直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案.docx

直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案
直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案

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直线、平面平行的判定及其性质
1. 下列命题中,正确命题的是 ④ .
①若直线l上有无数个点不在平面内,则l∥；
②若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点。
2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）.
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面
②一个平面内的两条直线平行于另一个平面
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③
3. 对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是 (填序号)。
①若m⊥，m⊥n，则n∥
②若m∥,n∥,则m∥n
③若m，n∥,则m∥n
④若m、n与所成的角相等，则m∥n 答案 ①②④
4. 已知直线a,b,平面，则以下三个命题：
①若a∥b，b，则a∥;
②若a∥b,a∥，则b∥;
③若a∥，b∥,则a∥b.
其中真命题的个数是 . 答案 0
5. 直线a//平面M，直线bM，那么a//b是b//M的 条件。
A。充分而不必要 B。必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要
6. 能保证直线a与平面平行的条件是
A. B.
C。
D.且
7. 如果直线a平行于平面，则
A。平面内有且只有一直线与a平行 B。平面内无数条直线与a平行
C。平面内不存在与a平行的直线 D。平面内的任意直线与直线a都平行
8. 如果两直线a∥b,且a∥平面,则b与的位置关系
A.相交 B. C. D.或
9. 下列命题正确的个数是
10. (1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一直线平行
（3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
（4）若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥α
A.0个 B.1个 C。2个 D。3个
11. b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α是
A.b与α内的一条直线不相交 B。b与α内的两条直线不相交
C。b与α内的无数条直线不相交 D。b与α内的所有直线不相交
12. 已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系
A.b∥α B。b与α相交 C。bα D。b∥α或b与α相交
13. 如图所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC,SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明。
解 SG∥平面DEF，证明如下:
方法一:三角形中位线 连接CG交DE于点H,如图所示.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB。
在△ACG中,D是AC的中点，
且DH∥AG.
∴H为CG的中点.
∴FH是△SCG的中位线,
∴FH∥SG.
又SG平面DEF，FH平面DEF,
∴SG∥平面DEF。
方法二: 平面平行的性质
∵EF为△SBC的中位线,∴EF∥SB.
∵EF平面SAB，SB平面SAB,
∴EF∥平面SAB.
同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，
∴平面SAB∥平面DEF,又SG平面SAB，∴SG∥平面DEF。
14. 如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、
C1D1、A1A的中点。求证：
(1）BF∥HD1；
（2）EG∥平面BB1D1D；
（3）平面BDF∥平面B1D1H。
证明 平行四边形的性质，平行线的传递性
（1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1。
又∵MC1∥BF,∴BF∥HD1。
（2）取BD的中点O，连接EO,D1O，则OE DC，
又D1G DC，∴OE D1G，
∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O。
又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.
（3)由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1,BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1=D1，DB∩BF=B,∴平面BDF∥平面B1D1H。
15. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.
求证：MN∥平面AA1C1C.
证明 方法一：平行四边形的性质
设A1C1中点为F,连接NF，FC，
∵N为A1B1中点,
∴NF∥B1C1,且NF=B1C1，
又由棱柱性质知B1C1 BC，
又M是BC的中点，
∴NF MC,
∴四边形NFCM为平行四边形。
∴MN∥CF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1C.
方法二:三角形中位线的性质
连接AM交C1C于点P，连接A1P，
∵M是BC的中点，且MC∥B1C1，
∴M是B1P的中点，
又∵N为A1B1中点，
∴MN∥A1P，又A1P 平面AA1C1，MN平面AA1C1,∴MN∥平面AA1C1C。
方法三：平面平行的性质
设B1C1中点为Q，连接NQ，MQ,
∵M、Q是BC、B1C1的中点,
∴MQ CC1，又CC1平面AA1C1C， MQ 平面AA1C1C,
∴MQ∥平面AA1C1C .
∵N、Q是A1B1、B1C1的中点，
∴NQA1C1，又A1C1平面AA1C1C，NQ 平面AA1C1C，
∴NQ∥平面AA1C1C 。
又∵MQ∩NQ=B,∴平面MNQ∥平面AA1C1C，
又MN平面MNQ∴MN∥平面AA1C1C。
16. 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线AB1,BC1上分别有两点E，F,且B1E=C1F。
求证：EF∥平面ABCD。
方法一：平行四边形的性质
过E作ES∥BB1交AB于S，过F作FT∥BB1交BC于T，
连接ST，则,且
∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴AE=BF
∴，∴ES=FT
又∵ES∥B1B∥FT，∴四边形EFTS为平行四边形.
∴EF∥ST,又ST平面ABCD,EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.
方法二:相似三角形的性质
连接B1F交BC于点Q,连接AQ，
∵B1C1∥BC，∴
∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴
∴EF∥AQ，又AQ 平面ABCD，EF平面ABCD,∴EF∥平面ABCD。
方法三：平面平行的性质
过E作EG∥AB交BB1于G，
连接GF，则，
∵B1E=C1F，B1A=C1B,
∴，∴FG∥B1C1∥BC，
又EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG,
∴EF∥平面ABCD。
17. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点,问：当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解 面面平行的判定
当Q为CC1的中点时，
平面D1BQ∥平面PAO。
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA。
∵P、O为DD1、DB的中点,∴D1B∥PO.
又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，
D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
直线与平面平行的性质定理
18. 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
（1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.
（2)若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围。
（1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，
∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.
同理可证，CD∥平面EFGH。
(2）解 设EF=x（0＜x＜4)，由于四边形EFGH为平行四边形，
∴.则===1—.从而FG=6—。∴四边形EFGH的周长l=2(x+6—）=12—x.又0＜x＜4，则有8＜l＜12,∴四边形EFGH周长的取值范围是(8，12）。
19. 如图所示，平面∥平面，点A∈，C∈，点B∈，D∈，点E,F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.
(1）求证:EF∥；
（2）若E,F分别是AB,CD的中点，AC=4，BD=6，且AC,BD所成的角为60°,求EF的长。
（1）证明 两个平行平面同时与第三个平面相交,则交线平行；平行线分线段成比例
方法① 当AB，CD在同一平面内时，
由∥，平面∩平面ABDC=AC，
平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，
∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，
又EF，BD，∴EF∥。
方法② 当AB与CD异面时,
设平面ACD∩=DH，且DH=AC.
∵∥,∩平面ACDH=AC，
∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，
在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，
又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，
又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面。
∵EF平面EFG，∴EF∥。综上,EF∥。
（2）解三角形中位线
如图所示,连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF。
∵E，F分别为AB，CD的中点,
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME=BD=3，MF=AC=2,
∴∠EMF为AC与BD所成的角（或其补角)，
∴∠EMF=60°或120°，
∴在△EFM中由余弦定理得,
EF===,
即EF=或EF=。
20. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.
求证：PQ∥平面BCE.
证明 方法一:平行四边形的性质 如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN。
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD。
又∵AP=DQ，∴PE=QB,
又∵PM∥AB∥QN，
∴，，，∴PM QN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.
又MN平面BCE,PQ平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
方法二：相似三角形的性质如图所示,连接AQ,并延长交BC于K，连接EK,
∵AE=BD，AP=DQ,
∴PE=BQ，
∴= ①
又∵AD∥BK，∴= ②
由①②得=，∴PQ∥EK.
又PQ平面BCE，EK平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
方法三:平面平行的性质 如图所示，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，
连接QM。
∵PM∥BE,PM平面BCE，
即PM∥平面BCE,
∴= ①
又∵AP=DQ，∴PE=BQ，
∴= ②
由①②得=，∴MQ∥AD，
∴MQ∥BC，又∵MQ平面BCE，∴MQ∥平面BCE.
又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE,
PQ平面PMQ,∴PQ∥平面BCE。
21. 如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13,M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求线段MN的长。
（1）证明：方法一： 相似三角形的性质
连接AN并延长交BC于Q,
连接PQ,如图所示.
∵AD∥BQ，∴△AND∽△QNB,
∴===，
又∵==，
∴==,∴MN∥PQ,
又∵PQ平面PBC，MN平面PBC,
∴MN∥平面PBC。
方法二：平行四边形的性质
如图所示，作MQ∥AB交PB于Q，作NR∥AB交BC于R，连接QR。
∵MQ∥AB∥NR，
∴，,
又∵，∴MQ NR，
∴四边形MNRQ为平行四边形，∴MN∥QR。
又QR平面PBC，MN平面PBC，
∴MN∥平面PBC.
方法三：平面平行的性质
如图所示,在平面ABP内，过点M作MN∥PB，交AB于点O，
连接ON。
∵MO∥PB，MO平面PBC，PB平面PBC
即MO∥平面PBC，
∴=
又∵==，
∴= ,
∴NO∥AD，
∴NO∥BC，又∵NO平面PBC，BC平面PBC∴NO∥平面PBC。
又∵MO∩NO=O，∴平面MNO∥平面PBC，
MN平面MNO，∴MN∥平面PBC.
(2)解 在等边△PBC中，∠PBC=60°，
在△PBQ中由余弦定理知 PQ2=PB2+BQ2-2PB·BQcos∠PBQ
=132+—2×13××=,∴PQ=，
∵MN∥PQ,MN∶PQ=8∶13，∴MN=×=7.