第4讲三角函数的图象与性质教案.doc

第4讲三角函数的图象与性质【2013年高考会这样考】考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性及对称性【复习指导】1要熟记本节的基础知识，并会将x看作一个整体进行解题2解题时要注意图象的应用，如利用图象求函数的最值、值域等3注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题，这是近几年高考的热点4注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用基础梳理1“五点法”描图(1)ysin x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,0)，(，0)，(2，0)(2)ycos x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,1)，(，1)，(2，1) 2三角函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象对称性对称轴：xk(kZ)对称轴：xk(kZ)无对称轴对称中心：(k，0)(kZ)对称中心：(kZ)对称中心：(kZ)周期22单调性单调增区间，2k(kZ)；单调减区间，2k(kZ)单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间，k(kZ)奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 (1)周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题双基自测1(人教A版教材习题改编)函数ycos，xR()A是奇函数 B既是奇函数又是偶函数C既不是奇函数也不是偶函数 D 是偶函数答案C2函数ytan的定义域为()A. B.C.D.答案A3(2012成都质检)函数y4sin x，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在和上都是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在上是增函数，在上是减函数解析由ysin x的单调性可知B正确 答案B4ysin的图象的一个对称中心是()A(，0) B. C. D.解析ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)，令xk(kZ)，xk(kZ)，由k1，x得ysin的一个对称中心是.答案B5(2011合肥三模)函数f(x)cos的最小正周期为_解析T.答案考向一三角函数的定义域与值域【例1】(1)求函数ylg sin 2x的定义域(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值审题视点 (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决解(1)依题意.(2)设sin xt，则t.y1sin2xsin x2，t，故当t，即x时，ymax，当t，即x时，ymin.【方法总结】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)【训练1】 (1)求函数y的定义域(2)已知函数f(x)cos2sinsin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值解(1)要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为.(2)由题意得：f(x)cos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.又x，2x，sin.故当x时，f(x)取最大值1；当x时，f(x)取最小值.考向二三角函数的奇偶性与周期性【例2】(2011大同模拟)函数y2cos21是()A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数审题视点 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性解析y2cos21cossin 2x为奇函数，T. 答案A【方法总结】求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期求解公式进行【训练2】 已知函数f(x)(sin xcos x)sin x，xR，则f(x)的最小正周期是_解析由f(x)(sin xcos x)sin xsin2xsin xcos xsin 2xsin.最小正周期为 答案考向三三角函数的单调性【例3】已知f(x)sin xsin，x0，求f(x)的单调递增区间审题视点 化为形如f(x)Asin(x)的形式，再求单调区间解f(x)sin xsinsin xcos xsin.由2kx2k，kZ，得：2kx2k，kZ，又x0，f(x)的单调递增区间为.【方法总结】求形如yAsin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数【训练3】 函数f(x)sin的单调减区间为_解析f(x)sinsin，它的减区间是ysin的增区间由2k2x2k，kZ，得：kxk，kZ.故所求函数的减区间为(kZ) 答案(kZ)考向四三角函数的对称性【例4】(1)函数ycos图象的对称轴方程可能是()Ax Bx Cx Dx(2)若0，g(x)sin是偶函数，则的值为_审题视点 (1)对ycos x的对称轴为xk，把“x”看作一个整体，即可求(2)利用k(kZ)，求解限制范围内的.解析(1)令2xk(kZ)，得x(kZ)，令k0得该函数的一条对称轴为x.本题也可用代入验证法来解(2)要使g(x)cos为偶函数，则须k，kZ，k，kZ，0，.答案(1)A(2)【方法总结】正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用【训练4】 (1)函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.(2)函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形则_.解析(1)由ysin x的对称轴为xk(kZ)，即3k(kZ)，得k(kZ)，又|，k0，故.(2)由题意，得ycos(3x)是奇函数，k，kZ.答案(1)(2)k，kZ难点突破9利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析一、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】 (2011泉州模拟)已知f(x)cos(x)sin(x)为偶函数，则可以取的一个值为()A. B. C D二、根据三角函数的单调性求解参数【示例】 (2011镇江三校模拟)已知函数f(x)sin(0)的单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，则的值为_三、根据三角函数的周期性求解参数【示例】 (2011合肥模拟)若函数ysin xsin(0)的最小正周期为，则_.四、根据三角函数的最值求参数【示例】 (2011洛阳模拟)若函数f(x)asin xbcos x在x处有最小值2，则常数a、b的值是()Aa1，b Ba1，bCa，b1 Da，b1第5页