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课时跟踪检测(三十) 数列的概念与函数特性
1．(2012·西安模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N＋)，则此数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
2．(2013·聊城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，则a5＝( )
A. B.
C. D．30
3．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝( )
A．2n－1 B．n2
C. D.
4．(2012·北京模拟)数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 013＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
5．数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，n(an＋1－an)＝an(n∈N＋)，且a3＝π，则tan S4等于( )
A．－ B.
C．－ D.
6．(2013·长春模拟)数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )
A．a1，a50 B．a1，a44
C．a45，a44 D．a45，a50
7．(2013·济南模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＝(n≥3)，则a2 013＝________.
8．已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.
9．若数列{an}的通项公式为an＝n2－bn(b∈R)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是________．
10．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．
12．设函数f(x)＝log2x－logx2(0＜x＜1)，数列{an}满足f(2an)＝2n(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的单调性．
1．(2012·嘉兴质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N＋)，则a10＝( )
A．64 B．32
C．16 D．8
2．(2012·北京高考)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为( )
A．5 B．7
C．9 D．11
3．已知数列{an}中，a1＝1，且满足递推关系an＋1＝(n∈N＋)．
(1)当m＝1时，求数列{an}的通项公式an；
(2)当n∈N＋时，数列{an}满足不等式an＋1≥an恒成立，求m的取值范围．
答 案
课时跟踪检测(三十)
A级
1．选C ∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.
两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，
∴an＝0(n≥2)．
当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，
∴an＝0(n∈N＋)
2．选C 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，则a5＝＝.
3．选D 设数列{an}的前n项积为Tn，
则Tn＝n2，
当n≥2时，an＝＝.
4．选D x1＝1，代入xn＋1＝－1得，x2＝－，再将x2代入xn＋1＝－1得，x3＝1，所以数列周期为2，
x2 013＝x1＝1.
5．选B 法一：由n(an＋1－an)＝an得
nan＋1＝(n＋1)an，
可得3a4＝4a3，已知a3＝π，则a4＝π.
又由2a3＝3a2，得a2＝π，
由a2＝2a1，得a1＝，
故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝π，
tan S4＝tanπ＝.
法二：∵由n(an＋1－an)＝an，
得nan＋1＝(n＋1)an，即＝，
∴＝＝＝…＝＝.
∴an＝n，
∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋2＋3＋4)＝π，tan S4＝tanπ＝.
6．选C an＝＝1＋，
∴当n∈[1,44]时，{an}单调递减，当n∈[45，＋∞)时，{an}单调递减，结合函数f(x)＝的图像可知，(an)max＝a45，(an)min＝a44.
7．解析：将a1＝1，a2＝2代入an＝
得a3＝＝2，同理可得a4＝1，a5＝，
a6＝，a7＝1，a8＝2，故数列{an}是周期数列，周期为6，故a2 013＝a335×6＋3＝a3＝2.
答案：2
8．解析：由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1.
则Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1时不适合an，
故an＝
答案：
9．解析：由题意得≤1或
即b≤2或解得b<3.
答案：(－∞，3)
10．解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．
故从第7项起各项都是正数．
11．解：∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，
当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，
∴{an}的通项公式是an＝4n(n∈N＋)．
∵Tn＝2－bn，
∴当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1.
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，
∴2bn＝bn－1.
∴数列{bn}是公比为，首项为1的等比数列．
∴bn＝n－1.
12．解：(1)由已知得log22an－log2an2＝2n，
∴an－＝2n，即a－2nan－1＝0，
解得an＝n±.
∵0＜x＜1，即0＜2an＜1＝20，
∴an＜0，故an＝n－(n∈N＋)．
(2)∵＝
＝＜1，
而an＜0，
∴an＋1＞an，
即数列{an}是关于n的递增数列．
B级
1．选B 因为an＋1an＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2，
则···＝24，
即a10＝25＝32.
2．选C 依题意表示图像上的点(n，Sn)与原点连线的斜率，由图像可知，当n＝9时，最大，故m＝9.
3．解：(1)∵m＝1，由an＋1＝(n∈N＋)，得
an＋1＝＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴数列{an＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列．
于是an＋1＝2·2n－1，∴an＝2n－1.
(2)∵an＋1≥an，而a1＝1，知an≥1，
∴≥an，即m≥－a－2an，
依题意，有m≥－(an＋1)2＋1恒成立．
∵an≥1，∴m≥－22＋1＝－3，即满足题意的m的取值范围是[－3，＋∞)．
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