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必修一
（一）集合
1.集合的概念
(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性.
（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用表示.
（3）我们约定用表示自然数集，用表示正整数集，用表示整数集，用表示有理数集，用表示实数集.
（4）集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn图).
2.集合间的基本关系
（1）集合与元素的关系
表示元素和集合之间的关系，有属于“”和不属于“”两种情形.
（2）集合与集合之间的关系
集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.
若有限集A中有n个元素，集合A的子集个数为，非空子集的个数为，真子集的个数为，非空真子集的个数为.
3.集合的运算
集合与集合之间有交、并、补集三种运算.
4.集合运算中两组常用的结论
（1）①；
②.
（2）①；
②.
（二）函数的概念
（1）函数的定义
设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B 的一个函数，记作.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.值域是集合B的子集.
③·映射：设A，B是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A到集合B 的映射，记作.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一.
（2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.
（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.
2.函数的表示方法
函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.
分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.
（三）函数单调性
1.增函数、减函数
设函数的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数；
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数.
2.单调性、单调区间
如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤：
①设出自变量；②作差（商）；③判号；④写出结论.
2．函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值，即图像的最高点或最低点.
3．函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x值.
4.判断函数单调性的常见方法
①定义法；②图象法；③导数法. ④
5.求函数最值或值域的方法
①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.
5.一些重要函数的单调性
的单调区间：增区间；
减区间.
的单调区间：增区间；减区间
（四）函数奇偶性
1.奇偶性
(1)奇函数、偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
(2)奇偶性
如果函数是奇函数或偶函数，那么就说函数具有奇偶性.
(3)奇函数、偶函数的性质
①奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；
②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
③若奇函数在x=0处有定义，那么一定有.
④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数.
⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
（五）基本函数：一次二次函数
1. 函数叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R
2. 一次函数性质
3. ①当k>0时，为增函数，当k<0时，为减函数；
②当b=0时，函数为正比例函数；
③直线y=kx+b与x轴的交点为与y轴的交点为.
3.二次函数的解析式的三种形式：
①一般式；
②顶点式；
③零点式；
4.二次函数的图象与性质
①的图象是一条抛物线，顶点坐标为，对称轴方程为，当时开口向上, 当时开口向下；
②时，抛物线与x轴有2个（1个、无）交点.
③单调性：当时，在减函数； 在上是增函数.，相反.
④奇偶性：偶函数；既不是奇函数也不是偶函数；
（六）指数函数
1.幂的有关概念
正整数指数幂： ；
零指数幂：1() ；
负整数指数幂：=()；
正分数指数幂：();
负分数指数幂： ();
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
2.幂的运算法则（）
；；
3.指数函数图像及性质
定义

图象

定义域
R
值域

定 点
（0，1）
单调性
，增 ，减
4.指数函数具有性质：

（七）对数函数
1.定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作，其中称对数的底，N称真数.
①以10为底的对数称常用对数，记作，
②以无理数为底的对数称自然对数，记作
2.基本性质：①真数N为正数（负数和零无对数），
②，③， ④对数恒等式：.
3.运算性质：如果则
①；②；
③.
4.换底公式：

①， ②.
5.对数函数的图像与性质
定 义

图 象

定义域

值 域

定 点

单调性

函数值分布

（八）幂函数：的图像

1.当时，幂函数有下列性质：
(1)图像都通过点；
(2)在第一象限内，随的增大而增大；
(3)在第一象限内，时图像下凸,时图像上凸.
(4)在第一象限内，过点后，图像向右上方无限伸展.
2.当a<0时，幂函数有下列性质：
(1)图像都通过点；
(2)在第一象限内，函数值随的增大而减小，图像是向下凸的；
(3)在第一象限内，图像向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近；
(4)在第一象限内，过点后，越大，图像下落的速度越快.
（九）函数图像变换
1．平移变换
⑴水平平移： 的图象，可由 的图象向左 或向右 平移 个单位而得到；⑵竖直平移： 的图象可由 的图象向上 或向下 平移 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减.
2．对称变换
⑴ 与 的图象关于y轴对称;
⑵ 与 的图象关于x轴对称;
⑶ 与 的图象关于原点对称;
⑷ 与 的图象关于直线y=x对称;
⑸ 的图象可将 的图象在 轴下方的部分以 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变;
⑹ 的图象可将 ， 的部分作出，再利用偶函数的图象关于 轴对称，作出 的部分.
3.伸缩变换
⑴ 的图象，可将 图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到;
⑵ 的图象，可将 图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到.
（十）函数的应用
1．函数零点的定义：对于函数成立的_实数x_叫做函数的零点 .
2.二分法定义：对于区间上连续，且 的函数,通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近似解.
3．解函数应用题，一般可按以下四步进行．
(1)阅读理解，认真审题．
(2)引进数学符号，建立数学模型．
(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果．
(4)转译成具体问题做出回答．
必修四
（一） 角的概念
1.任意角
(1)终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合
S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.
(2)终边在坐标轴上的角：k·360°，90°+k·360°，180°+k·360°，
270°+k·360°的终边分别在x轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、y轴负半轴上，是特殊的角，
起着非常重要的作用.
2.弧度制
(1)定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
(2)计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α弧度数的绝对值是 |α|=.
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
注意：弧长公式：l=|α|r.扇形面积公式：Ｓ==.
(3)换算:360°=2π, 180°=π
1°=rad≈0.01745rad1rad=°≈57.30°
(4)一些特殊角的弧度数及函数值
度:0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°,270°,360°.
弧度：0，，，，，，，，，，.
要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数值.
3.三角函数的定义
（1）初中直角三角形中的定义；（2）单位圆定义：
（3）坐标法定义：设是一个任意角，在它的终边任取异于原点的一点，令，则，，
4. 三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余弦．
注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值．
5.三角函数线：设任意角的终边与单位圆交于点.过点作轴的垂线，垂足为.过点作单位圆的切线，设它与的终边或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于点，则有：，，.
（二）诱导公式及同角关系式
1.同角三角函数的基本关系式：
平方关系：
商数关系：.
2.诱导公式：

取正弦
取余弦
取正切

sinα
cosα
tanα

- sinα
- cosα
tanα

- sinα
cosα
- tanα

sinα
- cosα
- tanα

cosα
sinα
cotα

cosα
-sinα
- cotα
记忆口诀：
前四组：函数名不变，符号看象限.
后两组：函数名改变，符号看象限（或：正变余，余变正，符号象限定）.
三角函数的诱导公式综合：，
口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.
（三）三角函数性质
1.五点法作图的原理：在确定正弦函数在上图象的形状时，起关键作用的五个点是
，余弦的是
.
2.作正切函数的图象关键是三点两线，即三点是，两线是.
3.三角函数的图象和性质：
4.三角函数的奇偶性
函数的定义域是否为关于原点对称的点集是判断函数奇偶性的必要条件，必须优先考虑，然后再进行化简判断.
5.五点法作函数的图象
分别令取，求出相应的值与值，然后描点，再用光滑的曲线连结，即可得到一个周期的图象，通过左右平移，就得到在上的图象.
6.的物理意义：
叫振幅，决定图象最高（低）点的位置；叫相位，叫初相，影响图象的零值点；影响其周期，.通常情况下，可正可负，也可为.

7.由的图象可有两条途径得到
的图象：
① 先相位变换，再周期和振幅变换；
②先周期或振幅变换，再相位变换，此时横坐标的平移量为个单位.
（五）平面向量的概念
1.向量的基本概念
（1）既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作，的模为.
(3)长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
（4）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
2.平面向量的线性运算
(1)加法 ：①定义：已知非零向量a、ｂ，在平面内任取一点Ａ，作＝ａ，＝ｂ，则向量叫做ａ与ｂ的和，记作ａ＋ｂ．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．上述方法称为向量加法的三角形法则．
②平行四边形法则：以同一点Ｏ为起点的两个已知向量ａ、ｂ为邻边作ＯＡＣＢ，则对角线ＯＣ就是ａ与ｂ的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
③对于零向量与任一向量ａ，规定：ａ＋０＝０＋ａ＝ａ．
④性质 ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ； （ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜
(2)减法
①与ａ长度相等，方向相反的向量，叫做ａ的相反向量，记作－ａ．零向量的相反向量仍是零向量．
②任一向量与其相反向量的和是零向量，即ａ＋（－ａ）＝（－ａ）＋ａ＝０．
③定义:ａ－ｂ＝ａ＋（－ｂ），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
④已知ａ,ｂ,在平面内任取一点Ｏ，作＝ａ,＝ｂ,则＝ａ－ｂ,即ａ－ｂ可以表示为从向量ｂ的终点指向向量ａ的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
(3)数乘：①定义：规定实数λ与向量ａ的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λａ，它的长度与方向规定如下：
1°｜λａ｜＝｜λ｜｜ａ｜；
2°当λ＞０时，λａ的方向与ａ的方向相同；当λ＜０时，λａ的方
向与ａ的方向相反．
②运算律：设λ、μ为实数，那么
1°λ（μａ）＝（λμ）ａ；
2°（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ；
3°λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ．
③向量共线条件:ａ,ｂ共线（ａ≠０）有且只有一个实数λ，使ｂ＝λａ．
(4)线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量ａ,ｂ，以及任意实数,,，恒有ａｂ）=ａｂ.
（六）平面向量基本定理及表示
1.平面向量基本定理
如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量ａ，有且只有一对实数λ１、λ２，使
ａ＝λ１ｅ１＋λ２ｅ２．
称不共线的向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
已知两个非零向量ａ和ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０°≤θ≤１８０°）叫做向量ａ与ｂ的夹角．如果ａ与ｂ的夹角是９０°，则称ａ与ｂ垂直，记作ａ⊥ｂ．
2.向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标
设ｉ，ｊ是与ｘ轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量ａ，有且只有一对实数ｘ，ｙ，使得ａ＝ｘｉ＋ｙｊ，有序数对（ｘ，ｙ）叫做向量ａ的坐标，记作ａ＝（ｘ，ｙ）．
(2)平面向量的坐标运算
①设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则有
ａ＋ｂ＝（ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２）
ａ－ｂ＝（ｘ１－ｘ２，ｙ１－ｙ２）
λａ＝（λｘ１，λｙ１）
②设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则有
＝（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１）
③向量共线的坐标表示
设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则有
ａ，ｂ共线ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０．
④中点公式
设P1（ｘ１，ｙ１），P2（ｘ２，ｙ２），Ｐ为P1P2中点，
则对任一点Ｏ，有

∴点P的坐标是.
⑤定比分点坐标公式：设P1（ｘ１，ｙ１），P2（ｘ２，ｙ２），当时，点的坐标是.
重心坐标公式：
（七）平面向量数量积
1.定义：已知两个非零向量ａ，ｂ，我们把数量
｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ叫做ａ与ｂ的数量积（或内积）．
｜ａ｜ｃｏｓθ(｜ｂ｜ｃｏｓθ)叫做ａ在ｂ方向上（ｂ在ａ方向上）的投影.
2.ａ·ｂ的几何意义：
数量积ａ·ｂ等于ａ的长度｜ａ｜与ｂ在ａ方向上的投影｜ｂ｜ｃｏｓθ的乘积.
3.数量积的运算律：已知向量ａ，ｂ和实数，则：
　①ａ·ｂ＝ｂ·ａ
　②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ）
　③（ａ＋ｂ）·ｃ＝ａ·ｂ＋ａ·ｃ
4.坐标表示：
设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则
ａ·ｂ＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２．
5.模长公式：设ａ＝（ｘ，ｙ），则
｜ａ｜＝＝．
6.垂直条件：设ａ，ｂ为非零向量，则
ａ⊥ｂａ·ｂ＝０ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０．
7.夹角公式：
设ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），夹角为θ，
则 .
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