第一章整式的运算上部.doc

北师大版　七年级下册 　　　　　第一章 整式 　　　　　　审核人 刘谋其
对整式的运算1----5节教学建议
郫县四中 刘谋其
根据我区学生的实际情况，我们将本章1---5节内容一共编写了十课时的学案，其中包括一个复习课学案，即增加了三课时，其主要目的是让学生通过充分的自主探索、合作交流、足够的变式训练等活动，真正理解和掌握基本的数学知识、技能和思想方法，让知识真正过手。
建议教师们不必再增加课时，对于达标检测的内容也可根据本班学生的实际进行删减或补充。另外，从学生认知规律考虑，我们把一些“引例”中的应用问题编写到了后面的复习课学案中。因此，老师们对此内容不必在新课中进行。
这部分内容在运用运算法则时，学生很容易混淆，因此教学时应注重对法则的探索过程，以及对算理的理解，鼓励学生通过合情推理进行大胆推测，利用一些已学过的运算验证猜测或解决问题，同时有条件地表达自己的思维过程。在探索过程中可利用观察、猜想、类比、归纳和概括等教学手段发展学生的逻辑推理能力。同时，应留出一定的空间让学生独立完成“即时练习”，在这个过程中要重视学生对算理的理解，让学生尝试说出每一步运算的理由，在评价时，应更多地关注学生的思维过程以及基本运算技能的形成，做到及时反馈矫正。

【学习课题】 第1课时 整式的概念
郫县四中 刘谋其
【学习目标】 1、掌握单项式的概念，会找出它的系数和次数。
2、掌握多项式的概念，会找出它的次数。
3、了解整式的概念。
【学习重点】 单项式的系数、次数，多项式的项数、次数以及单项式、多项式、整式的概念。
【学习难点】区分单项式、多项式的次数。
【学习过程】
学习准备
1、代数式的概念：由加、减、乘、除、乘方、开方六种运算把数与表示数的字母连接起来的式子叫代数式。单独一个 或
一个 也叫代数式。
2、是由三项组成，他们分别是
解读教材
3、认识代数式
像等，都是数与字母的 形式的代数式叫做单项式。单项式的次数是指 ,单项式的系数是指 。
注意：①单独的一个数字或一个字母也是单项式，单独一个非零数的次数是0。
②π是数字而不是字母。
填表

数字因数
单项式的系数
所含字母
字母的指数
所有字母的指数和
单项式的次数
几次单项式

x，y
1，2
3
3
三次单项式

请举出三个单项式 请举出两个三次单项式 。
思考：已知是一个五次单项式，求的值。
4、认识多项式与整式
几个 叫做多项式， 叫做多项式的项， 叫做多项式的次数。 和 统称整式。
注意：多项式中各项的符号跟着每项走，如，我们把该多项式看作与两项组成。
练习：①；②；③3；④；⑤；⑥；⑦。
单项式： ； 多项式： ；
整式： 。
填表
多项式
项
各项次数
最高次数
多项式的次数
几次几项式

,,1
2,1,0
2
2
二次三项式

挖掘教材
例：指出下列代数式的相关概念
①②
解：①因为是单项式，它的数字因数是，所有字母的指数和为5
所以，它的系数为，次数为5次。
②因为是多项式，由三项组成，各项系数分别为，，，最高次数为11，所以它是一个十一次三项式。
【反思拓展】
1、本节课你学了哪些概念？ 2、单项式的次数和多项式的次数如何区分？
【达标检测】
1、单项式：的次数是 ，系数是 。
2、多项式：是 次 项式。最高次项的系数是 。
3、单项式：的系数是 ，如果它是一个十次单项式，则= 。
4、在下列各式：中，是单项式的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、下列说法正确的是（ ）
A、是多项式 B、是三次单项式，系数为
C、是五次多项式 D、是一次单项式
6、如果一个多项式是五次多项式，那么（ ）
A、这个多项式最多有6项 B、这个多项式只能有一项的次数是5
C、这个多项式一定五次六项式 D、这个多项式最少有两项，并且有一项的次数是5

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【学习课题】第2课时 整式的加减（1）
郫县四中 刘谋其
【学习目标】1.理解整式加减法法则。2.运用法则进行整式的加减运算
【学习重点】简单的整式的加减运算，正确去括号，合并同类型
【学习难点】正确去括号，合并同类项
【学习过程】
学习准备
1、 同类项的概念:两个单项式所含字母____，并且相同字母的_______相同，这样的项叫同类项。
练习：判断下列哪些组为同类项________________
（1）和 （2）和 （3）和 （4）和
2、合并同类项法则：两个同类项相加，________相加，_____________________不变。
3、去括号法则：括号前是“-”，去掉“-”及括号，括号里各项的符号都要变号；
括号前是“+”，去掉“+”及括号，括号里各项的符号都不变号。
计算： ______ ； =______ ； = ______； =______。
解读教材
4、对于两位数24=2×10+4；交换个位数字与十位数字得42=4×10+2
将两个数相加24+42= 。
模仿上题（1）15=___ + ；交换个位数字与十位数字得51=___ + 。将这两个数相加15+51= 。
（2）用a表示十位数字，b表示个位数字，则这个两位数为 ，交换个位数字与十位数字得 ，将这两个数相加 + = 。
总结：这样两个两位数的和是 的倍数。
5、对于
（去括号法则）
（ + ）+（ + ）（合并同类项）

总结：整式加减运算的步骤。（1）有括号的先 ；（2） 。
总结：对此类题型
（1）先列式。(注：对几个整式的求和与求差，必须将几个整式加上括号。体现整体思想)
（2）用整式加减运算法则进行运算。

即时练习：（1） （2）

挖掘教材
6、例1：求与的差。
解： （添括号）
= （去括号）
= （合并同类项）
即时练习：
（1）求的和。 （2）

注意运用方程思想。
例2、已知一个多项式加上等于，求这个多项式
解：设这个多项式为x。
根据题意
得

注：将整式加上括号。（整体思想）

例3、已知：
求的值

=
=
=
【反思拓展】
整式加减运算的步骤(1) 根据题意列出代数式 (2) 有括号的要 (3) .
注：整式加减的结果仍为整式。
【 达标检测】
7、

8、求与的差。

9、一个多项式加上得，求这个多项式.

10、求下列整式的值

(1)求A与B的差 (2) 求2A－3B

【资源链接】
对多项式按某个字母降幂排列：数学中有一些约定，按约定做题会让我们的答案更能被认可而不会造成过失性丢分，同时更符合数学语言习惯，有利于提高数学素养。所以现在约定，写一个多项式，通常按里面的某个字母降幂排列。常数项通常在最后。
例如：应写成
如果有多个字母，通常按英文字母顺序在前的字母降幂排列，如,应写成
练习：将下列多项式按某个字母降冥排列：
（1） （2） （3）
【学习课题】 第3课时 整式的加减（2）
郫县四中 刘谋其
【学习目标】1． 能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．
2． 发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，
【学习重点】去括号法则，括号外由系数的，准确应用法则将整式化简。．
【学习难点】准确理解去括号法则、化简以及解决实际应用题，
【学习过程】
总结：利用乘法分配律将括号外的 乘以括号内每一项。

学习准备：
1、回忆乘法分配律法则，完成下列各题。
（1）= ；（2） 。
（3） 。
解读教材（阅读10-11页）
2、首先观察这四个小屋子的特点，它所增加的棋子都在每条边上增加的，
第一个有 条边，
相比第一个房子，第二个每边增加 枚，结果为5+6 = 。
相比第一个房子，第三个每边增加 枚，结果为 + = 。
相比第一个房子，第n个每边增加 枚，结果为
即时练习：
观察下图并填表

梯形个数
1
2
3
4
5
……
n
梯形周长

……

总结：去括号时用到了什么运算律？
乘法分配律：括号外的系数分别 括号里的 。

3、例1、
（去括号）
（合并同类项）
即时练习：（1）

（2）－（）－

挖掘教材：4、括号多几重。
总结：多重括号，先去 括号，再去 。

例2、
=（先去 括号）
= （再去 括号）
= （合并同类项）
例3：
=
=
注：将看作一个整体，即与 为同类项，
将看作另一个整体，即 与 为同类项。
即时练习：

5、例4：若多项式不含的一次项，求
解这种题型的步骤：
1、 找出所有的项（根据题意具体找，比如该题是一次项）
2、 列式
3、 求值
分析：多项式中一次项有两次项： （找一次项）
多项式中不含一次项，即要求所有一次项的系数和为0，
即（列式）
解：

【反思拓展】
（1）去括号的法则？怎样合并同类项？
（2）计算整式加减法的一般步骤？对于括号外有系数的怎样算？
【 达标检测】
6、 7、

8、 9、

10、

【学习课题】 第4课时 同底数幂相乘（1）
郫县四中 刘谋其
【学习目标】 1、能叙述同底数幂的乘法性质并会用式子表示；
2、能根据同底数幂乘法性质进行简单的计算。
3、体会和感悟由特殊到一般的归纳思想方法。
【学习重点】 同底数幂的乘法法则及简单运用。
【学习难点】 探索同底数幂的乘法法则，运用公式计算中处理混合运算问题。
【学习过程】

[学习准备]
1． 1、（1）乘方运算的结果叫做幂，幂 ____数
____数

（2）填空：=( )×( )×( ) = =
2、根据乘方的意义“做一做”：
（1）
（2）
[提示]观察（1）（2）的运算结果，你能否直接写出下面（3）（4）的结果。
（3） （4）
[想一想]上面（1）—（4）的计算，有什么共同规律？
我的猜想是
你能用式子表示吗？
（这种由几个特殊例子得到对类似题也有用的结论的方法是一种常用的“特殊到一般”的数学方法）。
3、（1）阅读14页 第一段 ，再现过程：

归纳（文字语言）：
式子表示：
（2）理解这个公式要注意哪些关键词？（相乘的是幂，实际进行运算的是指数，把它们相加）
（3）记忆公式和它的语言描述。
（4）计算
例1 计算 （同底数幂的乘法）
解：原式= （底数不变，指数相加）
=
即时练习：计算：
① ② ③
= = =
= = =
学师强调：①（）指数为1；③指数要化简。
5、简单应用：
（1）判断下列计算是否正确，并简要说明理由。
① ( ) ② ( )
③ ( ) ④ ( )
（2）快速计算：① ② = ③ = ④=
挖掘教材：
6、由可拓展为 (m、n、p为正整数)
即时练习：
① ②
③
7、与合并同类项混用；
即时练习：
① ②
③
反思小结：
1、今天学习的公式叫做 ，它的语言叙述 。
它的公式写做 ，公式中对哪些字母有什么要求？
2、填表：

合并同类项
同底数幂的乘法
底数

指数

（备注）

[达标检测]
一、判断题：
① ( ) ② ( )
③ ( ) ④ ( )
二、快速计算：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
【资源连接】
光的速度约为千米/秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，那么地球距离太阳大约为千米，为了对这个距离有更感性的认识，我查了一下，波音767喷气式客机的速度约为千米/时，如果可能，它不停地飞，从地球飞到太阳要年！
【学习课题】 七（下）第一章 第5课时 同底数幂相乘（2）
郫县四中 刘谋其
【学习目标】 1、能熟练根据同底数幂乘法性质进行的计算
2、会灵活处理同底数幂乘法中的符号问题及公式逆用问题。
3、对于底数为较复杂的多项式，会用“整体”思想进行运算。
【学习重点】 同底数幂的乘法的灵活运用。
【学习难点】运用公式计算中处理符号、逆用问题。
【学习过程】
[学习准备]
1、同底数幂相乘，底数 ，指数 ，用符号表示为 ，
。
2、计算
① ②
③ ④

挖掘教材
3、底数变复杂啦！
计算：①= ②= ③=
④= ⑤= ⑥=
小结：不论底数多复杂，关健是认清是否是“同底数”。
4．负号来捣乱了！
计算
同学可能感受到了这个小题比前面的都难算，原因是“底数不同”了。但是与不同的是，它们的底数只是符号不同而已，我们完全可以用初一学习的知识先解决“各个幂中的负号问题”，再用“几个负数相乘的原则”解决符号问题，就能转化成今天所学的知识了。

对比观察这个结果与原式，你有不经过中间两步直接得到答案的小窍门吗？
例：
（解决“各个幂中的负号问题”）
（用“几个负数相乘的原则”解决符号问题）
（同底数幂相乘）
即时练习：① = ② = ③ = ④=
⑤= ⑥ =
5．公式反着用呢！
（1）请将公式的左右两边对调写一遍：________________________________________.
（2）填空： =
（3）若，求的值。
解：（同底数幂相乘公式逆用）
（整体代入）

即时练习：已知，求的值。

反思小结：1、对于同底数幂相乘中的负号问题，应根据 来处理。
2、对于底数较复杂的多项式，应 来处理。
3、别忘了，公式可反着用，即am+n= 。
[达标检测]
1、计算：
① ②

③ ④

2、（1）已知，求n的值

3、（1）已知，求的值；

（2）已知，求的值

【学习课题】 第6课时 幂的乘方
郫县四中 刘谋其
【学习目标】 1、能理解幂的乘方的意义，并能用符号语言准确描述。
2、经历探索幂的乘方的运算法则过程，理解幂的乘方的运算法则，
并进一步发展推理及归纳能力。
3、会区分同底数的乘法、幂的乘方等运算。
【学习重点】 理解并正确运用幂的乘方及运算。
【学习难点】 幂的乘方的探究过程及应用。
数
【学习过程】

学习准备
数
1、 幂
2、乘方的意义
=10× × ··=
3、= × × （乘方的意义）
= （同底数幂的乘法）
=
解读教材：
4、理解冥的乘方的含义
再求n次乘方运算
底数是一个幂
5、推而广之：
= =
= =
= =
6、再现过程：

=
= （m , n都是正整数）
7、你能用语言描述这一法则吗？
清晰地写出这个法则： = 。
即时训练：
（1）= （2）= （3）=
（4）= （5）= （6）=
挖掘教材：
8、负号捣乱来了：
= = —=
9、同底数幂相乘也出现了：
= =
10、合并同类项也出现了：
=
11、公式反着用了：

12、
反思小结：
1、

合并同类项
同底数冥相乘
冥的乘方
公式

底数

指数

2、= =
【达标测评】
一、选择题：
1、下列算式：中，错误的有（ ）
A、0个 B、3个 C、2个 D、1个
2、下列各题计算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、下列计算是否正确，请改正。
①、 ②、
③、 ④、
三、快速计算。
①、= ②、= ③、=
④、= ⑤、=

【学习课题】 第7课时 §1.4积的乘方1
郫县四中 刘谋其
【学习目标】 1、能说积的乘方性质，并会用式子表示。
2、了解积的乘方性质的推导过程和根据。
3、会进行积的乘方的运算。
【学习重点】 理解并正确运用积的乘方的运算法则。
【学习难点】 积的乘方的运算法则的探究过程。
【学习过程】
学习准备：1、填表：

合 并 同 类 项
同 底 数 的 幂 相 乘
幂 的 乘 方
公 式
系数________，字母及字母的指数______

底 数

指 数

例 题

2、快速计算
① ②= ③=
④= ⑤= ⑥=
阅读理解
→指数，求n次乘方幂的运算
（一）解读教材
↓
底数ab是一个乘积
3、理解积的乘方的含义：

底数是_______ 指数是________ ,表示_____________________
底数是_______指数是________ ,表示_____________________
4、公式的推导：
① （乘方的意义）
（乘法的交换律）

5、对于等式你能说明理由吗？
（ ）
（ ）

（ ）（ ）（为整数） 积的乘方等于每个因式的_______________________。
想一想：三个或三个以上的乘方有同样的性质吗？ ____________
（二）挖掘教材
一般地，我们将20以内的平方数，5以内的立方数，以内的数算出结果。
5、直接运用积的乘方公式进行计算。
① ②
解： （积的乘方） 解：
=（ ）2（ ）2 （每个因式的乘方的积） = )=====2===(=)2 )2( )2
= =
即时练习：① ② ③ ④
6、积的乘方公式与幂的乘方公式，同底数幂相乘公式的综合运用。
① ② ③
解：原式=( )n( )n 解：原式=( )2 )2 解：原式=( )2( )2
= = =
小结：（1）题先积的乘方，再幂的乘方；
（2）题先积的乘方，再同底数幂相乘；
（3）题先积的乘方，再幂的乘方，最后才同底数幂相乘。
即时练习：
计算：①= ②= ③ = ④
【反思拓展】：1、注意积的乘方与幂的乘方法则的区别；
2、积的乘方是指每个因式的乘方的积，而不是指个别因式乘方
3 、运用积的乘方时要注意符号
【达标检测】
1、判断题：
① ( ) ② ( ) ③ （ ）
④()3=3( ) ⑤ （ ） ⑥ ( )
二、计算结果正确的是( )(2006安徽省中考题)
（A） （B） （C） （D）
三、计算
① ② ③ ④

⑤ ⑥

【学习课题】 第8课时 §1.4积的乘方2
郫县四中 刘谋其
【学习目标】 1、熟记积的乘方运算法则。
2、能运用积的乘方性质的解决实际问题。
3、能熟练把积的乘方性质与幂的乘方，同底数幂相乘进行混合运用。
【学习重点】 灵活运用积的乘方的运算性质解决有关综合题型。
【学习难点】 积的乘方与其它性质的混合运用。
【学习过程】
学习准备：1、填表：

合 并 同 类 项
同底数的幂相乘
幂 的 乘 方
积 的 乘 方
公 式
1、系数________
2、字母及字母的指数_____

底 数

指 数

例 题

2、快速计算：
① ② ③ ④
阅读理解
（一）解读教材
根据P20页填空。
例：地球可以近似地看成是球体，如果V、r分别代表球的体积和半径，那么V= ，地球的半径约为 千米，它的体积大约是多少立方千米？
解：V=πr3 =π×( )3=π×( )×( )≈
地球的体积大约是 千米3。
即时练习：一个正方体的棱长为2×103毫米，它的体积是多少米3？它的表面积是多少米2？
（二）挖掘教材。
4、积的乘方性质的逆用，即：
例：=（ × =
即时练习：
① （ ）2 =________ ②
（为整数）
5、底数为多项式的积的乘方性质应用。
例：将化为的形式。
例：
解：原式= 解：原式
=

即时练习：① ②
6、积的乘方与其它公式的综合运用。
① ②
解：原式= 解：原式=
= =
小结：运算顺序是 先乘方 ，再乘除，最后进行加减。
即时练习：
计算：① ②
7、积的乘方的拓展题型。
例：，求？
解： 例 ：，求：、
解：

= ×
=
即时练习：①已知求的值。
②已知,求的值。
【反思拓展】：1、积的乘方的逆用可使计算简便。
2、幂的三条运算法则：是整式乘法的基础，要正确使用。以防混淆，应用则时应注意法则中的条件和结论。
3、计算时，要注意运算顺序先 再 ，最后 。
【达标检测】
1、化简结果是( ) (江西中考题)
(A)0 (B) (C) (D)
2、若,求：
3、若,求的值。
4、计算：
① ② ③(-)2008×(2)2006 ④
5、已知，求
6、若求：

【学习课题】 第9课时 同底数幂的除法
郫县四中 刘谋其
【学习目标】 1、理解同底数幂的除法性质及推导过程；
2、能熟练运用同底数幂的除法性质进行计算；
2、会用=（是正数）及 ()进行计算。
【学习重点】 同底数幂除法计算。
【学习难点】 零指数和负整指数的意义。
【学习过程】
学习准备：
1、回忆前几节课所学的知识点(完成下表)

公 式
底 数
指 数
例 如
同底数幂相乘

幂的乘方

积的乘方

化为幂的乘方的积

合并同类项

底数
指数
系数

2、快速计算：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
解读教材：
3、根据乘方的意义“做一做”
⑴ )

5个2 （ ） 2个2
⑵

（ ） （ ） （ ）
观察⑴⑵的运算结果，你能否直接写出下面⑶⑷的结果？试一试。
⑶ ⑷
想一想上面的（1）----(4)的计算，有什么共同规律？把你的猜想用式子表示出来。
我的猜想是：_______________________________________________________________________
阅读教材，再现公式的推导过程：
做一做：计算下列各式：
⑴ ⑵
⑶ =都为正整数，
想一想：为什么不能为0？答：_____________________________________
同底数幂的除法运算性质（法则）：
都为正整数，
即：同底数的幂相除，底数 ，指数 。
4、公式的简单运用：
例1：计算
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：（1）_________ （2）=________
（3）（4）
（5）
（6）
关注：1、(2)(3)(6)中的看成一个整体（相当于法则中的）；
2、当指数相减时，若减数是多项式，注意添上括号。
即时练习1：1、快速计算：
(1) (2) (3)
(4)
5、零指数、负整指数
完成教材P23的“想一想”和“猜一猜”。
由此可得到结论： (a≠0,p为正整数)
如：⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
由⑷⑸可得“规律”：

例2.用小数或分数表示下列各数：
(1) (2) (3)
解：(1)原式== ； (2) 原式= × ；
（3）原式=1.6×1.6×0.0001=
即时练习2：快速计算：

（四）挖掘教材：
6、法则可以逆着用
(1)若,求的值。
(2)若，求的值。
解：⑴ 由已知
⑵ 由已知
7、不可小看几个法则中的条件“a≠0”
若有意义，求x的取值范围。
解：由题意得∴当x≠3且x≠2时，此代数式有意义。
8、升学考试必不可少的题型。
计算：
解：原式=_______+______
即时练习3：1、若无意义，且，求的值。
2、计算：
【反思拓展】
今天我们学习了同底数的幂_______的性质，用式子可表示为： (a≠0,m,n都为正整数，且m＞n)，还总结出了两个“规定”：， (a≠0,p为正整数)。
你能区别前后所学的几个性质的不同之处吗？
今天同学们一共独立完成了17个小题（包括快速计算，即时练习1、2、3）对17个题得“特优”，对14——16得“优”，对11---13个题得“良”，对8---10个得“中”。我做对了____个题，得的是______。
【达标检测】
1、判断正误，并改错：
(1)　　 　 (2)　　 (3)
(4) (5) (6)
2、快速计算：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
3、几个法则的综合运用：
计算：(1) (2)
(3)
4、解答题：
(1)若，求m和n的值。

(2)若（ ）；求括号内的代数式。

(3)若无意义；求的值。

(4)若，求的值。
【资源链接】
同学们还记得“科学记数法”吗？
如将1507300科学记数法：
规定：将一个数写成的形式，并且为整数，叫做这个数的科学记数法。
逆用负整指数的意义可将绝对值小于1的数进行科学记数。
如0.0035=3.5×=3.5×=3.5×
0.0000305=3.05×=
观察上面的例子你能找到规律迅速将下列各数科学记数吗？试一试。
0.00057 0.0175 -0.000000234

【学习内容】 第10课时 整式及幂的性质复习课
郫县四中 刘谋其
【学习目标】 1、能熟练地掌握整式的有关概念；
2、熟练地掌握幂的运算性质；
3、能灵活地运用整式加减法及幂的运算性质解决相关问题，提高分析、解决问题的能力。
【学习重点】 正确运用所学法则进行综合运算。
【学习难点】 幂的性质的综合运用。
【学习过程】　学习准备：
1、填表：
整
式
单项式