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曲线与方程
1. 设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为　　　A
A．抛物线 B．双曲线 　　C．椭圆 D．圆
2. 已知圆，圆，一动圆与这两个圆外
切，求动圆圆心P的轨迹方程是：____________.

(x>0)

3. 过点A(4，0)作圆O∶x+y2=4的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。
(x-2)+y=4 (0≤x<1)

4. 已知圆C：+(y-4)=1, 动点P是圆外一点，过P作圆C的切线，切点为M，
且︱PM︱=︱PO︱（O为坐标原点）,求动点P的轨迹方程。
提示：︱PO︱=︱PM︱=
3x+4y-12=0
5. 已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.求点的轨迹方程。
解：动点P 到圆C的最短距离为︱PC︱-1,
动点P 到圆C的最短距离为︱PC︱-1,
依题意有：︱PC︱-1=︱PC︱-1，　即
︱PC︱=︱PC︱
所以动点P的轨迹为线段CC的中垂线。所以动点 P 的轨迹方程为：
2x+y-5=0
6. 已知双曲线的左、右顶点分别为, 点P（），Q（）
是双曲线上不同的两个动点。求直线与交点的轨迹E的方程。
解：由为双曲线的左右顶点知，
，，两式相乘，
因为点在双曲线上，所以，即，故，
所以，即直线与交点的轨迹的方程为
7. 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程。
解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，
∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.
8. 已知点C（1，0），点A、B是⊙O：上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点。求点P的轨迹T的方程。

解：　连结CP，由，知AC⊥BC
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝，由垂径定理知
即
设点P（x，y），有
化简，得到。
9.设椭圆，过点的直线交椭圆于A、B，O为坐标原点，点P满足，当绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。
解：直线过点，设其斜率为k，则直线的方程为，
记，，由题设可得点A、B的坐标
是方程组的解，其方程组中消取得
∴
∵ ∴点P的坐标为
即：点P为，
设点P为，则P点的轨迹参数方程为 （为参数）消去参数得：当斜率不存在时，A、B的中为原点（0，0）也满足上述方程，
故：动点P的轨迹方程为。
10. 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。求圆C的圆心轨迹L的方程。
解：两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，
由题意得或，
，
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则
，所以轨迹L的方程为．
11. 如图所示，已知P（4，0）是圆内的一点。A、B是圆上两动点，且满足,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设R(x,y),
依题意，有
｜OR｜+｜RA｜=36,而｜RA｜=｜RP｜,所以

｜OR｜+｜RP｜=36, 即

化简得：
设Q(X, Y),因为R(x,y)是 QP的中点，所以有
x=,y=,故

化简得：X
12. 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP
的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP。当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方
程。
解：如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

因此即
①
另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

MQ为线段OP的垂直平分线，

又
因此M在轴上，此时，记M的坐标为
为分析的变化范围，设为上任意点
由
（即）得，

故的轨迹方程为
②
综合①和②得，点M轨迹E的方程为

13. 点M是椭圆上的动点。如图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，=0,　求线段的中点的轨迹方程；

解：设
.因为，故

①
因为

所以 . ②
记P点的坐标为，因为P是BQ的中点，所以
由因为 ，结合①，②得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

故动点P的轨迹方程为（x-。
14.如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设。求直线与的交点的轨迹的方程。

解：设，由已知得，
则直线的方程为，直线的方程为，
即　y+2=
　y-2= -
两式相乘，消去即得的轨迹的方程为．

15.已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.

【答案】解:
所以,.
又由已知,, [来源:]
所以椭圆C的离心率
由知椭圆C的方程为.
设点Q的坐标为(x,y).
(1)当直线与轴垂直时,直线与椭圆交于两点,此时点坐标为
(2) 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为.
因为在直线上,可设点的坐标分别为,则
. 又
由,得
,即
①
将代入中,得
②
由得.
由②可知
代入①中并化简,得 ③
因为点在直线上,所以,代入③中并化简,得.
由③及,可知,即.
又满足,故.
由题意,在椭圆内部,所以,
又由有
且,则.
所以点的轨迹方程是,其中,,
16.设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。
（1）求的离心率；
（2） 设点满足，求的方程
解：（I）由椭圆定义知，又，得
的方程为，其中。
设，，则A、B两点坐标满足方程组
化简的
则
因为直线AB斜率为1，所以
得故
所以E的离心率
（II）设AB的中点为，由（I）知
，。
由，得， 即
得，从而 故椭圆E的方程为。