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(完整word版)2017年导数及其应用专题复习
2017年导数及其应用专题复习
知识点复习
1、函数从到的平均变化率：
2、导数定义：在点处的导数记作;．
3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．
4、常见函数的导数公式：
①；②;③；④；
⑤；⑥;⑦；⑧
5、导数运算法则：
；
;
．
6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；
若，则函数在这个区间内单调递减．
7、求解函数单调区间的步骤:
（1）确定函数的定义域；(2）求导数;
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
8、求函数的极值的方法是：解方程．当时：
如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值;
如果在附近的左侧，右侧,那么是极小值．
9、求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域(2)求函数的导数f’（x）
（3)求方程f’(x)=0的根
（4)用方程f’（x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格
（5）由f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符号,来判断f（x）在这个根处取极值的情况
10、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：
求函数在内的极值；
将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值．
复习考点例题讲解
考点一：求导公式。
例1。是的导函数，则的值是.
解析:，所以
答案:3
考点二：导数的几何意义。
例2。已知函数的图象在点处的切线方程是，则。
解析:因为，所以,由切线过点，可得点M的纵坐标为,所以，所以
答案：3
例3。曲线在点处的切线方程是。
解析：,点处切线的斜率为，所以设切线方程为,将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为：
答案：
点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三:导数的几何意义的应用。
例4。已知曲线C：，直线,且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。
解析：直线过原点，则。由点在曲线C上，则， .又， 在处曲线C的切线斜率为， ,整理得：,解得：或(舍),此时，,。所以，直线的方程为，切点坐标是。
答案：直线的方程为,切点坐标是
点评：本小题考查导数几何意义的应用.解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用.函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。
考点四:函数的单调性。
例5.已知在R上是减函数，求的取值范围。
解析：函数的导数为。对于都有时，为减函数。由可得,解得.所以，当时,函数对为减函数。
（1） 当时,.
由函数在R上的单调性，可知当是，函数对为减函数。
（2） 当时，函数在R上存在增区间。所以，当时,函数在R上不是单调递减函数。
综合（1)（2)（3）可知.
答案:
点评：本题考查导数在函数单调性中的应用.对于高次函数单调性问题，要有求导意识。
考点五：函数的极值。
例6.设函数在及时取得极值。
（1)求a、b的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
解析:（1）,因为函数在及取得极值,则有，．即，解得,。
（2）由（Ⅰ）可知，，。
当时，；当时，;当时，。所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的,有恒成立，
所以　，解得　或，因此的取值范围为。
答案:（1）,；（2).
点评:本题考查利用导数求函数的极值.求可导函数的极值步骤：①求导数；
②求的根;③将的根在数轴上标出，得出单调区间,由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。
考点六：函数的最值.
例7。已知为实数,.求导数；（2）若，求在区间上的最大值和最小值。
解析：(1）, 。
（2），。
令，即，解得或,则和在区间上随的变化情况如下表:

＋
0
—
0
＋

0
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
0
，。所以,在区间上的最大值为，最小值为。
答案：（1）；（2）最大值为，最小值为。
点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值，要先求出函数在区间上的极值，然后与和进行比较,从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为.（1）求,,的值;
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值.
解析：（1）∵为奇函数，∴,即
∴，∵的最小值为，∴,又直线的斜率为，因此，，∴,,．
（2）。　，列表如下：

增函数
极大
减函数
极小
增函数
　　　所以函数的单调增区间是和，∵,，，∴在上的最大值是，最小值是。
答案：（1）,,；(2）最大值是，最小值是。
点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力.
导数强化训练
（一） 选择题
1。已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（A）
A．1 B．2 C．3 D．4
2。曲线在点(1，－1）处的切线方程为 (B）
A． B． C． D．
3.函数在处的导数等于(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
4。已知函数的解析式可能为 (A）
A． B．
C． D．
5。函数，已知在时取得极值，则=（D)
(A）2 （B）3 （C）4 (D）5
6。函数是减函数的区间为（D）
（Ａ）（Ｂ)（Ｃ)（Ｄ）
7.若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是(A)
x
y
o
A
x
y
o
D
x
y
o
C
x
y
o
B

8。函数在区间上的最大值是(　A　）
A． B． C． D．
9.函数的极大值为,极小值为,则为(A)
A．0 B．1C．2 D．4
10.三次函数在内是增函数，则（A）
A． B．C． D．
11.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 （D）
A．3 B．2 C．1 D．0
12.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点（　A）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
（二） 填空题
13.曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为__________.
14.已知曲线，则过点“改为在点"的切线方程是______________
15.已知是对函数连续进行n次求导，若，对于任意，都有=0，则n的最少值为。
16。某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨，运费为4万元／次,一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则　　　　吨．
（三） 解答题
17。已知函数，当时，取得极大值7;当时，取得极小值．求这个极小值及的值.
18。已知函数
（1）求的单调减区间；
(2）若在区间[－2，2]。上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
19。设，点P（,0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。
（1）用表示；
（2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围。
20。设函数，已知是奇函数。
（1)求、的值.
（2）求的单调区间与极值。
21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少?
22.已知函数在区间,内各有一个极值点．
（1)求的最大值；
（1） 当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧）,求函数的表达式．
强化训练答案：
1。A2.B3。D4。A5。D6。D7.A8。A9.A10.A11。D12.A
（四） 填空题
13。14.15。716。20
（五） 解答题
17.解:。
据题意，－1，3是方程的两个根，由韦达定理得
∴
∴
∵，∴
极小值
∴极小值为－25，，.
18.解：(1）令,解得
所以函数的单调递减区间为
(2）因为
所以因为在（－1，3）上,所以在［－1，2］上单调递增，又由于在［－2，－1]上单调递减,因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有，解得
故因此
即函数在区间上的最小值为－7。
19。解:（1）因为函数，的图象都过点（，0),所以,
即。因为所以.
又因为,在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得因此故,，
（2)。
当时，函数单调递减.
由，若；若
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则
所以
又当时，函数在（－1，3）上单调递减。
所以的取值范围为
20。解：(1）∵，∴.从而＝是一个奇函数，所以得,由奇函数定义得；
（2)由（Ⅰ）知，从而,由此可知,
和是函数是单调递增区间；
是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
21。解：设长方体的宽为(m），则长为(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令,解得(舍去）或，因此。
当时,;当时,,
故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值。
从而最大体积，此时长方体的长为2m，高为1。5m。
答：当长方体的长为2m时,宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为。
22.解:(1）因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在，内分别有一个实根,
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（2)解法一:由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号,则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得,故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（)．
当时，，当时，;
或当时，，当时，．
设，则
当时，,当时，；
或当时，,当时，．
由知是的一个极值点,则，
所以，又由，得，故．