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第二部分 代数

[考试要求]
代数式和不等式的变换和计算。
包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合等。
[样题]
1．的值为[ ]
(A) (B) (C) (D)
2．#棵大小不同的柳树，6棵大小不同的杨树，栽到5个坑内，一坑一棵，5个坑内至多栽2棵柳树，5个坑都栽了，有[ ]种栽法。
(A) (B) (C) (D)
3．求阶乘不超过的最大整数[ ]
(A) (B) (C) (D)
4．设函数，，则[ ]
(A) (B) (C) (D)
5．设，则函数的最大值为[ ]
(A) (B) (C) (D)
6．##袋中有3个黄球，2个红球，1个篮球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，取的红球的概率是[ ]
(A) (B) (C) (D)
7．现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？[ ]
(A)第一个人 (B)第二个人
(C)第三个人 (D)一样大
8．比较 与谁大？[ ]
(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定
9．的值为[ ]
(A) (B) (C) (D)
10．函数是[ ]
(A)周期函数 (B)奇函数
(C)偶函数 (D)单调减少函数
11．当 时，确定与的大小关系[ ]
(A)前者大 (B)后者大
(C)一样大 (D)无法确定
12．在连乘式展开式中，前面的系数为[ ]
(A) (B) (C) (D)

[重要问题]
样题中问题类型：
排列组合（2）、函数求值（4）、二次函数（5）、三角函数（1，9，11）、简单概率问题（6，7）、幂函数与指数函数（8）、函数奇偶性（10）、代数式运算（12）。
已考问题类型：
二次函数（单调区间）、函数图像(对称性)、乘方开方运算、简单概率问题、比赛场次。

[内容综述]
一、数和代数式
1．实数的运算
（1）四则运算及其运算律
（2）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）
（3）绝对值
2．复数
（1）基本概念（虚数单位、复数、实部、虚部、模、辅角）
（2）基本形式（代数形式、三角形式、指数形式）
（3）复数的运算及其几何意义
3．代数式
（1）几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）
（2）简单代数式的因式分解

二、集合、映射和函数（微积分）
1．集合
（1）概念（集合、空集、表示法）
（2）包含关系（子集、真子集、相等）
（3）运算（交集、并集、补集、全集）
2．函数
（1）概念（定义、两要素、图形、反函数）
（2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）
（3）幂、指、对函数（含义、性质、常用公式）

三、代数方程和简单的超越方程
1．一元二次方程
（1）求根公式
（2）根与系数的关系
（3）二次函数的图像
注 代数基本定理
2．简单的指数方程和对数方程

四、不等式
（1）不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式）
（2）几种常见不等式的解法
绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、简单无理不等式、指数不等式、对数不等式等

五、数列（微积分）、（数学归纳法）
1．数列的概念（数列、通项、前项的和、各项的和）
2．等差数列
（1）概念（定义、通项、前项的和）
（2）简单性质
3．等比数列
（1）概念（定义、通项、前项的和）
（2）简单性质
注 已知是等差数列，是等比数列，求。
六、排列、组合、二项式定理
1．加法原理与乘法原理
2．排列与排列数
（1）定义
（2）公式
注 阶乘
3．组合与组合数
（1）定义
（2）公式
（3）基本性质

4．二项式定理
注 常见问题

七、古典概率问题
1．基本概念
样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、
互不相容事件、对立事件
2．概率的概念与性质
（1）定义（非负性、规范性、可加性）
（2）性质
，，
3．几种特殊事件发生的概率
（1）等可能事件（古典概型）
（2）互不相容事件
，
对立事件
（3）相互独立事件
（4）独立重复试验
如果在一次试验中某事件发生的概率为，那么在此独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为 。
[典型例题]
一、数和代数式
1．已知实数和满足条件和，则的值是 。
A．。 B．。 C．。 D．。
2．若且，则的最小值是[ B ]
(A) (B) (C) (D)
3．已知是一个实数，则实数[ B ]
(A) (B)
(C) (D)
（例2.3.1）
4．如果整除，则实数[ D ]
(A)0 (B)-1 (C)2 (D) 2或-1
（例 2.3.5）
5．设，则的三次方根是[ B ]
(A) (B)
(C) (D)
（例2.3.6）
6．复平面上一等腰三角形的个顶点按逆时针方向依次为（原点）、和，，若对应复数，则对应复数[ D ]
(A) (B) (C) (D)
（例2.3.7.）
二、集合、映射和函数
1．设是两个非空实数集，是定义在上的函数，是讨论集合
与及的关系。
2.已知，
求。
3．已知，函数的图像关于原点对称的充分必要条件是[ D ]
(A) (B) (C) (D)
(例3．3．6)
4．函数与的图形关于 。
A．直线对称。 B．直线对称。
C．轴对称。 D．轴对称。
5．设，且，那么[ B ]
(A) (B)
(C) (D)
（例3．3．10）
三、代数方程和简单的超越方程
1.设，若是方程的两个根，求，。（例4．4．4）
2．函数在上单调减的充要条件是 。
A．，且。 B．，且。
C．，且。 D．，且。
3．一个容器中盛有浓度为盐酸500ml，第一次倒出若干，再用水加至500ml，第二次倒出同样多的溶液，再用水加至500ml，这是容器中盐酸浓度为。问每次倒出的溶液为多少？（例 4．4．5）
4．指数方程组的解[ A ]
(A)只有一组 (B)只有两组
(C)有无穷多组 (D)不存在
（例 4．6．3）
四、不等式
1．已知集合，集合，若，求得取值范围。
2．解不等式。（例5．5．1）
3．解不等式。（例5．7．1）
五、数列（微积分）、（数学归纳法）
1．已知数列是等差数列，且。
（1）求数列的通项；
（2）求数列前项和的公式，其中是任意实数。
2．设是一等差数列，且，求和。
（例6．2．2）
3．记数列的前项和为，问为何值时最大？（）（例6．2．4）
4．设是一等比数列，且，求和。（例 6．3．1）
5．设是一等比数列，且，求的值。
（例6．3．2）
六、排列、组合、二项式定理
1．5个男生和2个女生拍成一排照相。
（1）共有多少种排法？（）
（2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（）
（3）男生甲必须站在中间，且两女生必须相邻，有多少种排法？（）（例7．1．4）
2．100件产品中，只有3件次品，从中任取3件，
（1）恰有一件次品的取法有多少种？
（2）至少有一件次品的取法有多少种？
（3）至多有两件次品的取法有多少种？（例7．1．5）
3．某篮球队共10人，其中7人善打锋位，4人善打卫位，现按队员特点派5人出场（左、中、右锋和左、右卫），共有多少种派法？
4．求展开式中所有无理项系数之和。（例7．2．3）

七、古典概率问题
1．在100件产品中，只有5件次品。从中任取两件，
（1）两件都是合格品的概率是多少？
（2）两件都是次品的概率是多少？
（3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？(例7．3．2)
2．一批产品的次品率为，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 。
A．。 B．。 C．。 D．。
3．办公室有40支笔，其中30支是黑笔，10支是红笔。从中任取4支，其中至少有一支是红笔的概率是多少？（例7．3．4）
4．甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是和。
（1）两人都投中的概率是多少？
（2）恰有一人投中的概率是多少？
（3）至少有一人投中的概率是多少？
（例7．3．5）
[模拟练习]
1．已知集合，则是[ D ]
(A) (B) (C) (D)空集
2．设，则[ B ]
(A) (B)
(C) (D)
3．函数的定义域是[B ]
(A) (B) (C) (D)
4．若是任意实数，且，则[ B ]
(A) (B)
(C) (D)
5．已知是奇函数，定义域为，又在区间上是增函数，且，则满足的的取值范围是[ C ]
(A) (B)
(C) (D)
6．已知函数的反函数为，则的解集是[ B ]
(A) (B) (C) (D)
7．已知复数，复数，那么的三角形式为[ D ]
(A) (B)
(C) (D)
8．已知复数满足，那么复数在复平面上对应点的轨迹是[D ]
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线
9．设复数，则在复平面内对应的点位于第4 象限。
10．函数的反函数为[ B ]
(A) (B)
(C) (D)
11．五支篮球队相互进行循环赛，现已知队已赛过4场，队已赛过3场，队已赛过2场，队已赛过1场，则此时队已赛过 。
A．1场。 B．2场。 C．3场。 D．4场。

12．从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，不同的选派方法有[ D ]
(A)种 (B) 种
(C) 种 (D) 种
13．某科技小组有6名同学，先从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生人数为[ A ]
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
14．学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名分别参加校外摄影小组的3期培训（每期只派1名），甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，不同的选派方式共有[ D ]
(A)种 (B)8种 (C)10种 (D)12种
15．设，则等于[ A ]
(A) (B) (C) (D)
16．若的展开式中第三项的系数为36，则正整数的值是 9 .
17．设的展开式中，奇数项的二项式系数之和为，数列的前项和记为，则[ B ]
(A) (B) (C) (D)
18．等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数，都有”
的[ A ]
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
19．在等差数列中，若前9项的和是90，则的值是 10 。
20．数列中，是前项和。当时，，则的值是[A ]
(A) (B) (C) (D)
21．在各项都是正数的等比数列中，公比，并且成等差数列，则公比的值为。
22．如果，那么。
23．某企业2002年12月份的产值是这一年1月分产值的倍，则该企业2002年年度产值的月平均增长率为[ D ]
(A) (B) (C) (D)
24．实数满足，集合，，则集合的子集共有[ ]
(A)2个。 (B)4个。 (C)8个。 (D)16个。
答(D)
25．在实数范围内对整式分解因式，最终结果分解为[ ]
(A)1个1次因式和1个4次因式的乘积。
(B) 1个1次因式和2个2次因式的乘积。
(C) 2个1次因式和1个3次因式的乘积。
(D) 3个1次因式和1个2次因式的乘积。
答(B)
26．集合都是实数集的子集，已知不等式的解集是，不等式的解集是，则不等式组的解集是[ ]
(A). (B). (C). (D).
答(D)
27．有11个球，编号为，从中取出5个，此5个球编号之和为奇数的概率是[ ]
(A). (B). (C). (D).
答(C)
28．如果数列满足：，则等于[ ]
(A)19800. (B)20000. (20200. (D)20400.
答(A)
29．已知集合，则的元素数目为[ ]（0.495）
(A) 0. (B) 1.
(C) 2. (D) 无穷多。
30．已知是实系数方程的根，则此方程的其他三个根是[ ]（0.213）
(A) . (B) .
(C) . (D) .
31．已知不等式的解集是，则等于[ ]（0.63）
(A) . (B) 14. (C) . (D) 10.

32．袋中有3个黄球，1个白球和2个红球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，取得红球的概率是[ ]（0.338）
(A) . (B) . (C) . (D) .

33．已知数列的前n项和为，则[ ]（0.409）
(A) 不存在。 (B) 等于 。
(C) 等于。 (D)大于。
34．若且，则的最小值是[ ]
(A). (B). (C). (D).
35．若不等式的解集是区间，则等于[ ]
(A) . (B) . (C) . (D) .
36．若，且，则[ ]
(A) . (B) . (C) . (D) .
37．若，则[ ]
(A) 8. (B) 10. (C) 12. (D) 20.
38．某地现有人口为100,000, 预计下一年将增加人口1000。若该地人口后一年的增加数是其前一年增加数的95% ，则该地从现在起25 年后的人口是[ ]
(A) . (B) .
(C) . (D) .
39．设实数满足，且，则不一定成立的是[ ]
(A) . (B) .
(C) 。 (D) .
40．已知函数在上存在反函数，则的取值范围是[ D ]
(A). (B).
(C)。 (D) .
41．把一个面积为，顶角为的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的底半径等于[ ]（0.632）
(A) . (B) 2. (C) . (D) 3.
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