第46讲压轴之函数与几何综合类型④直角三角形存在性问题探究.doc

句容市第二中学 九年级数学（2017-2018学年度复习案） 校本教材

第46讲 直角三角形存在性问题探究
主备人： 刘永忠 审核人： 孙百平
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【考点】
1．“某图形(直线或抛物线)上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题．
2．“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题．
【重点】1．“某图形(直线或抛物线)上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题．
2．“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题．
【难点】1．利用勾股定理计算，在解一元二次方程时计算错误．
2．分类讨论漏解．
【知识梳理】
1．若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于－1)，得到一个方程，解之即可.
2．若夹直角的两边中有一边与y 轴平行，此时不能使用斜率公式．补救措施是：过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定．
【典型例题及针对训练】
◆利用勾股定理建立方程
【例1】(2017通辽中考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－2，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋2的函数解析式；
(2)若点D在抛物线y＝ax2＋bx＋2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；
(3)在抛物线y＝ax2＋bx＋2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

◆利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解
【例2】(2016昆明中考)如图①，对称轴为直线x＝的抛物线经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
(3)如图②，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

1.适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为( )
①a=3,b=4,c=5; ②a=6,∠A=45°;③a=2,b=2,c=2;④∠A=38°,∠B=52°.
A.1 B.2 C.3 D.4
2. (太仓模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为______　

3.【东台实验中学】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：
①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；
一定正确的结论有（　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于的一元二次方程
的两个实数根，第三边BC的长是5.（1）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长

5、(2017内江中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点，点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

【提升训练】
6. (扬州二模)已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y=﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．
（1）B点坐标是________（用含m的代数式表示），∠ABO=_________　°；
（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．
①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
②当时，求m的值．

完成时间

月 日
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教师评价

学后/教后反思:

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句容二中校训：立志 笃行 数学复习案