直线、平面平行与垂直的判定及其性质(证明题详解).doc

(word完整版)直线、平面平行与垂直的判定及其性质(证明题详解)
直线、平面平行与垂直的判定及其性质

D
C
P
A
B
（第16题）
7。 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAD⊥平面ABCD。
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2)若平面PAB平面PCD,问:直线l能否与平面ABCD平行？
请说明理由。
【解析】（1）因为∠ABC=90°，AD∥BC,所以AD⊥AB.
而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,
所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA.
同理可得AB⊥PA。  
由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=A，所以PA⊥平面ABCD。
（2）(方法一）不平行.
证明:假定直线l∥平面ABCD，
由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD， 所以∥CD。
同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.
这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰不平行相矛盾,
故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.
（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC，
所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T.
由TCD，CD平面PCD得T平面PCD。
同理T平面PAB.
即T为平面PCD与平面PAB的公共点,于是PT为平面PCD与平面PAB的交线。
所以直线与平面ABCD不平行。

8. 如图，在三棱柱中，，分别为线段的中点,求证：
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
G
（1）平面平面；
（2）面；
（3）平面
【解析】(1)

平面
平面
平面平面
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
G
（2），

面；
(3)连接，则四边形EFGB为平行四边形
，
平面.

9。 在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD为菱形,OA⊥平面ABCD,E为OA的中点,F为BC的中点，求证：
（1)平面BDO⊥平面ACO；
(2）EF//平面OCD.
【解析】证明：⑴∵平面,平面，所以，
∵四边形是菱形，∴，又，
∴平面，
又∵平面,∴平面平面．

⑵取中点，连接，则,
∵四边形是菱形，∴，
∵为的中点，∴，
∴．
∴四边形是平行四边形，∴，
又∵平面，平面．
∴平面．

10。 如图l，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=600，E是BC的中点．如图2,将△ABE沿AE折起，使二面角B-AE—C成直二面角，连结BC,BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．
(1)求证：AE⊥BD； ’
A
B
C
D
E
图1
A
B
C
D
E
F
P
图2
(2）求证：平面PEF⊥平面AECD；
（3）判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由．

【解析】（1）连接，取中点，连接．
在等腰梯形中，∥,AB=AD，，E是BC的中点
与都是等边三角形
平面 平面
平面 ．
(2）连接交于点，连接
∥，且＝ 四边形是平行四边形 是线段的中点
是线段的中点 ∥
平面 平面．平面
(3)与平面不垂直．
证明：假设平面， 则
平面
,平面 平面
,这与矛盾
与平面不垂直．

11。 如图,在四棱锥中，底面中为菱形，，为的中点.
（1） 若,求证：平面平面;
（2） 点在线段上，，试确定实数的值，使得‖平面。
【解析】(1)连，四边形菱形 ，

为的中点,
又
，

（2)当时，使得‖,连接交于，交于，则为 的中点，又为边上中线,为正三角形的中心，令菱形的边长为，则,。
‖
‖
即： 。

12. 如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点。
(Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ)若PA＝AC＝，BD＝，求直线BM与
平面PAC所成的角.
【解析】(Ⅰ）设AC与BD的交点为O,连结OM.
因为四边形ABCD是菱形，则O为AC中点.
又M为PA的中点，所以OM∥PC.
因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM.
(Ⅱ)因为四边形ABCD是菱形，则BD⊥AC。
又PA⊥平面ABCD,则PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角。
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC. 在Rt△PAC中，因为PA＝AC＝，则PC＝2.
又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO＝PC＝1.
又BO＝BD＝，在Rt△BOM中，tan∠BMO＝，所以∠BMO＝60°。
故直线BM与平面PAC所成的角是60°。

13. 一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为的正方形，左视图是直角边长为的等腰三角形）如图所示，其中、分别是、的中点，是上的一动点。
（Ⅰ）求证：（Ⅱ)求三棱锥的体积；
（Ⅲ)当时，证明平面.

主视图
侧视图
俯视图

【解析】（Ⅰ)由三视图可知，多面体是直三棱柱,两底面是直角边长为的等腰直角三角形，侧面， 是边长为的正方形。

连结, 因为, 所以，面
又, 所以，面, 面
所以
（Ⅱ）

＝.
另解:
(Ⅲ）连结交于,连结
因为分别是的中点,所以//，
//,所以,//,是平行四边形
∥，面,面 所以，//平面。
14. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.

　　（1）求证：AC⊥SD;
　　（2）若SD⊥平面PAC，在SC上取一点E，使，连接BE，求证：BE∥平面PAC。
【解析】(1）连BD,设AC交BD于O,由题意。
在正方形ABCD中，,
　 　　　所以，得。
　　（2)由，知，在等腰三角形SCD中，
O
可解得.
　 　　　在上取一点,使,所以,
连BN，在中知,
　 　　　又由于,故平面，
得。

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