直线、平面平行与垂直的判定及其性质(证明题详解).doc

(word完整版)直线、平面平行与垂直的判定及其性质(证明题详解)直线、平面平行与垂直的判定及其性质DCPAB（第16题）7。 在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是梯形，ADBC，ABC=90，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD。（1）求证：PA平面ABCD；（2)若平面PAB平面PCD,问:直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由。【解析】（1）因为ABC=90，ADBC,所以ADAB.而平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD平面PAB, 所以ADPA. 同理可得ABPA。 由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=A，所以PA平面ABCD。 （2）(方法一）不平行. 证明:假定直线l平面ABCD，由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD， 所以CD。 同理可得lAB, 所以ABCD. 这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰不平行相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行. （方法二）因为梯形ABCD中ADBC，所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T. 由TCD，CD平面PCD得T平面PCD。同理T平面PAB. 即T为平面PCD与平面PAB的公共点,于是PT为平面PCD与平面PAB的交线。所以直线与平面ABCD不平行。 8. 如图，在三棱柱中，分别为线段的中点,求证：ABCA1B1C1EFG （1）平面平面； （2）面； （3）平面【解析】(1) 平面平面平面平面 ABCA1B1C1EFG（2）， 面； (3)连接，则四边形EFGB为平行四边形，平面. 9。 在四棱锥OABCD中，底面ABCD为菱形,OA平面ABCD,E为OA的中点,F为BC的中点，求证：（1)平面BDO平面ACO；(2）EF/平面OCD.【解析】证明：平面,平面，所以， 四边形是菱形，又，平面， 又平面,平面平面 取中点，连接，则,四边形是菱形，为的中点， 四边形是平行四边形，又平面，平面平面 10。 如图l，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，ABC=600，E是BC的中点如图2,将ABE沿AE折起，使二面角B-AEC成直二面角，连结BC,BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点 (1)求证：AEBD； ABCDE图1ABCDEFP图2 (2）求证：平面PEF平面AECD； （3）判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由 【解析】（1）连接，取中点，连接在等腰梯形中，,AB=AD，E是BC的中点与都是等边三角形 平面 平面平面 (2）连接交于点，连接，且 四边形是平行四边形 是线段的中点是线段的中点 平面 平面平面(3)与平面不垂直证明：假设平面， 则平面 ,平面 平面 ,这与矛盾与平面不垂直11。 如图,在四棱锥中，底面中为菱形，为的中点.（1） 若,求证：平面平面;（2） 点在线段上，试确定实数的值，使得平面。【解析】(1)连，四边形菱形 ， 为的中点, 又 ， （2)当时，使得,连接交于，交于，则为 的中点，又为边上中线,为正三角形的中心，令菱形的边长为，则,。 即： 。12. 如图，四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD，M为PA的中点。(）求证：PC平面BDM；（)若PAAC，BD，求直线BM与平面PAC所成的角.【解析】(）设AC与BD的交点为O,连结OM. 因为四边形ABCD是菱形，则O为AC中点.又M为PA的中点，所以OMPC. 因为OM在平面BDM内，所以PC平面BDM. ()因为四边形ABCD是菱形，则BDAC。又PA平面ABCD,则PABD.所以BD平面PAC.所以BMO是直线BM与平面PAC所成的角。 因为PA平面ABCD，所以PAAC. 在RtPAC中，因为PAAC，则PC2.又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MOPC1. 又BOBD，在RtBOM中，tanBMO，所以BMO60。 故直线BM与平面PAC所成的角是60。 13. 一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为的正方形，左视图是直角边长为的等腰三角形）如图所示，其中、分别是、的中点，是上的一动点。（）求证：（)求三棱锥的体积；（)当时，证明平面.主视图侧视图俯视图【解析】（)由三视图可知，多面体是直三棱柱,两底面是直角边长为的等腰直角三角形，侧面， 是边长为的正方形。 连结, 因为, 所以，面 又, 所以，面, 面 所以 （）. 另解:(）连结交于,连结因为分别是的中点,所以/，/,所以,/,是平行四边形，面,面 所以，/平面。 14. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. （1）求证：ACSD;（2）若SD平面PAC，在SC上取一点E，使，连接BE，求证：BE平面PAC。【解析】(1）连BD,设AC交BD于O,由题意。在正方形ABCD中，, 所以，得。（2)由，知，在等腰三角形SCD中，O可解得. 在上取一点,使,所以, 连BN，在中知, 又由于,故平面，得。8