湖南省洞口县2011届高三第二次联考数学理科试题2011[1].4.doc

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洞口县2011届高三第二次联考数学理科试题
命题：邓立杰 唐宜孝
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列函数在定义域上是增函数的是
A． B． C． D．
2．若复数满足（是虚数单位），则的虚部为
A． B． C． D．
3．已知，若三向量共面，则
　　 A．　 　B． C．　　 　D．
4．已知双曲线的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是
A．（1，3） B． C．（1，2） D．
5．在张卡片上分别写着数字、、、、，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被或整除的概率是
A． B． C． D．

6．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列4个命题中正确的个数为
①若
②若
③若
④若m,n是异面直线，，则
A． B． C． D．

O
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
·
7．如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为
A． B．
C． D．

8．对函数，若存在区间 ,使得,则称区间为函数的一个“稳定区间”，给出下列四个函数：
(1), (2) , (3) , (4) ,
其中存在“稳定区间”的函数有
A．(1) (2) B．(2) (3) C．(3) (4) D．(1) (4)
二、填空题（本大题共8个小题，考生只做7个小题，每小题5分，共35分）

（一）必做题（9~12题）

9．某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查，经过一
段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上
次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为 .

10．如图，是一个程序框图，则输出结果为 .

11．设满足约束条件，则的
取值范围是 .

12．下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现的次数为 .

2
3
4
5
6
7
┅
3
5
7
9
11
13
┅
4
7
10
13
16
19
┅
5
9
13
17
21
25
┅
6
11
16
21
26
31
┅
7
13
19
25
31
37
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅

（二）选做题（13~16题，考生从中选做三题，如果多做，则
按所做的前三题计分）

13．（几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 .

14．（坐标系与参数方程）
若直线（为参数）与直线垂直，则常数 .

15．（不等式证明）
若恒成立，则的取值范围为 .

16．（优选法与正交实验设计）
在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物中需对某种化学药品的加入量进行反复试验，根据经验，试验效果是该化学药品加入量的单峰函数.为确定一个最好的效果，拟用分数法从33个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是　　　　.

座位号

洞口县2011届高三第二次联考数学理科数学试题答卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题次
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

二、填空题（本大题共8个小题，考生只做7个小题，每小题5分，共35分）

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(本题满分12分)
已知锐角ABC中的内角A、B、C的对边分别为，定义向量
，且∥.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）如果的面积的最大值.

18．(本题满分12分)
今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量.例如：家居用电的碳排放量（千克）＝耗电度数×0.785,汽车的碳排放量（千克）＝油耗公升数×0.785等.某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查.若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”.这二族人数占各自小区总人数的比例Ｐ数据如下：

A小区
低碳族
非低碳族
B小区
低碳族
非低碳族

比例P

比例P

(1)如果甲、乙来自Ａ小区，丙、丁来自Ｂ小区，求这４个人中恰有２人是低碳族的概率；
(2)Ａ小区经过大力宣传，每周非低碳族中有２０％的人加入到低碳族的行列.如果２周后随机地从Ａ小区中任选２５个人，记ξ表示２５个人中低碳族人数，求Ｅξ.

O

19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，侧面垂直于底面，，且,为中点．
（Ⅰ）在上确定一点，使得∥平面，
并说明理由；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

20．(本题满分13分)
已知数列的前项和满足： 为常数且．
(1)求的通项公式；
(2)设，若数列为等比数列，求的值；
(3)在满足条件(2)的情形下，设，数列的前项和，
求证：.

．

21．(本题满分13分)
已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点（，)．
（1) 求椭圆方程；
（2) 设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为、、，满足、、依次成等差数列，求面积的取值范围．

22．(本题满分13分)
已知直线与函数的图象相切于点，且与函数
的图象也相切．
（1）求直线的方程及的值；
（2）若，求函数的最大值；
（3）当时，求证：．

理数参考答案
一、D A B D B A C B

二、9．400 10． 11． 12．
13． 14． 15． 16．

三、 17．（1）
（2）
18．（1）
（2）
19．（1）为中点
（2）

20．（1）
（2）
（3）提示：
21．（1）
（2）由得
得或，
若，
若，，令
得，综上

22．（1）
（2）
（3）由（2）知：当时，，即，
当时，，

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