导数在研究函数中的应用——单调性.doc

课题：导数在研究函数中的应用——单调性
教材：苏教版选修2-2第1章 1.3.1

教学目标
1. 通过实例，借助函数图象直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，体会数形结合思想，培养合情推理的能力；
2. 通过实例的解决初步熟悉应用导数解决单调性问题的步骤，感受数形结合思想的重要性；
3. 通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律.
教学重点、难点
探究函数的单调性与其导数的关系，深化对单调性的理解.
教学方法与教学手段
探究发现式教学法、多媒体辅助教学.
教学过程
导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，那么，导数与函数的单调性有什么联系呢？
一、情景引入
高山有起有伏，运动员的运动轨迹有上升，有下降，在我们的数学中函数的哪种性质也刻画了这种上升、下降的变化趋势？通过高山滑雪的精彩场景，引导学生联想雪山的上升(下降)同函数单调性的关联.回顾必修1对函数单调性的定义.以函数的单调性与导数两条主线的交汇切入，通过问题串的形式，让学生充分探究，启发学生发现在给定区间导数值的正负与函数的单调性的联系，并给出结论.
二、学生活动与师生互动
问题1 该函数为定义域上的增函数，还是减函数？
问题2 该曲线上的任意一点处的切线斜率是正，还是负？
问题3 该曲线上的任意一点处的导数值是正，还是负？
问题4 结合以上两组探究，在给定区间导数值的正负与函数的单调性有什么联系？（引导学生讨论并写出自己的结论）
三、建构数学
对于函数，
如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；
如果在某区间上，那么为该区间上的减函数.
(上述结论是否具有一般性呢？ )
四、数学运用
运用1
例1 确定函数在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数.
解 ，令，解得.
因此，在区间上，，是增函数；在区间上，，是减函数.

例1起到验证结论的作用.学生运用结论求解此题，与运用以前的知识得到的结果一致.
运用2
例2 确定函数在哪些区间上是增函数.
解 .
令，解得或.
因此，在区间上，，是增函数；在区间上，，也是增函数.

通过该例题进一步让学生理解导数和函数的单调性的关系，将知识技能化，形成解题的方法和步骤.
完成课堂练习第29页练习的第1题.
例3 确定函数 的单调减区间.
(三个例题逐层推进，体会导数在研究函数单调性中的一般性.)
完成课堂练习第29页练习第3， 4题.
五、回顾小结
1.通过本节课的学习，同学们学到了什么？
2.通过本节课的学习，你能解决什么问题？
（试结合进行思考：如果在某区间上单调递增，那么在该区间上必有吗？）
六、课后作业
课本第34页习题1.3的第1，2题.

设计说明：
在必修1和必修4中，我们研究过函数、三角函数，知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.变化规律可以用函数的性质来描述，函数的单调性是函数的重要性质之一.之前我们直接根据函数单调性的定义，研究函数的单调性，现在我们运用导数这个工具研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，并与必修1、必修4中的方法进行验证、比较，体会导数在研究函数中的优越性.
函数单调性的定义在必修1中已经介绍，当时直接根据单调性的定义研究函数的单调性，进一步将函数单调性的定义改写成平均变化率的形式.导数是在研究变化现象中产生的，我们可由函数的某段平均变化率逐步逼近函数在某点的瞬时变化率，即导数.这两条线的交汇处，即知识生成，得出结论.
结合学生学过的指数函数、对数函数，借助函数的图象（几何直观），让学生观察，然后探讨导数值的正负与函数单调性的关系.在学生观察、探讨的基础上归纳出导数值的正负与函数单调性之间的关系.继而利用学生学习过的二次函数来验证结论，归纳解题步骤，进一步将结论运用到三次函数和其它函数模型，来确定它们在哪些区间上是增函数，在哪些区间上是减函数.通过初等方法与导数方法在研究函数性质的过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律.