平移的力量之三.doc

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平移的力量之三
江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300
在解几何题时，当题目中的已知条件分散，尤其是有平行的条件时，将图形的某一部分施行平移变换，使分散的条件相对集中，有时十分凑效．
例1 如图，M、N分别是梯形ABCD上下底的中点，且∠A与∠B互为余角，求证：MN＝(AB―DC)．

解析：过点M作MA’∥DA、MB’∥CB分别交AB于A’、B’，则四边形AA’MD、B’BCM是平行四边形，AA’＝DM，B’B＝MC，∠MA’B’＝∠MB’A’．
∵∠A与∠B互为余角,
∴∠MA’B’＋∠MB’A’＝90°．
∴△A’ MB’是直角三角形
∵M、N分别是AB、DC的中点，
∴MN是Rt△A’ MB’斜边上的中线，
∴MN＝A’ B’＝(AB―AA’―B’B)＝(AB―DC)．

例2 如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，M、N分别为边AD、BC的中点，求证：∠BEN＝∠F．

解析：连接AC，取AC的中点，连接GN、GM．
∵M、N分别为边AD、BC的中点，
∴GN、GM．分别是△CAB、△ACD的中位线，
∴GN平行且等于AB，GM平行且等于DC．
∴∠BEN＝∠GNM，∠F＝∠GMN．
∵AB＝DC，∴GN＝GM，∴∠GNM＝∠GMN．
∴∠BEN＝∠F．

例3 在四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的一点，，且直线BA、CD与直线FE相交成等角，求证：．

解析：将线段AB、DC分别平移到EG、EH的位置，连接BG、CH、GF、HF，则四边形ABGE、DCHE均为平行四边形，
∴BG＝AE，EG＝AB，HC＝ED，EH＝DC，BG∥AD∥HC．
∵，∴．
又∵∠GBF＝∠HCF，∴△BFG∽△CFH，
∴，∠BFG＝∠CFH，
∴G、F、H三点在同一直线上．
在△EGH中，∵直线BA、CD与直线FE相交成等角，
∴EF平分∠GEH，∴，即．

例4 如图，BE、CF是△ABC的两条中线，且AB＞AC，求证：BE＞CF．

解析：将△EBC沿CB的方向平移至△FPQ的位置，则四边形FPBE、FQCE均为平行四边形，
∴PF＝BE，PB＝FE＝QC，QF＝CE．
作FD⊥BC于D，在△FBQ中，∵AB＞AC，∴BF＞QF，∴BD＞QD，
两边分别加上PB、QC（已证PB ＝QC），得
PB＋BD＞QD＋QC，即PD＞CD．
∴PE＞CF，即BE＞CF．

例5 如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且BD＝CE，求证：BC＞DE．

解析：将DE平移到BF的位置，连接EF，则四边形DBFE是平行四边形，
∴BF＝DE，FE＝BD．
∵BD＝CE，∴FE＝CE．
作∠FEC的平分线交BC于点G，显然△FEG≌△CEG，∴GF＝GC．
在△BFG中∵BG＋GF＞BF，
∴BG＋GC＞BF，即BC＞DE．

例6 如图，E是平行四边形ABCD内一点，且∠EAB＝∠ECB，求证：∠EBA＝∠EDA．

解析：将△ABE沿AD的方向平移到△DCF的位置，则△DCF≌△ABE，四边形ADFE、BCFE都是平行四边形，
∴∠1＝∠EAB，∠3＝∠ECB．
∵∠EAB＝∠ECB，
∴∠1＝∠3，
∴E、C、F、D四点在同一个圆上．
∴∠4＝∠2．
又∵∠EBA＝∠4，∠EDA ＝∠2，
∴∠EBA＝∠EDA．

例7 如图，G是△ABC的重心，以AG为弦作⊙O切BG于G，延长CG交圆于D，求证：AG2＝GC·GD．

解析：记AG的延长线交BC与E，延长GE到G’，使G’E＝GE，连接BG’、CG’，则四边形BG’CG是平行四边形，∠GBG’＝∠DAG．
∵BG与⊙相切于点G，∴∠BGD ＝∠D，∴∠GBG’＝∠DAG．
又∵∠BG’ G＝∠AGD，∴△BGG’∽△ADG，
∴．
∵G是△ABC的重心，∴GG’＝AG,
再由BG’＝GC，即得AG2＝GC·GD．

例8 如图，在公路的同侧有A、B两个村庄，今欲在公路上确定相距a米的两点C、D，怎样才能使AC＋DB最短？

解析：CD＝a是固定不变的，把点B直线向左平移a米到B’的位置，问题转化为“在直线求一点C，使AC＋CB’最短”．
作法、证明（略）．

例9 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸a、b是平行的直线，桥MN要与河垂直．）

解析：桥长MN是不变的（与河同宽），要使从A到B的路径AMNB最短，只须AM＋BN最短． 把河岸a连同点A垂直向下平移使与河岸b重合，这时点A平移到点A′处，根据两点之间线段最短，连接A′B即可．
作法：①过A作AP⊥a，在AP上截取AA′＝MN；
②连结A′B交b于点N；
③过N点作MN⊥a于点M；
④连结AM．
则MN为桥的位置，路径AMNB最短．
证明：（略）
思考：若改为所造的桥与河岸所成的锐角为α，又该如何选择桥址呢？

例10 试证：在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，平行四边形的周长最小．
解析：如图，四边形ABCD中，取AC、BD的中点E、F，将AC沿EF的方向平移到A‘C’且过点F，连接A’B、A’D、C’B、C’D，则四边形A‘BC’D为平行四边形． 连接AA’、AF、CC’，延长AF、CC‘交于G，连接BG．

解析：∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，
∴F、C’分别为AG、CG的中点，∴BG＝AD．
∴AD＋BC＝BG＋BC≥2BC‘＝A’D＋BC‘．
同理可得AB＋DC≥A’B＋C‘D．
故当四边形ABCD为平行四边形时，周长最小．

常用符号：
≠＝　　≤≥＜＞ ∽≌ ⊙△ ＋―×÷∶±√ ∵∴ ∥⊥ ∠°′″
℃αβγθΦπ ⅠⅡⅢⅣⅩ①②③④．
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