高等数学上2006-2007第一学期高数试题.doc

2006-2007第一学期高数试题
一、 填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1）函数的定义域为。
2）。
3）设，则。
4）设，。
5）若。
二、 选择题（共5小题，每小题4分，共20分）
1）极限（ D ）
A、2 B、 C、 D、不存在
2）下列函数在上适合罗尔中值定理条件的是（ B ）
A、 B、
C、 D、
3）下列函数中，哪一个不是的原函数（ C ）
A、 B、
C、 D、
4）设，则下列不等式正确的是（ D ）
A、 B、
C、 D、
5）设在上连续，则（ A ）
A、 B、
C、 D、
三、 计算下列各题（共4题，每小题6分，共24分）

1）计算极限
解：原式
2）设参数方程，求
解：，。
3）计算不定积分
解：原式

四、 解答下列各题（共2题，每小题7分，共14分）
1）在曲线上求一点，使它到点的距离最小。
解：设曲线上一点坐标为，它到点的距离的平方为
，我们只须在求得最小值

当时，，此时，取最小值。所求点为
2）设由在第一象限围成的图形为，其面积为。又曲线将分为左右两部分，其面积分别为，求的值使。
解：
又因为，
所以

五、 （本题8分）设有无穷间断点，有可去间断点，求之值。
解：因为是无穷间断点，所以时，，因此，
又因为是可去间断点，而时，，所以，当时，
有，因此。
六、 （本题9分）设，讨论在处的连续性。
解：因为，所以在处的连续。

，又因为，所以 在处连续。
七、 （本题10分）设在内连续，可导且单调增，

试证明：在内也单调增。
证明：因为，所以在处
连续。
当时，
在以为端点的闭区间上对函数运用拉格朗日中值定理，至少存在
之间的一点使得
当时，，当时，，即
；当时，，即，又因为在
处连续。所以在内也单调增。