手脑并用 玩转数学——以数学实验课“长方形纸片的折叠”为例.pdf

本文系江苏省教育科学“十四五”规划 年度青年教师专项课题“新课程标准下的初高中数学衔接的过渡研究”(C c/)的成果手脑并用玩转数学 以数学实验课“长方形纸片的折叠”为例 江苏省张家港市常青藤实验学校刘丹摘要:数学是研究数量关系和空间形式的科学,它源于对现实世界的抽象,通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象,可以得到数学的研究对象及其关系笔者以知识为载体,设计贴近学生生活且有一定思维价值的活动,变“听”数学为“做”数学,变“被动接受”为“主动探究”,使学生在课堂上手脑并用,更好地学习数学,培养学生自主探索、动手实践和合作交流的能力关键词:长方形纸片的折叠;数学实验课;数学核心素养教学背景 义务教育数学课程标准(年版)(以下简称“新课标”)明确指出,“教学活动是在教师引导下学生主动学习的过程有效的教学活动是学生学和教师教的统一,学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者与合作者”;教师引导学生“认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能,体会和运用数学的思想与方法,获得基本的数学活动经验;激发学生学习兴趣,引发学生积极思考,鼓励学生质疑创造,培养学生良好的学习习惯,使学生形成积极的情感、态度和价值观,逐步形成核心素养”基于新课标的理念,为了切实推进苏州市初中数学教学改革,培养学生的创新意识和实践能力,引导学生在真实的情境中发现问题和提出问题,运用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题,进一步帮助广大教师准确把握 数学实验手册 的编写理念和要求,探索“动手做数学”的数学实验教学价值,发挥数学实验教学在考试评价中的促进作用,以“基于实验工具使用的初中数学实验教学”为主题的苏州市第六届初中数学实验教学研讨活动如期开展作为一线教师,笔者有幸在本次活动中展示了“长方形纸片的折叠”一课为了继续深入探究数学实验课教学,笔者对本节课的教学设计进行整理教学目标与重难点教学目标:()理解纸片折叠前后包含的数量关系、位置关系、全等关系、特殊三角形等几何概念和性质;()掌握解决折纸问题的基本思维方法,在动手实践中解决实际问题,发现折纸的魅力;()经历操作、观察、归纳、概括和交流等活动,培养自主探索、动手实践和合作交流的能力教学重点:能够根据轴对称的性质,寻找折纸前后图形中的不变量与不变关系教学难点:掌握解决折纸问题的基本思维方法教学过程 情境引入欣赏折纸作品,观看折纸飞机的视频预设师生对话问题师:同学们好,大家还记得小时候和伙伴们一起玩的折纸游戏吗?折纸飞机、小纸船、小动物等都很有意思下面这段视频介绍了世界上飞得最远的纸飞机,让我们一起看看吧收语:小小的纸片,简单的折叠,其中却有可能蕴藏着丰富的数学知识,等待我们去探索和发现,让我们开启今天的探索之旅吧(教师板书课题)设计意图:以纸飞机的形象引入,从实物中抽象出数学模型,使学生感受数学的美,体会数学来源于生活 畅所欲言活动在一张长方形纸片上,怎样折出一个正方形?说一说你是如何操作的学生操作、展示、交流预设师生对话问题师:很好,那你能说一说它是一个正方形的理上海中学数学 年第期由吗?其他同学能用不同的方法进行说明吗?设计意图:学生通过实际动手操作,体会并总结操作中的要点,通过展示交流,得到基本的纸片折叠方法,领悟折叠的本质活动在一张长方形纸片上,怎样折出一个等腰三角形?说一说你是如何操作的学生操作、展示、交流预设师生对话问题图学生展示刚才折叠正方形的方法,发现正方形的一半恰好为一个等腰直角三角形师:很好,有其他不同的折法吗?学生展示沿矩形的对角线折叠,如图,使点D的对应点D 落在矩形的外部师:非常棒的思路!你能说明A C E是一个等腰三角形吗?还有其他不同的折法吗?学生 不 断 尝 试 后 得 到 如 图和 图所 示的折法图图设计意图:引导学生关注不同的折痕选择(折痕过对角线、折痕过一个顶点、折痕不过顶点),此活动培养了学生的动手能力、抽象能力和说理能力预设师生对话问题师:图中 有 哪 些 相 等 的 线 段,有 哪 些 相等的角?设计意图:引导学生发现折叠的本质是轴对称,折叠后得到的图形具有对称性和全等性,折痕具有平分的性质 合作探究图如图,矩形纸片A B C D中,A B,B C,设DA C,将AD C沿A C折叠至AD C,AD 交B C于点E算一 算()A E B()阴 影 部 分(A E C)周 长 是()求B E的长()你还能提出哪些问题?设计意图:从活动出发,抽象出一个常见的沿对角线折叠获得的图形设置求角度、周长、线段长度等小问题串,引发学生进一步思考,渗透解决翻折问题的基本解题方法和经验小问()为开放题,自行编题的过程活跃了学生的思维同时,教师也可以设置一道综合性较强的题目,提升学生思维的质量让学生感受并体会“折叠的本质是轴对称”,说出“对称轴的性质”,发现翻折问题中求线段的长往往与勾股定理密不可分,渗透方程思想 合作探究折一折矩形纸片A B C D中,A B,B C在A B边上找一点E,AD边上找一点F,将矩形沿着直线E F折叠,使点A对应点A 落在B C边上想一想点A 在B C边上移动 的 最 大 距 离为设计意图:将矩形的某个顶点翻折到矩形的对边上,这对学生对于图形的理解提出了较高的要求,需要学生根据题意不断动手尝试,教师要不断鼓励学生大胆试错“想一想”环节设置了求动点移动最大距离的问题,其目的是引导学生学会寻找翻折过程中的极限位置(如图所示),以此作为突破口,这是解决问题的难点通过课堂上的交流,学生从无思路到有方向,从浅尝辄止到深入探究图 合作探究图折一折如图,点M、N为矩形纸片A B C D一组对边的中点,将矩形的一角向内折叠,使点A落在直线MN上,得到落点A 和折痕B E,联结A A,延长E A 交B C于点F找出图中的等边三角形,并说明理由设计意图:让学生一边折纸一边交流,体会折痕的性质,关注“落点”的位置,启发学生紧紧围绕“等边三角形中的 角如何通过折纸产生”这一关键性问题,学生再次体会折叠的本质,并自然地将新知识内化,与已有的知识共同形成知识体系让上海中学数学 年第期学生感受折纸所体现的数学证明思想,变传统的接受学习为主动探究式的学习 我做设计师通过折叠长方形纸片,自己制作一副三角尺要求:()不借助其他任何工具;()写下简要的操作步骤学生先独立完成,然后展示交流;学生互相展示自己的设计图纸,可彼此点评、借鉴,鼓励创新思维设计意图:引导学生从合作探究的问题解决过程中寻找适合自己的折纸经验,鼓励学生大胆创新通过设计、折叠、制作一副三角尺,学生进一步理解折叠的本质,在做中学,提升分析问题和解决问题的能力 课堂小结()通过今天的学习,你有哪些收获?()完成数学活动日记设计意图:让学生分享对纸片折叠的认识,教师再对学生的观点进行总结研究折叠问题,要关注折叠前后的“不变量”和“变量”;要动手实践操作,研究折痕和“落点”;求线段长度常常和勾股定理、方程等紧密相连 课后思考尝试用三角形纸片折菱形设计意图:引导学生关注其他不同形状纸片的折叠问题,拓宽思路,提升解决问题的能力教学反思 利用学生熟知的情境设置教学本节课由“童年的纸飞机”引入,带领学生回顾折叠是重复使用对称和平分的概念,通过两个活动(在长方形纸片上折正方形、等腰三角形),带领学生体验折纸的魅力接下来利用三个活动探究、感悟折叠中的性质,活动引导学生归纳折叠的性质,并总结折叠中角、线段、三角形之间的关系;活动以不同的折叠对应的点位置的变化,使学生感受由静到动的转变,有利于思维的发散;活动是在长方 形纸片中 通过折叠找 到等 边 三 角形,学生给出了不同的方法,课堂高效而有活力整节课的内容由易到难,教师放手让学生操作交流,让学生感受到做数学的乐趣,课堂上设置的开放性问题让学生有了探究的兴趣,也能让学生将知识带出课 堂,在课后进 行 实 践,从 而 解 决 实 际问题 利用信息技术辅助课堂教学新课标指出:教师可以利用信息技术对文本、图像、声音、动画等进行综合处理,丰富教学场景,激发学生学习数学的兴趣和探究新知的欲望利用数学专用软件等教学工具开展数学实验,将抽象的数学知识直观化,促进学生对数学概念的理解和对数学知识的建构数学学习总给人严密、充满逻辑的抽象之感,作为数学教师,应通过数学实验(如学生喜闻乐见的折纸活动)帮助学生抓住其本质,了解它的变形和发展,以及与其他问题的关联本节课的教学设计遵循学生的学习规律,构建问题链,让数学思维顺畅有序,通过学生一系列的动手操作,数学思维自然生长在数学实验课堂环境中,学生有更多的时间和机会参与其中,兴趣更浓,小组合作学习真正发挥作用经过一次次的动手折 纸、操 作 与 说 理,学 生 的 思 维 必 然 经 历“感知表象抽象反馈再感知丰富表 象发展思维问题解决”这一螺旋上升的过程,这对培养学生的创新意识和实践能力大有益处,能够真正提升学生的数学核心素养 利用探究活动渗透数学思想中学数学教学越来越重视数学思想方法的渗透,实际教学中,很多课堂对数学思想方法的渗透只是停留在“贴标签”上所谓“贴标签”现象是指教师有“渗透数学思想方法”的观念,但缺乏深层次的理解,在教学中,对于数学思想方法,只是“空洞地说教”或“形式化地一提了之”,其教学行为不是出自教师内 心深处的教 学理解要 克服“贴标签”现象,教师必须深入学习、研究课标和教材,深入领会数学思想方法的内涵和意义,研究更贴近学生的、更具有数学素质教育意义的教学方法即思考数学思想方法的渗透能否拨动学生心灵深处的那一根弦?能否引领学生触类旁通?能否引领学生积极创造?数学教育家斯普根指出,“直觉思维当然很重要,但是在数学活动中,更重要、更高级的是反省思维”注重反思的教学能使学生真正抓住数学思维的内在本质,从而提升学生对数学思想方法的理解,并将其内化到数学学习中,“取得最佳教育效果的方法就是掩盖教育意图”本节课的设计基于数学“好玩”,“玩”中学数学,把数学思想设计在“玩”中,让学生默默体验,通过循序渐进的课堂教学,学生体会了相关思想方法新课标指出,有效的教学活动是学生学和教师教的统一,学生是学习的主体,教师是学习的组上海中学数学 年第期织者、引导者与合作者学生的学习应是一个主动的过程,认真 听 讲、独 立 思 考、动 手 实 践、自 主 探索、合作交流等是学习数学的重要方式教学活动应注重启发式,激发学生学习兴趣,引发学生积极思考,鼓励学生质疑问难,引导学生在真实情境中发现问题和 提 出 问 题,利 用 观 察、猜 测、实 验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题;促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能,体会和运用数学的思想与方法,获得数学的基本活动经验;培养学生良好的学习习惯,使学生形成积极的情感、态度和价值观,逐步形成核心素养参考文献中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准:年版S北京:人民教育出版社,黄晓雨数学实验教学:趣折相似巧生几何直观 以“折纸中的相似”为例J中学数学月刊,():张扬,王宗信变化基本图形生长关键能力 通过数学实验变化四边形进行单元教学的尝试J数学通报,():程花通过数学实验培养学生数学抽象素养 以苏科版“数学实验室”栏目素材为例J数学通报,():;(上接第页)要性和(),我们就有AN N BL CB LMACMANNB,所以N N,也就是说,A L,BM,CN都通过点O当然,共边比例定理不仅可以用来解决仿射几何问题下面的结果是三角形重心的一个性质:三角形内的点到三条边距离的乘积达到最大值,这个点一定是三角形的重心图 三角形重心的极值性质我们考察图,从三角形内部一点P向三条边作垂线,长度 分 别 是d,d,d,它们就是P到三条 边 的 距 离延 长A P交B C于点M我们知道三角形的面积SA B CSP B CSP C ASP A B(dB CdC AdA B)是一个常数根据AM GM不等式,我们知 道ddd(B CC AA B)SA B C,当dB CdC AdA B时,等式成立,从而ddd达到最大值这里的条件dB CdC AdA B等价于SP B CSP C ASP A B,P A B,P C A是共边三角形,根据共边比例定理,SP A BSP C A蕴含了BMMC,也就是说AM是中线同样的道理,C P,B P的延长线也分别通过A B和C A的中点,也就是说P是A B C的重心当然,面积方法并不是万能的,但是有时候会让证明变得出奇的简单出入相补法是我们的优秀传统文化,单单证明勾股定理还不足以让学生体会到它的精妙之处,它有许多的应用从现代来看,张景中先生利用共边比例定理处理几何问题也有独到之处因为起点不高,他写了好几本书向中学生介绍这个方法,有兴趣的读者可以去看他写的书面积法不仅可以应用在几何证明中,在代数恒等式或者三角恒等式的证明上也有些应用,而且往往简单明了,让人耳目一新,其中有丰富的教育价值可以挖掘参考文献李继闵九章算术校正M西安:陕西科学技术出版社,程贞一,闻人军周髀算经译注M上海:上海古籍出版社,吴 文 俊吴 文 俊 文 集 M济 南:山东教育出版社,舒尔茨,塞弗诺克,舒伊尔三S平面几何学M骆承绪,译骆师曾,校上海:世界书局,张景中几何新方法和新体系M北京:科学出版社,张景中新概念几何M北京:中国少年儿童新闻出版总社,张景中面积关系帮你解题M上海:上海教育出版社,上海中学数学 年第期