分图象如图所示△KLM为等腰直角三角形，,KL=1，则的值为 .

15．已知函数的对称中心为M，记函数的导函数为， 的导函数为，则有.若函数，
则可求得： .
16.设，其中.若对一切

第18题图
恒成立，则以下结论正确的是 .（写出所有正确结论的编号）．
① ；②；
③ 既不是奇函数也不是偶函数；
④ 的单调递增区间是；
⑤ 经过点的所有直线均与函数的图象相交．
三．解答题(本大题共6小题，共70分，请给出各题详细的解答过程)
17．（本小题12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若角，边上的中线的长为，求
18. （本题12分）已知在四棱锥中，侧面底面，为中点，，，，.
（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值。
19．（本小题满分12分）
2012年新乡市在创建“全国文明卫生城市” 验收中，为增强市民文明环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；

20．（本小题满分12分）
已知椭圆：（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线：与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，
求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，求证：．
请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（Ⅰ）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（Ⅱ）若AE=6，BE=8，求EF的长．
A
B
C
O
E
F
D

23. （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的定义域；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．

河师大附中2013年11月高三数学考试答案（理）
一．选择题
DABCA CBDCD BA
二．填空题
13. 14. 15.-8046 16.①③⑤
三．解答题
17.解：（Ⅰ）∵，∴．
即．
∴．…………………….2分
则，∴，因为则．………….4分[
（Ⅱ）由（1）知，所以，，
在中由余弦定理得
即 解得 ……….8分
故
…12分
18. （Ⅰ）证明：，为中点 侧面底面，侧面，侧面底面 底面 底面 在中，
在中，
在直角梯形中，
即是以为直角的直角三角形，当然有
是平面内的两条相交直线
平面……………6分
（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系，则，，

假设平面的一个法向量为，平面的法向量为则
由可得，取，得，，即，
由可得，取，得，，
即
故二面角的余弦值为.……………12分

第18题图

[

第18题图
解法二：过点作于点，过点作于点，连接。则由于平面，平面，所以平面平面，平面，平面平面，∴平面， ∴，，，∴平面，
∴，即是二面角的平面角。
在中，，
在中，，
所以，
所以
故二面角的余弦值为。……………12分
19．解：（Ⅰ）①处填20，②处填0.35；补全频率分布直方图如图所示．

根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175．（4分）
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人．
由题意知，X的可能取值为0，1，2，且

∴X的分布列为：
X
0
1
2
P

∴E(X)＝0×．…………………………………12分
20.解：（Ⅰ）由题意，可得 ， 即,………1分
又，即所以，，，
所以，椭圆的方程为. ………4分
（Ⅱ）由 消去得. ……5分
设，，有，. ① ……6分
因为以为直径的圆过椭圆右顶点，所以 . …7分
由 ，,得 .……8分
将代入上式，
得 , ………………………10分
将 ① 代入上式，解得 ，或………………………………12分
21.解：（1），
当时，在上恒成立，
函数 在单调递减，∴在上没有极值点；
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点． …………4分
（2）∵函数在处取得极值，∴， …………5分
∴，
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即． …………8分
（3）证明：，
令，则只要证明在上单调递增，………9分
又∵，
显然函数在上单调递增．
∴，即，
∴在上单调递增，即，
∴当时，有． ………………12分
22.（Ⅰ）BE平分∠ABC.∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD. ∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC.
A
B
C
O
E
F
D
（Ⅱ由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△BEA.∴，
∵AE=6， BE=8.∴EF=；

23.（Ⅰ）由题设知：，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
，或，或
解得函数的定义域为；……………………．5分
（Ⅱ）不等式即，
时，恒有，
不等式解集是R，
的取值范围是…………………………………．10分

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