数学：2.1《合情推理与演绎证明》教案2013-10-30.docx

第一课时 2.1.1 合情推理（一）
教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，
体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

教学重点：能利用归纳进行简单的推理.

教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.

教学过程：
一、新课引入：
1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,
20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身
是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家
无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明
了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为
“1+2”.

2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，
，，，的观察，发
现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数，任何形如的
数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现
不是素数，推翻费马猜想.

3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着
色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得
有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问
题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子
计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.
4.哥尼斯堡七桥问题：18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七
座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中 任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
　 18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。这就是柯尼斯堡七桥问题。
一笔划：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
　　■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
　　■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

二、 讲授新课：
1.蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2.三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是
由此我们猜想：凸边形的内角和是

3.，由此我们猜想：（均为正实数）

这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)
简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
实验，观察
概括，推广
猜测一般性结论

② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？
(iii)观察等式：，能得出怎样的结论？

③ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
(ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）
(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）

2. 教学例题：
① 已知数列的第1项，且，试归纳出通项公式.
（分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想 →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）

② 思考：证得某命题在n＝n时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）

② 练习：已知 ，推测的表达式.

例1已知数列的通项公式，，试通过计算的值，推测出的值。()

1、已知，经计算: ，推测当时，有__________________________.

2、已知：，。
观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。

3、观察（1）
（2）。
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；
②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.

第二课在此处键入公式。时 合情推理（二）
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.

教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.

教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：已知 ，考察下列式子：
；；.

我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为 .

2. 猜想数列的通项公式是 .

二、讲授新课：

1. 教学概念：
导入：鲁班由带齿的草发明锯；
人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；

引例: “火星上是否有生命”

地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕轴自传

有大气层

一年中有季节变更

温度适合生物的生存

有生命存在

(1) 类比练习：
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积

(i) 圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.
由此结论如何类比到球体？

(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？

(iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征.

例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦

与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长

圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

小结：平面→空间，圆→球，线→面.

☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、比较
联想、类推
猜想新结论

例2.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一
点,P到相应三边 的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

试通过类比,写出在空间中的类似结论.

③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.

教学例题：
(1) 出示例2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果
若则

运算律

逆运算
加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解

单位元

(2)．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
三角形
四面体
三角形任意两边之和大于第三边
四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积

三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边
四面体的中截面的面积等于第四个面的面积的 1/4 ，且平行于第四个面

直角三角形
 3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
  ＝ ＝ ＝90°
4个面的面积
3个“直角面” 和1个“斜面”

三、巩固练习：
1．已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减
去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,
推广的命题为:
------------------------------------------------------------------------------------------

2．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，
这个数列的前n项和的计算公式为________________

3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进

行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.

第三课时 2.1.2 演绎推理
教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。.

教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.

教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.

教学过程：
一、复习准备：
1. 练习： ① 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？
②在平面内，若，则. 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若，则；或在空间中，若.
2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？
3. 导入：① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .
（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
合情推理；演绎推理：由一般到特殊.
③ 提问：观察教材P39引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电
已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断
大前提 小前提 结论
“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
2. 教学例题：
① 出示例1：证明函数在上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.
② 出示例2：在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论.
③ 讨论：因为指数函数是增函数，是指数函数，则结论是什么？
（结论→指出：大前提、小前提 → 讨论：结论是否正确，为什么？）
④ 讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）
3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）
三、巩固练习：1. 练习：P42 2、3题 2. 探究：P42 阅读与思考 3.作业：P44 6题，B组1题.

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