时间分数阶奇异摄动对流扩散方程的自适应网格算法.pdf

年月南宁师范大学学报(自然科学版)J u n 第 卷 第期J o u r n a l o fN a n n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l N o D O I:/j c n k i i s s n 文章编号:()时间分数阶奇异摄动对流扩散方程的自适应网格算法王伟,姜雨君,刘利斌(广西开放大学 文理学院,广西 南宁 ;南宁师范大学 数学与统计学院,广西 南宁 )摘要:该文提出一个求解时间分数阶奇异摄动对流扩散方程的自适应网格算法首先在均匀网格下利用L 格式对时间导数进行离散然后针对空间方向,在任意非均匀网格上建立相应的迎风有限差分方法,并利用网格等分布原理设计一个适合所有时间层的自适应网格算法最后用数值实验验证算法的有效性关键词:奇异摄动;C a p u t o分数阶导数;自适应网格算法中图分类号:O 文献标志码:A本文考虑如下的时间分数阶奇异摄动对流扩散问题:L u(x,t)DtuLx,u(x,t)f(x,t),(x,t)(,)(,T,u(x,)u(x),x(,),u(,T)u(,t),t(,T,()其中,Lx,u ux xa(x)ux xb(x)u;为摄动参数;Dt为C a p u t o分数阶导数,其定义为Dtu(x,t)()tu(x,s)s(ts)ds;a(x),b(x)与f(x,t)为充分光滑函数,且存在常数和使得a(x),b(x),x,()由条件()可知问题()存在唯一解,且该解当时在x处存在边界层时间分数阶偏微分方程在粘弹性力学、混沌学、生物学、金融财务等领域有着广泛的应用 大多数分数阶微分方程都无法精确求解,只有少数问题的精确解可由M i t t a g L e f f l e r等复杂函数来表示,但这些函数的计算比较困难因此分数阶偏微分方程的数值方法是当前计算数学领域中的一个热点课题S u n和Wu研究了C a p u t o时间分数阶扩散波方程的全离散有限差分方法,并在最大范数下利用能量法分析了离散格式的稳定性和收敛性L i n和X u针对一类()阶C a p u t o时间分数阶扩散方程,在时间和空间方向分别构造了均匀网格下的L 有限差分格式和高精度的G a l e r k i n谱方法 G a o和S u n研究了一类带R i e m a n n L i o u v i l l e分数阶导数的次扩散方程的高阶紧致差分方法,并证明了离散格式的精度在时间方向为阶,空间方向为四阶针对阶C a p u t o分数阶算子,A l i k h a n o v 提出了一个具有阶精度的有限差分格式,并将其应用在时间分数阶扩散方程上L v和X u 提出了一个阶的有限差分格式,并给出了严格的理论分析L i和X u 提出了数值求解时间分数阶扩散方程的时空谱方法,并给出了先验误差估计 M u s t a p h a和M c l e a n,针对时间分数阶扩散方程和扩散波方程,提出了间断有限元方法对于变时间分数阶次扩散方程,C h e n等 发展了一类高精度的有限差分格收稿日期:基金项目:广西自然科学基金(G X N S F AA )第一作者简介:王伟(),男,江西丰城人,讲师,研究方向:微分方程数值解通信作者简介:刘利斌(),男,湖南娄底人,教授,博士,硕士生导师,研究方向:微分方程数值解及其应用E m a i l:l i u l i b i n c o m 南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷式,并证明了离散格式的稳定性和收敛性当时间分数阶偏微分方程的二阶导数项包含摄动参数时,这类问题就称为时间分数阶奇异摄动问题最近,S a h o o和G u p t a 研究了问题()的参数一致的有限差分方法首先针对时间分数阶导数,在均匀网格下构造了一个L 有限差分格式;然后针对空间导数,在S h i s h k i n网格下构造了一个迎风有限差分格式;最后证明数值方法的一致收敛性姜雨君等 针对问题()的空间方向,在V u l a n o v i c B a k h v a l o v网格下严格分析了离散格式的一致收敛性本文在,的基础上进一步讨论问题()的数值算法首先,针对时间分数阶导数,在均匀网格给出L 离散格式然后,在空间方向,我们在任意网格下,给出一个迎风有限差分格式,并采用网格等分布原理,设计出空间方向的一个自适应网格生成算法最后,在该自适应网格下给出相应的数值实验时间方向半离散格式的构造令t,t,并将其均匀分成N个小区间,得均匀网格Nttii t,i,N,其中网格步长 tT/N为书写方便,令(x,t)Dtu(x,t)在该网格Nt下,采用经典L 格式对C a p u t o分数阶算子Dt进行离散,得(x,tj)()j ku(x,tj)u(x,tj)ttk stk(tjs)dsdj,()u(x,tj)dj,j()u(x,t)()j ku(x,tjk)(dj,k dj,k),()其中(x,tj)为(x,t)的近似值,u(x,tj)表示问题()的半离散解,且dj,k(tjtjk)(tjtjk)t,k,j,j,N因此,我们基于()构造时间半离散格式如下:Lu(x,tj)(x,tj)Lx,u(x,tj)f(x,tj),x(,),u(x,)u(x),u(,tj)u(,tj),()其中L表示时间方向的离散算子,j,N空间离散格式及自适应网格的构造差分格式的构造令MxxxxM 为空间上任意非均匀网格,其步长为hixixi,i,M对于给定的任意网格函数viMi,定义差分算子Dvivivi hi,Dvivi vihi,DDvii(vi vihi vivi hi),其中ihihi 在任意非均匀网格MxNt上,可得全离散格式LM,NUi DDUjia(xi)DUjib(xi)Ujif(xi,tj)(xi,tj),UiU(xi),xM,UjUjM,tN()其中Uji为u(x,t)在节点(xi,tj)处的数值解第期王伟,等:时间分数阶奇异摄动对流扩散方程的自适应网格算法 自适应网格算法奇异摄动问题自适应网格算法的关键技术是构造一个合适的网格控制函数M(x),使得存在一组网格xiMi满足如下网格等分布原理:xixi M(s)dsMM(s)ds,i,M()近年来,针对整数阶奇异摄动抛物方程的自适应网格算法,文献,在每个时间层上构造了一个自适应网格生成算法随后,C h e n和L i u 提出了一个适合所有时间层的自适应网格生成算法,其控制函数为M(x)m a xx,U(x),UN(x),()其中Uj(x)为经过点(xi,Uji)的分段线性插值函数,j,N,i,M基于此,本文在文 的基础上,选择()作为网格控制函数,构造出空间方向的自适应网格算法,其算法迭代步骤如下设k,设均匀网格xii/MMi为初始网格,并且选取常数C用于判断网格生成过程的终止对任意给定的k,计算出在网格点(x(k)i,tj)上方程()的数值解Uj,(k)i,i,M,j,N并令h(k)ix(k)ix(k)i,且l(k)ih(k)i m a xjN(DUj,(k)i)h(k)i m a xjN(Uj,(k)iUj,(k)i)为点(x(k)i,Uj,(k)i)与点(x(k)i,Uj,(k)i)之间的最大弧长,那么总弧长为L(k)Mil(k)iMih(k)i m a xjN(DUj,(k)i)Mih(k)i m a xjN(Uj,(k)iUj,(k)i)对现有的网格进行测试,如果有m a xiMl(k)iL(k)CM,那么转到第步,否则进行第步由弧长等分布原理生成新网格xk xk xk M,它满足x(k)ix(k)i m a xx,(U(k)(x),(U(k)N(x)L(k)M令kk,并基于第步进行迭代令x(k)i为最终网格,并计算出相应的解Uj,(k)i,迭代结束数值实验为了验证本文自适应网格算法的有效性,我们考虑如下时间分数阶奇异摄动对流扩散微分方程:Dtu ux x(x)ux(x)(t)u tetx(x),(x,t)(,)(,T),u(x,),x,u(,t)u(,t),t(,T()由于该问题的精确解没有给出,我们采用以下公式来计算数值解的绝对误差:EM,N m a xiMjN|UM,Ni,jUM,Ni,j|,其中UM,Ni,j表示问题()在网格MxNt下的数值解,UM,Ni,j是将网格MxNt下进行二等分加密后,在网格节点(xi,tj)上的的数值解相应的收敛阶的计算公式为 南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷M l o gEM,NEM,N当 k(k,),M j(j,)时,表给出了N 时,由本文的自适应网格算法得到的数值结果从表中可以看出,本文的自适应网格算法在空间方向的收敛阶为一阶表自适应网格方法计算得到的数值结果(N ,)M M M M M M eM E E E E E E pM eM E E E E E E pM eM E E E E E E pM eM E E E E E E pM eM E E E E E E pM eM E E E E E E pM 为了进一步展示出自适应网格生成算法的迭代过程,当 ,N ,M 时,图画出了每一次迭代过程中网格点的移动过程,图画出了相应的数值解的图像从图和图可以看出问题()的解在x处存在边界层图自适应网格算法的网格移动过程(,N,M)第期王伟,等:时间分数阶奇异摄动对流扩散方程的自适应网格算法 图问题()的数值解(,N,M)结束语本文给出了一类时间分数阶奇异摄动对流扩散方程的自适应网格算法首先在均匀网格上利用L 格式对时间分数阶导数进行离散然后基于任意非均匀网格,对空间导数采用迎风有限差分方法进行离散,得到相应的全离散格式接着利用网格等分布原理设计自适应网格网格算法值得指出的是本文的自适应网格算法能进一步推广到其他分数阶奇异摄动问题,甚至带弱奇性的时间分数阶偏微分方程参考文献:K i l b a sAA,S r i v a s t a v aH M,T r u j l l oJJ T h e o r ya n da p p l i c a t i o n so f f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sM E l s e v i e rS c i e n c eBV,Am s t e r d a m,H a j i p o u rM,J a j a r m iA,B a l e a n uD A ne f f i c i e n t n o n s t a n d a r d f i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m e f o r a c l a s s o f f r a c t i o n a l c h a o t i cs y s t e m sJ J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a l a n dN o n l i n e a rD y n a m i c s,():H a j i p o u rA,H a j i p o u rM,B a l e a n uD O nt h ea d a p t i v es l i d i n gm o d e c o n t r o l l e r f o r ah y p e r c h a o t i c f r a c t i o n a l o r d e r f i n a n c i a l s y s t e mJ P h y s i c a,A:S t a t i s t i c a lm e c h a n i c sa n d i t sa p p l i c a t i o n s,:L o n e s c uC,L o p e sA,C o p o tD,e ta l T h er o l eo f f r a c t i o n a l c a l c u l u s i nm o d e l l i n gb i o l o g i c a lp h e n o m e n a:ar e v i e wJC o mm u n i c a t i o n s i nN o n l i n e a rS c i e n c ea n dN u m e r i c a lS i m u l a t i o n,:K o r b e l J,L u c h k oY M o d e l i n go f f n a n c i a l p r o c e s s e sw i t has p a c e t i m e f r a c t i o n a l d i f f u s i o ne q u a t i o no f v a r y i n go r d e rJ F r a c t i o n a lC a l c u l u sa n dA p p l i e dA n a l y s i s,():J a j a r m iA,H a j i p o u rM,B a l e a n uD N e wa s p e c t s o f t h e a d a p t i v e s y n c h r o n i z a t i o na n dh y p e r c h a o s s u p p r e s s i o no f a f i n a n c i a lm o d e lJ C h a o sS o l i t o n sF r a c t a l s,:S u nZ,W uX Af u l l yd i s c r e t ed i f f e r e n c es c h e m e f o rad i f f u s i o n w a v es y s t e mJ A p p l i e dN u m e r i c a lM a t h e m a t i c s,:L i nY,X uC F i n i t ed i f e r e n c e/s p e c t r a l a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e t i m e f r a c t i o n a l d i f f u s i o ne q u a t i o nJ J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a lP h y s i c s,:G a oG,S u nZ Ac o m p a c t f i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m e f o r t h e f r a c t i o n a l s u b d i f f u s i o ne q u a t i o n sJ J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a lP h y s i c s,:A l i k h a n o vAA An e wd i f f e r e n c es c h e m ef o rt h et i m ef r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o nJ J o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a lP h y s i c s,:L vC,X uC E r r o r a n a l y s i so f ah i g ho r d e rm e t h o d f o r t i m e f r a c t i o n a l d i f f u s i o ne q u a t i o n sJ S I AMJ o u r n a l o nS c i 南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷e n t i f i cC o m p u t i n g,():A A L iXJ,X uCJ As p a c e t i m es p e c t r a lm e t h o df o r t h et i m ef r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o nJ S I AMJ o u r n a lo nN u m e r i c a lA n a l y s i s,:M u s t a p h aK,M c l e a nW P i e c e w i s e l i n e a rd i s c o n t i n u o u sG a l e r k i nm e t h o d f o r a f r a c t i o n a l d i f f u s i o ne q u a t i o nJ N u m e r i c a lA l g o r i t h m s,:M u s t a p h aK,M c l e a nW S u p e r c o n v e r g e n c eo f ad i s c o n t i n u o u sG a l e r k i nm e t h o df o r f r a c t i o n a l d i f f u s i o na n dw a v ee q u a t i o n sJ S I AMJ o u r n a l o nN u m e r i c a lA n a l y s i s,:C h e nCM,L i uF,A n hV,e t a l,N u m e r i c a l s c h e m e sw i t hh i g hs p a t i a l a c c u r a c y f o r av a r i a b l e o r d e r a n o m a l o u s s u b d i f f u s i o ne q u a t i o nJ S I AMJ o u r n a l o nS c i e n t i f i cC o m p u t i n g,:S a h o oSK,G u p t aV Ar o b u s tu n i f o r m l yc o n v e r g e n t f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e f o r t h e t i m e f r a c t i o n a l s i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e mJ C o m p u t e r sa n dM a t h e m a t i c sw i t hA p p l i c a t i o n s,:姜雨君,陈建伟,刘利斌,时间分数阶奇异摄动对流扩散方程参数一致的有限差分方法J南宁师范大学学报(自然科学版),():G o w r i s a n k a rS,N a t e s a nS U n i f o r m l y c o n v e r g e n t n u m e r i c a lm e t h o d f o r s i n g u l a r l yp e r t u r b e dp a r a b o l i c i n i t i a l b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s w i t he q u i d i s t r i b u t e dg r i d sJ I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fC o m p u t e r M a t h e m a t i c s,:G o w r i s a n k a rS,N a t e s a nS R o b u s tn u m e r i c a l s c h e m e f o r s i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o n d i f f u s i o np a r a b o l i c i n i t i a l b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so ne q u i d i s t r i b u t e dg r i d sJ C o m p u t e rP h y s i c sC o mm u n i c a t i o n s,:C h e nY,L i uLB A na d a p t i v eg r i dm e t h o df o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e dt i m e d e p e n d e n tc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e m sJ C o mm u n i c a t i o n s i nC o m p u t a t i o n a lP h y s i c s,:A nA d a p t i v eG r i dA l g o r i t h mf o rT i m e F r a c t i o n a l S i n g u l a r l yP e r t u r b e dC o n v e c t i o n D i f f u s i o nE q u a t i o n sWAN G W e i,J I AN GY u j u n,L I UL i b i n(L i b e r a lA r t sC o l l e g e,G u a n g x iO p e nU n i v e r s i t y,N a n n i n g ,C h i n a;S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,N a n n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y,N a n n i n g ,C h i n a)A b s t r a c t:T h i sp a p e rp r o p o s e sa na d a p t i v eg r i da l g o r i t h mt os o l v et i m e f r a c t i o n a l s i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s W e f i r s t d i s c r e t i z e t h e t i m e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v eb yu s i n g t h eL f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m eo nau n i f o r m m e s h,t h e nd i s c r e t i z et h es p a t i a ld i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e sb yt h eu p w i n df i n i t ed i f f e r e n c es c h e m eo na na r b i t r a r y n o n u n i f o r m g r i d,a n d d e s i g na n a d a p t i v eg r i da l g o r i t h mb a s e do nt h em e s he q u i d i s t r i b u t i o np r i n c i p l e F i n a l l yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h i sa l g o r i t h mi sv e r i f i e db yn u m e r i c a l e x p e r i m e n t s K e yw o r d s:s i n g u l a r l yp e r t u r b e d;C a p u t of r a c t i o n a l d e r i v a t i v e;a d a p t i v eg r i da l g o r i t h m 责任编辑:班秀和 见习编辑:彭喻振