极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解.pdf

极坐标和参数方程知识点极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解典型例题及其详解知识点回顾知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，即)()(tfytfx并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数（二）常见曲线的参数方程如下：（二）常见曲线的参数方程如下：1过定点（x0，y0），倾角为 的直线：（t 为参数）sincos00tyytxx其中参数 t 是以定点 P（x0，y0）为起点，对应于 t 点 M（x，y）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离根据 t 的几何意义，有以下结论设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA和 tB，则1ABABtt BAABtttt4)(2线段 AB 的中点所对应的参数值等于22BAtt 2中心在（x0，y0），半径等于 r 的圆：（为参数）sincos00ryyrxx3中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：（为参数）（或）sincosbyaxsincosaybx中心在点（x0,y0）焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）(.sin,cos00byyaxx4中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：（为参数）（或）tgsecbyaxecaybxstg5顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：（t 为参数，p0）ptyptx222直线的参数方程和参数的几何意义过定点 P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是（t 为参数）sincos00tyytxx（三）极坐标系（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O，叫做极点，引一条射线 Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点 M，用 表示线段 OM 的长度，表示从 Ox 到 OM 的角，叫做点 M 的极径，叫做点 M 的极角，有序数对(,)就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点 P(，)，但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,)或k2（，），(Z)极点的极径为 0，而极角任意取若对、的取值)12(kk范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0或20，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：0cosacosaxMO1 sinasina)cos(a 4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：)0(a acos2acos2a sin2asin2a)cos(2 a00 xOM图1（，）cosaaOM图2cosaaOM图3sinaOM图4asinaOM图5a),(a)cos(aOMpN图6（，）a5、极坐标与直角坐标互化公式：基础训练基础训练 A A 组组 一、选择题一、选择题1若直线的参数方程为若直线的参数方程为，则直线的斜率为（，则直线的斜率为（）12()23xttyt 为参数cos2aaxOM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2 aaxOM图6cosxsiny222 yx)0(tanxxyyyxOMHN(,)（直极互化 图）A B C D232332322下列在曲线下列在曲线上的点是（上的点是（）sin2()cossinxy为参数A B C D 1(,2)23 1(,)4 2(2,3)(1,3)3将参数方程将参数方程化为普通方程为（化为普通方程为（）222sin()sinxy 为参数A B C D2yx2yx2(23)yxx 2(01)yxy4化极坐标方程化极坐标方程为直角坐标方程为（为直角坐标方程为（）2cos0A B C D 201yy2x或1x 201y2x或x1y 5点点的直角坐标是的直角坐标是，则点，则点的极坐标为（的极坐标为（）M(1,3)MA B C D(2,)3(2,)32(2,)3(2,2),()3kkZ6极坐标方程极坐标方程表示的曲线为（表示的曲线为（）cos2sin2A一条射线和一个圆一条射线和一个圆 B两条直线两条直线 C一条直线和一个圆一条直线和一个圆 D一个圆一个圆二、填空题二、填空题1直线直线的斜率为的斜率为_。34()45xttyt为参数2参数方程参数方程的普通方程为的普通方程为_。()2()ttttxeetyee 为参数3已知直线已知直线与直线与直线相交于点相交于点，又点，又点，11 3:()24xtltyt 为参数2:245lxyB(1,2)A则则_。AB 4直线直线被圆被圆截得的弦长为截得的弦长为_。122()112xttyt 为参数224xy5直线直线的极坐标方程为的极坐标方程为_。cossin0 xy三、解答题三、解答题1已知点已知点是圆是圆上的动点，上的动点，(,)P x y222xyy（1）求）求的取值范围；的取值范围；2xy（2）若）若恒成立，求实数恒成立，求实数的取值范围。的取值范围。0 xyaa2 2求直线求直线和直线和直线的交点的交点的坐标，及点的坐标，及点11:()53xtltyt 为参数2:2 30lxyPP与与的距离。的距离。(1,5)Q3在椭圆在椭圆上找一点，使这一点到直线上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。的距离的最小值。2211612xy2120 xy一、选择题一、选择题1直线直线 的参数方程为的参数方程为，上的点上的点对应的参数是对应的参数是，则点，则点与与l()xattybt为参数l1P1t1P之间的距离是（之间的距离是（）(,)P a bA B C D 1t12 t12 t122t2参数方程为参数方程为表示的曲线是（表示的曲线是（）1()2xttty 为参数A一条直线一条直线 B两条直线两条直线 C一条射线一条射线 D两条射线两条射线3直线直线和圆和圆交于交于两点，则两点，则的中点坐标的中点坐标112()33 32xttyt 为参数2216xy,A BAB为（为（）A B C D(3,3)(3,3)(3,3)(3,3)4圆圆的圆心坐标是（的圆心坐标是（）5cos5 3sinA B C D 4(5,)3(5,)3(5,)35(5,)35与参数方程为与参数方程为等价的普通方程为（等价的普通方程为（）()2 1xttyt为参数A B 214y2x21(01)4yx2xC D 21(02)4yy2x21(01,02)4yxy2x6直线直线被圆被圆所截得的弦长为（所截得的弦长为（）2()1xttyt 为参数22(3)(1)25xyA B C D 98140482934 3二、填空题二、填空题1曲线的参数方程是曲线的参数方程是，则它的普通方程为，则它的普通方程为211()1xttyt 为参数,t0_。2直线直线过定点过定点_。3()14xattyt 为参数3点点是椭圆是椭圆上的一个动点，则上的一个动点，则的最大值为的最大值为_。P(x,y)222312xy2xy4曲线的极坐标方程为曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为_。1tancos5设设则圆则圆的参数方程为的参数方程为_。()ytx t为参数2240 xyy三、解答题三、解答题1 1参数方程参数方程表示什么曲线？表示什么曲线？cos(sincos)()sin(sincos)xy为参数2点点在椭圆在椭圆上，求点上，求点到直线到直线的最大距离和最小距离。的最大距离和最小距离。P221169xyP3424xy3 3已知直线已知直线 经过点经过点,倾斜角倾斜角，l(1,1)P6（1 1）写出直线）写出直线 的参数方程。的参数方程。l（2 2）设）设 与圆与圆相交与两点相交与两点，求点，求点到到两点的距离之积。两点的距离之积。l422 yx,A BP,A B一、选择题一、选择题1把方程把方程化为以化为以 参数的参数方程是（参数的参数方程是（）1xy tA B C D 1212xtytsin1sinxtytcos1cosxtyttan1tanxtyt2曲线曲线与坐标轴的交点是（与坐标轴的交点是（）25()1 2xttyt 为参数A B C D 21(0,)(,0)52、11(0,)(,0)52、(0,4)(8,0)、5(0,)(8,0)9、3直线直线被圆被圆截得的弦长为（截得的弦长为（）12()2xttyt 为参数229xyA B C D 125125595591054若点若点在以点在以点为焦点的抛物线为焦点的抛物线上，则上，则等于（等于（）(3,)PmF24()4xttyt 为参数PFA B C D 23455极坐标方程极坐标方程表示的曲线为（表示的曲线为（）cos20A极点极点 B极轴极轴 C一条直线一条直线 D两条相交直线两条相交直线6在极坐标系中与圆在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（相切的一条直线的方程为（）4sinA B C Dcos2sin24sin()3 4sin()3二、填空题二、填空题1已知曲线已知曲线上的两点上的两点对应的参数分别为对应的参数分别为，22()2xpttpypt 为参数,为正常数,M N12,tt和，那么，那么=_。120tt且MN2直线直线上与点上与点的距离等于的距离等于的点的坐标是的点的坐标是_。22()32xttyt 为参数(2,3)A 23圆的参数方程为圆的参数方程为，则此圆的半径为，则此圆的半径为_。3sin4cos()4sin3cosxy为参数4极坐标方程分别为极坐标方程分别为与与的两个圆的圆心距为的两个圆的圆心距为_。cossin5直线直线与圆与圆相切，则相切，则_。cossinxtyt42cos2sinxy三、解答题三、解答题1 1分别在下列两种情况下，把参数方程分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：化为普通方程：1()cos21()sin2ttttxeeyee（1）为参数，为参数，为常数；（为常数；（2）为参数，为参数，为常数；为常数；tt2过点过点作倾斜角为作倾斜角为的直线与曲线的直线与曲线交于点交于点，10(,0)2P22121xy,M N求求的值及相应的的值及相应的的值。的值。PMPN新课程高中数学训练题组参考答案新课程高中数学训练题组参考答案数学选修数学选修 4-44-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 基础训练基础训练 A A 组组 一、选择题一、选择题 1D 233122ytkxt 2B 转化为普通方程：转化为普通方程：，当，当时，时，21yx 34x 12y 3C 转化为普通方程：转化为普通方程：，但是，但是2yx2,3,0,1xy4C22(cos1)0,0,cos1xyx 或5C 都是极坐标都是极坐标2(2,2),()3kkZ6C 2cos4sincos,cos0,4sin,4 sin或即 则则或或,2k224xyy二、填空题二、填空题1 54455344ytkxt 2 221,(2)416xyx22()()422222ttttttyxexeeyyxxyyeexe3 将将代入代入得得，则，则，而，而，得，得521 324xtyt 245xy12t 5(,0)2B(1,2)A52AB 4 直线为直线为，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，弦长的一半为，弦长的一半为1410 xy 1222d，得弦长为，得弦长为222142()22145 ，取，取2coscossinsin0,cos()02三、解答题三、解答题1解：（解：（1）设圆的参数方程为）设圆的参数方程为，cos1 sinxy 22cossin15sin()1xy 51251xy （2）cossin10 xyaa (cossin)12sin()1421aa 2解：将解：将代入代入得得，153xtyt 2 30 xy2 3t 得得，而，而，得，得(12 3,1)P(1,5)Q22(2 3)64 3PQ 3解：设椭圆的参数方程为解：设椭圆的参数方程为，4cos2 3sinxy4cos4 3sin125d 4 54 5cos3sin32cos()3553 当当时，时，此时所求点为，此时所求点为。cos()13min4 55d(2,3)新课程高中数学训练题组参考答案新课程高中数学训练题组参考答案一、选择题一、选择题 1C 距离为距离为221112ttt2D 表示一条平行于表示一条平行于轴的直线，而轴的直线，而，所以表示两条射线，所以表示两条射线2y x2,2xx 或3D ，得，得，2213(1)(3 3)1622tt 2880tt12128,42tttt 中点为中点为11432333 342xxyy 4A 圆心为圆心为55 3(,)225D 22222,11,1,0,011,0244yyxttxxtty 而得6C ，把直线，把直线代入代入2222212122xtxtytyt 21xtyt 得得22(3)(1)25xy222(5)(2)25,720tttt，弦长为，弦长为212121 2()441ttttt t12282tt二、填空题二、填空题1 而而，2(2)(1)(1)x xyxx111,1xttx21yt 即即221(2)1()(1)1(1)x xyxxx 2 ，对于任何对于任何都成立，则都成立，则(3,1)143yxa(1)4120yaxa3,1xy 且3 椭圆为椭圆为，设，设，2222164xy(6cos,2sin)P26cos4sin22sin()22xy4 即即2xy22221sintan,cossin,cossin,coscos 2xy5 ，当，当时，时，；当；当时，时，；2224141txttyt22()40 xtxtx0 x 0y 0 x 241txt 而而，即，即，得，得ytx2241tyt2224141txttyt三、解答题三、解答题1解：显然解：显然，则，则tanyx222222111,coscos1yyxx 2222112tancossincossin2coscos221tanx即即222222222111,(1)12111yyyyxxxxyyyxxxxx得得，即，即21yyxxx220 xyxy2解：设解：设，则，则(4cos,3sin)P12cos12sin245d即即，12 2cos()2445d当当时，时，；cos()14 max12(22)5d当当时，时，。cos()14min12(22)5d3解：（解：（1）直线的参数方程为）直线的参数方程为，即，即1cos61sin6xtyt 312112xtyt （2）把直线）把直线代入代入312112xtyt 422 yx得得22231(1)(1)4,(31)2022tttt，则点，则点到到两点的距离之积为两点的距离之积为1 22t t P,A B2 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 提高训练提高训练 C C 组组 一、选择题一、选择题 1D ，取非零实数，而取非零实数，而 A，B，C 中的中的的范围有各自的限制的范围有各自的限制1xy xx2B 当当时，时，而，而，即，即，得与，得与轴的交点为轴的交点为；0 x 25t 12yt 15y y1(0,)5 当当时，时，而，而，即，即，得与，得与轴的交点为轴的交点为0y 12t 25xt 12x x1(,0)23B ，把直线，把直线代入代入21512521155xtxtytyt 122xtyt 得得229xy222(12)(2)9,5840tttt，弦长为，弦长为2212121 281612()4()555ttttt t1212555tt4C 抛物线为抛物线为，准线为，准线为，为为到准线到准线的距离，即为的距离，即为24yx1x PF(3,)Pm1x 45D ，为两条相交直线，为两条相交直线cos20,cos20,4k6A 的普通方程为的普通方程为，的普通方程为的普通方程为4sin22(2)4xycos22x 圆圆与直线与直线显然相切显然相切22(2)4xy2x 二、填空题二、填空题1 显然线段显然线段垂直于抛物线的对称轴。即垂直于抛物线的对称轴。即轴，轴，14p tMNx121222MNp ttp t2,或或 (3,4)(1,2)222212(2)(2)(2),22tttt 3 由由得得53sin4cos4sin3cosxy2225xy4 圆心分别为圆心分别为和和221(,0)21(0,)25，或，或 直线为直线为，圆为，圆为，作出图形，相切时，作出图形，相切时，656tanyx22(4)4xy易知倾斜角为易知倾斜角为，或，或 656三、解答题三、解答题1解：（解：（1）当）当时，时，即，即；0t 0,cosyx1,0 xy且 当当时，时，0t cos,sin11()()22ttttxyeeee 而而，即，即221xy2222111()()44ttttxyeeee（2）当）当时，时，即，即；,kkZ0y 1()2ttxee 1,0 xy且当当时，时，即，即；,2kkZ0 x 1()2ttyee 0 x 当当时，得时，得，即，即,2kkZ2cos2sinttttxeeyee222cossin222cossinttxyexye得得222222()()cossincossinttxyxyee即即。22221cossinxy2解：设直线为解：设直线为，代入曲线并整理得，代入曲线并整理得10cos()2sinxttyt为参数223(1 sin)(10cos)02tt则则1 22321 sinPMPNt t所以当所以当时，即时，即，的最小值为的最小值为，此时，此时。2sin12PMPN342