模拟试卷(2).doc

2015年全国高中数学联赛
模拟试卷（2） 姓名__________
1. 已知函数.记，
，则__________.
2. 已知是虚数单位，若，则____________.
3. 已知实数满足，则的最大值是_________.
4. 正四面体中，分别为棱的中点，则平面与平面
所成二面角的余弦值为___________.
5. 设是小于100的正整数，且为整数，则符合条件的所有之和为______.
6．已知函数，若对于任意，有恒成立，则实数的取值
范围为__________.
7. 在中，，，点分别在边上，则
周长的最小值为___________.
8. 若实数满足，用表示中的最大值，
则的最大值为___________.
9. 设，数列满足，.记.
（1）证明：为等比数列，并求的通项公式；
（2）记，求的前项和.

10.已知点，为椭圆上异于点的任意两点，且.
（1）若点在线段上的射影为，求的轨迹方程；
（2）求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围.

11.若实数满足，则称为的不动点.
已知函数，其中为常数．
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）若时，存在实数既是的不动点，又是的极值点，求的值；
（3）证明：不存在实数组，使得互异的两个极值点均为不动点.

2015年全国高中数学联赛模拟试卷（2）参考答案
1. 已知函数.记，
，则__________.
【答案】.
2. 已知是虚数单位，若，则____________.
【答案】.
3. 已知实数满足，则的最大值是_________.
【答案】.
4. 正四面体中，分别为棱的中点，则平面与平面
所成二面角的余弦值为___________.
【答案】.
【解析】取中点，连结，设的中点分别为，求与所成角即可.
5. 设是小于100的正整数，且为整数，则符合条件的所有之和为______.
【答案】.
【解析】，即，从而，
，注意到连续的3个正整数中有且仅有一个是3的倍数，故3不能整除.
即满足要求的为5的倍数，且不是15的倍数. .
6．已知函数，若对于任意，有恒成立，则实数的取值
范围为__________.
【答案】.
【解析】令，即，
令，上式可化为对恒成立.
7. 在中，，，点分别在边上，则
周长的最小值为___________.
【答案】.
【解析】设点关于直线的对称点分别为，
易知，
.
8. 若实数满足，用表示中的最大值，
则的最大值为___________.
【答案】.
【解析】，不妨设，
则，.
9. 设，数列满足，.记.
（1）证明：为等比数列，并求的通项公式；
（2）记，求的前项和.
解：（1）用定义证明（略），；
（2）.
10.已知点，为椭圆上异于点的任意两点，且.
（1）若点在线段上的射影为，求的轨迹方程；
（2）求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围.
解：（1）设，设直线方程为，代入得
，
则.
由，，即，
即，化简得，
或（舍）.
设，由，故，代入方程得，
整理得.
（2），又由（1）知，
故中垂线方程为，
令，.
11.若实数满足，则称为的不动点.
已知函数，其中为常数．
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）若时，存在实数既是的不动点，又是的极值点，求的值；
（3）证明：不存在实数组，使得互异的两个极值点均为不动点.
解：（1）当时，，，
若，在上递增；
若，在和上递增.
（2）由题意，消去得，即，
.
（3）若存在满足题意，则有两个不同的实根，
，即，且，
由是的不动点，即为方程的两根，设另一根为，
则，
，又，故，
由，消整理得.
设，易知在上递增，
又，故在内有唯一的零点，即；
另一方面，由及，，与矛盾！
综上，不存在满足题意.