初中辅助线问题全解.doc

作辅助线的方法
一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
（托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）
五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。
如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。
有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。
九：面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。
三角形中作辅助线的常用方法举例
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，
在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）
在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2）
在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法二：）如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，
在△ABF和△GFC和△GDE中有：
AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1）
GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）
DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC
证法二：连接AD，并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角
∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。
分析：要证BE＋CF＞EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。
证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，
在△DBE和△DNE中：
∵
∴△DBE≌△DNE （SAS）
∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）
同理可得：CF＝NF
在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）
∴BE＋CF＞EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。
四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF
证明：延长ED至M，使DM=DE，连接
CM，MF。在△BDE和△CDM中，
∵
∴△BDE≌△CDM （SAS）
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知）
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）
∴∠3＋∠2=90°
即：∠EDF＝90°
∴∠FDM＝∠EDF ＝90°
在△EDF和△MDF中
∵
∴△EDF≌△MDF （SAS）
∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）
∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）
∴BE＋CF＞EF
注：上题也可加倍FD，证法同上。
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD
∵AD为△ABC的中线 （已知）
∴BD＝CD （中线定义）
在△ACD和△EBD中

∴△ACD≌△EBD （SAS）
∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）
∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）
∴AB＋AC＞2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF＝2AD。
六、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。
求证：AB－AC＞PB－PC。
分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，
即：AB－AC＞PB－PC。
证明：（截长法）
在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中
∵
∴△APN≌△APC （SAS）
∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）
∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边）
∴BP－PC＜AB－AC
证明：（补短法） 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，
在△ABP和△AMP中
∵
∴△ABP≌△AMP （SAS）
∴PB＝PM （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)
∴AB－AC＞PB－PC。
七、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC
分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，
∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）
∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义）
在△DBE与△CAE中
∵
∴△DBE≌△CAE （AAS）
∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等）
∴ED－EA＝EC－EB
即：AD＝BC。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）
八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。
证明：连接AC（或BD）
∵AB∥CD AD∥BC （已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
在△ABC与△CDA中
∵
∴△ABC≌△CDA （ASA）
∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）
九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE
分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到 要将其延长。
证明：分别延长BA，CE交于点F。
∵BE⊥CF （已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）
在△BEF与△BEC中，
∵
∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF （全等三角形对应边相等）
∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∴∠BDA＝∠BFC
在△ABD与△ACF中

∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE
十、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。
分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。
证明：连接BC，在△ABC和△DCB中
∵
∴△ABC≌△DCB (SSS)
∴∠A＝∠D (全等三角形对应边相等)
十一、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。
分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。
证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中 ∵ ∴△ABN≌△DCN （SAS）
∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）
在△NBM与△NCM中
∵
∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN
即∠ABC＝∠DCB。
巧求三角形中线段的比值
例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。

解：过点D作DG//AC，交BF于点G 所以DG：FC＝BD：BC
因为BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，FC＝4DG
因为DG：AF＝DE：AE 又因为AE：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2
即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6
例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD
解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC
因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2 即EF：GC＝1：2
因为CG：DE＝BC：BD 又因为BC＝CD
所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC
因为FD＝ED－EF＝所以EF：FD＝
小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！
例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。

解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。 所以DF：BG＝CD：CB
因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4 即DF：BG＝3：4
因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3
所以AF：BG＝2：3 即
所以AF：DF＝
例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。

图4
解：过点D作DG//CE，交AB于点G
所以EF：DG＝AF：AD
因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2
即EF：DG＝1：2

因为DG：CE＝BD：BC
又因为BD：CD＝1：3
所以BD：BC＝1：4
即DG：CE＝1：4
CE＝4DG
因为FC＝CE－EF＝
所以EF：FC＝＝1：7
练习：
1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。

2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。

答案：1. 1：10；2. 9：1

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