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参数方程典型例题分析
例1 在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ）．
（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）
分析 由已知得可否定（A）又，分别将，，
1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．
例2 直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为，
，点P 分所成的比为，那么点P 对应的参数是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
分析 将，分别代入参数方程，
得A 点的横坐标致为，B 点的横坐标为，
由定比分点坐标公式得P 的横坐标为
，
可知点P所对应的参数是故应选（C）．
例3 化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．
（1） （为参数，）
（2） （为参数）；
（3） （为参数），
解：（1）∵
∴ ，
∴或
故普通方程为（或），方程的曲线如图．
（2）将代入得
∵普通方程为（），方程的曲线如图．
（3）两式相除得代入得
整理得
∵
∴ 普通方程为（），方程的曲线如图．
点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价．
例4 已知参数方程
① 若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？
② 若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？
解：①当时，由（1）得，由（2）得，
∴，它表示中心在原点，
长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆．
当时，，，
它表示在轴上的一段线段．
②当（）时，由（1）得，
由（2）得．平方相减得，
即
它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为，
焦点在轴上的双曲线．
当（）时，，它表示轴；
当（）时，，
∵（时）或（时）
∴ ，∴ 方程为（），
它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．
点评 本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．
例5 直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（ ）．
（A）或 （B）或 （C）或 （D）或
分析 将参数方程化为普通方程，直线为（），
当时不合题意．
因为，它们相切的充要条件是，
解得 ，又，
∴ 或，故选（A）．
例6 求椭圆上的点到直线的最大、最小距离．
解 将椭圆普通方程化为参数方程（），
则椭圆任意一点的坐标可设为（，），
于是点到直线的距离
∴，此时；，此时
点评 利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．
例7 已知点P是圆C：上一动点，点P关于点A（5，0）的对称点为Q，半径CP绕圆心C按逆时针方向旋转后得到点M，求的最大值和最小值．
解 如图，设点（，），
则点M为（，），
即M（，）．
又点A（5，0）为Q的中点，则点Q为（，），
且
所以时，取得最大值
时，取得最小值
点评 此题根据圆的参数方程是利用转角作参数，由点坐标求点M坐标，再把与坐标，相关的的最值转化成的最值来求解．
例8 直线与椭圆交于A，B 两点，当变化时，求线段AB 中点M 的轨迹．
解 设AB中点M（，），
直线的方程为 （，为参数）
代入椭圆方程有中可得
设A，B对应的参数值分别为，，则有，
又，
∴ ，又，
故，即．
所以M点的轨迹是直线在椭圆内部的一条线段．
例9 已知线段，直线垂直平分交于点O，并且在上O点的同侧取两点P，，使，求直线BP与直线的交点M的轨迹．
解 如图，以O为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
依题意，可知B（0，2），（0，－2），
又可设P（，0），（，0），其中为参数，可取任意非零的实数．
直线BP的方程为
直线的方程为
两直线方程化简为
解得直线BP与的交点坐标为：（为参数）．
消去参数得（）
∴ 所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆除去B，点．
点评 用参数法求解轨迹问题时，首先要建立适当的坐标系，然后选择参数，表示出有关点的坐标，求出动点轨迹的参数方程，必要时还要化成普通方程，根据方程确定轨迹的形状，大小等特征．
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