“一例三练”数列.doc

本节编者：崔君强
“一例三练”数列
一、归纳与猜想
典例1：（不完全归纳）已知数列满足，则=（ ）
(A) 0 (B) (C) (D)
答案：B
解析：通过计算，得到，，，不完全归纳得数列周期为3，所以，得，选择B。
相关练习：
1、若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3，n∈N*)，则a17＝(　　)
A．1 B．2 C． D．2－987
答案：C
解析：由已知，得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝.
2、数列{an}满足an＋1＝
若a1＝，则a2 011等于(　　)
A.　　 　B.　　 　C.　 　　D.
答案：C
3、已知数列{xn}满足xn＋3＝xn，xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，则数列{xn}的前2010项的和S2010为____________．
答案：1340
典例2：（不完全归纳）数列1，，，，…的一个通项公式是(　　)
A． B． C． D．
答案：D
解析：∵1可以写成，∴分母为3,5,7,9，即2n＋1，分子可以看成1×3,2×4,3×5,4×6，故为n(n＋2)，即。
此题也可用排除法求解，只需验证当n＝1时，A选项为，B选项为，C选项为，均不为1，故排除A、B、C，从而选D
相关练习：
1、写出下列数列的一个通项公式
（1）、1、－1、1、－1、……
答案：或
（2）、9、99、999、9999、 ……
答案：
（3、）、、－、、－、……
答案：
（4）、1、3、1、3、……
答案：
2、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有___________个点.
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答案：
3、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第n个图案中有白色地面砖 块．
答案：
4、观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝
（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为___________________.
答案：13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）
典例3：（完全归纳）将数列1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、……，按如下分类分组，（1）、（3、5）、（7、9、11）、（13、15、17、19）、（21、……）、……，第n组有n个元素，则第n组的第一个元素是_____________；
答案：
解析：利用完全归纳，找到第n组的第一个元素在原数列中是“第几个”（第个），然后代入原数列的通项公式解决。
相关练习：
1、编辑一个运算程序：，，，则的输出结果为___________.
答案：2007
2、右表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行，第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则第1列的公差等于 ，第3列的公差等于 ，a83等于 .a ij等于 .
答案：；；；；
3、数列1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、6、……..的第1000项等于（ ）
A、42， B、45， C、48， D、51
答案：B
二、与有关的问题
典例1：（是具体已知式）已知数列的前n项和，求数列的通项公式
答案：
解析：由于是具体已知式，因此可利用公式，用“算术”方法求解，注意检验时是否满足。
相关练习：
1、设数列的前n项和，则的值为（ ）
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
答案：A
2、已知数列的前n项和，求数列的通项公式
（1）、Sn=n2+4n
答案：
（2）、Sn=3n-
答案：
（3）、Sn=
答案：
3、设为等比数列的前项和，已知，，则公比（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
答案：选B.
典例2：（不是具体已知式）已知数列{an}满足条件：Sn=2an+3，求an
答案：
解析：由于不是具体已知式，而是由递推式给出，因此可用“代数”方法解决。
由已知得，两式相减，得，
即，即，
所以数列是公比为2首项为的等比数列，得
相关练习：
1、已知数列{an}满足条件：Sn+an=2n+1，求an 。
答案：
2、已知数列{an}满足条件：Sn+1+Sn=2an+1且a1=3，求an 及Sn。
答案：，
3、已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项公式an为__________
答案：
三、求和问题
典例1：（等差数列求和）若数列{an}的通项为an＝4n－1，bn＝，n∈N*，则数列{bn}的前n项和是(　　)
A．n2 B．n(n＋1) C．n(n＋2) D．n(2n＋1)
答案：C
解析：a1＋a2＋…＋an
＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n－1)
＝4(1＋2＋…＋n)－n＝2n(n＋1)－n
＝2n2＋n，
∴bn＝2n＋1，
b1＋b2＋…＋bn＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n＋1)
＝n2＋2n＝n(n＋2).
相关练习：
1、已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝(　　)
A．66　　　　B．65　　　　C．61　　　　D．56
答案：A
2、已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn，求an及Sn；
答案：Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
3、
典例2：（等比数列求和）已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　)
A.或5 B.或5 C. D.
答案：C
解析：若q＝1，则由9S3＝S6，得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2.
故an＝a1qn－1＝2n－1，＝n－1.
于是数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5＝＝.
相关练习：
1、若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则前8项的和S8＝__________.(用数字作答)
答案：255
2、已知是公差不为零的等差数列，a1＝1，且成等比数列.求数列的前n项和。
答案：
3、
典例3：（差比数列求和）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝19，a5＋b3＝9，则数列{anbn}的前n项和Sn＝__________.
答案：2n＋1(n－1)
解析：由条件易求出an＝n，bn＝2n－1(n∈N*)．
∴Sn＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，①
2Sn＝1×2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，②
由①－②，得
－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n，
∴Sn＝2n＋1(n－1).
相关练习：
1、计算：Sn=+++… …+
答案：
2、已知，求Sn 。
答案：
3、已知，求Sn 。
答案：
典例4：（拆项（差）求和）数列中，通项公式，设，则数列的前n项和为Sn= ；
答案：
解析：∵an＝2n－1，
∴bn＝＝.
∴Sn＝
＝＝.
相关练习：
1、已知= ，则=___________；
答案：
2、已知an=，则=___________；
答案：
3、已知an=，则=___________；
答案：
4、已知an=，则=___________；
答案：
典例5：（拆项（和）求和）、已知an= ，则________；
答案：
解析：，所以
相关练习：
1、求Sn=3+33+333+… …+的值。
答案：
2、已知{}是各项均为正数的等比数列，且,

(I)求{}的通项公式;
(II)设,求数列{}的前n项和．
解答：（Ⅰ）设公比为，则，由已知有

化简得
又，故，, 所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

因此

3、

四、递推公式问题
典例1：（两项常系数问题）已知求
答案：
解析：将已知递推公式变形为，可得为等比数列，在求解可得。
相关练习：
1、数列满足（）, 那么的值为( )
A. 4 B. 8 C. 15 D. 31
答案：C
2、在数列｛an｝中，若（n≥1），则该数列的通项an=_________；
答案：
3、已知，求
答案：
典例2：（累加累乘问题）已知，求
答案：an =
解析：由已知递推公式，写出n-1个式子，累加可得结论。
相关练习：
1、在数列中，，，则=（ ）
A． B． C． D．
答案：A
2、已知a1=2，，求
答案：
3、已知a1=2，,求
答案：
典例3：（分式递推公式问题）已知a1=1， (n∈N)，求
答案：
解析：将已知递推公式取倒数，得，可得是等差数列，再求解。
相关练习：
1、
2、
3、
典例4：（构造新数列问题）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有
a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2
（Ⅰ）求a3，a5；
（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.
解析：(1)由题意，令m＝2,n=1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6
再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20
(2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得
a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8

即 bn＋1－bn＝8
所以{bn}是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列
则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2
另由已知(令m＝1)可得
an＝-(n－1)2.
那么an＋1－an＝－2n＋1

＝－2n＋1
＝2n
于是cn＝2nqn－1.
当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.
两边同乘以q，可得
qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.
上述两式相减得
(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn
＝2·－2nqn
＝2·
所以Sn＝2·
综上所述，Sn＝
相关练习：
1、已知f(x)=,数列{an}满足an=f(an-1) ，(n＞1 , a1≠0)，求
答案：
2、设数列{an}的前n 项和为Sn，且a1=1 , Sn+1=4an+2 (n∈N), 则：
⑴ 设bn=an+1-2an ，求bn 。
⑵ 设cn=，求cn 。
⑶ 求an 。
⑷ 求Sn 。
答案：（1）；（2）；（3）；（4）；
3、已知数列{an}中，a1=2p，an=，(p为常数，且p≠0 ) ，bn=，求证：{bn}为等差数列，并求出bn、an
答案：
五、数列综合问题举例
1、（灵活机变能力）已知数列中，，且，其前项和为，且当时，．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若，令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）当时，，
化简得，
又由，可推知对一切正整数均有，
∴数列是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列的首项为1，公比为，
∴．
当时，，
又，
∴
（Ⅲ）当时，，此时

，
又，
∴
，
当时，

．
若，则等式为，不是整数，不符合题意．
若，则等式为，
是整数，∴是5的因数．
∴当且仅当时，是整数， ∴
综上所述，当且仅当时，存在正整数，使等式成立．
2、（转化变换能力）已知数列满足，点在直线上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，，
求的值；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，求证：．
解：（Ⅰ）∵点在直线上，∴
，是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴（）．
（Ⅱ）∵，
∴，∴
∴；
当时，
(Ⅲ)由（2）知，，
∴=
=
=
==2（）
当时，
=2（）
∴=<
=1+2()<
∴<,
∴．
3、（阅读理解能力，海淀一模20题）已知每项均是正整数的数列：，其中等于的项有个，
设 ， .
（Ⅰ）设数列，求；
（Ⅱ）若数列满足，求函数的最小值.
解：（1）根据题设中有关字母的定义，

（2）一方面，，根据“数列含有项”及的含义知，
故，即 ①
另一方面，设整数，则当时必有，
所以
所以的最小值为.
下面计算的值：

∵ ， ∴
∴最小值为.
4、有关数列和式不等式问题（放缩方法）：
有三类，（1）求和：可直接求和；可放缩求和；（2）不求和：单调性；（3）数学归纳法。
（1）可直接求和
例：设试求整数使得。
解：
化简可得：

由
由递推关系可得数列单调递增可得
即得值为
（2）不可直接求和而放缩求和
1）直接用代数式放缩
例1．已知函数满足，，；且使成立的实数只有一个。
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）若数列满足，，，，证明数列 是等比数列，并求出的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：，。
解：（Ⅰ）由，，，得.
由，得.由只有一解，即，也就是
只有一解，∴
∴.∴.
故.
（Ⅱ）∵，，
∴，，，
猜想，.证明略。
（Ⅲ）∵，
∴
.
2）利用二项式定理放缩
例2．已知数列{an}满足.
（1）若方程的解称为函数的不动点，求的不动点的值；
（2）若，，求数列{n}的通项．
（3）当时，求证：
解：（1）由方程得，解得
（2）
两式相除得即由可以得到，
则又得，
，（）
（3）当时，

当时，
=<=
3）裂项放缩
例3．设是满足… ①的实数序列,而是由下式定义的实数列,…， ②
证明：对任意…，成立.
解：由题设易知，求前项和，显然，但无法保证，因此可将作恒等变形。

4）利用单调性放缩
例4．已知数列{an},{bn}中，a1=t（t>0且t≠1）,a2=t2，且是函数的一个极值点。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若点Pn的坐标为（1，bn）（，过函数图像上的点的切线始终与平行（O为原点），求证：当时，不等式对任意都成立
解：（1）由得
是首项为，公比为t的等比数列
当时， 所以
（2）由得：
（函数单调性，）

（均值不等式）
综上所述当时，不等式对任意都成立.
5）利用均值不等式放缩
Aa11第1行
a21 a22第2行
a31 a32 a33第3行
Ban1 an2 annC第n行
例6．如图，把正△ABC分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等。设点A为第1行，…，BC为第n行，记点A上的数为第i行中左起第j个数为若
（1）求；
（2）试归纳出的表达式（用含n，m的式子表示，不必证明）；
（3）记，证明
解：（1），
（2）是公比为的等比数列，
是公比为的等比数列，
（3）由（2）知

又

（3）整体单调性应用
例1、求自然数的最大值，使不等式对一切自然数都成立。（步步高78页训练3）
（解答略）
（4）数学归纳法证明
例． 已知点(an,an+1)在曲线f(x)=上, 且a1=1.求证：(n∈N*)
解:∵ an＋12=an2＋ , 则an＋12－an2 =
于是有: = an＋12－a12 = an＋12－1
要证明:
只需证明: ( *)
下面使用数学归纳法证明: (n≥1,n∈N*)
①在n=1时, a1=1, <a1<2, 则n=1时 (* )式成立.
②假设n=k时, 成立,
由
要证明: 只需2k＋1≤ 只需(2k＋1)3≤8k(k＋1)2
只需，而在时恒成立，于是，即；
又，要证
只需证: , 只需证: 4k2＋11k＋8>0, 而4k2＋11k＋8>0在k≥1时恒成立.
于是: . 因此 得证.
综合①②可知( *)式得证, 从而原不等式成立.